【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质课件 文_图文

第四章 三角函数、解三角形

§4.3 三角函数的图象与性质

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 高频小考点
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π] 的图象中,五个关键点是:(0,0),(2,1), 3π ( ,-1) ,(2π,0). (π,0),___________ 2 π 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π] 的图象中,五个关键点是:(0,1),( ,0), 2 3π π,-1 ,( ,0),(2π,1). (________) 2
答案

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义 域

R
[-1,1] ________

R
[-1,1] ________

{x|x∈R 且 x≠ _____________

π +kπ,k∈Z} ______________ 2

值域

R
答案

π π 在 [- +2kπ, +2kπ] 2 2 单调 (k∈Z) 上递增; π 3π 性 在 [ +2kπ, +2kπ] 2 2 (k∈Z) 上递减

在 [-π+2kπ,2kπ]
(k∈Z) 上递增;
π π 在 (-2+kπ,2

在 [2kπ,π+2kπ]
(k∈Z) 上递减

+kπ)(k∈Z)上递增

π 当 x= +2kπ(k∈Z) 时, 当 x=2kπ(k∈Z) 时, 2 π 最值 ymax=1;当 x= -2+2kπ ymax=1;当 x=π+2kπ (k∈Z) 时,ymin=-1 (k∈Z) 时,ymin=-1

答案

奇偶性

奇函数 ________

偶函数 _______

奇函数 _______

对称中心

( kπ,0)(k∈Z) _________________ ____________

_____________

对称轴方程

____________ (k∈Z) ______ ___ 2π

x=kπ(k∈Z) ___________

周期

___ 2π

__ π
答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=sin x在第一、第四象限是增函数.( × ) (2)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × ) (5)y=sin |x|是偶函数.( √ ) 2 π (6)若 sin x> ,则 x> .( × ) 2 4

答案

2

考点自测
1 1.(教材改编)函数 f(x)=4-2cos 3x 的最小值是___ 取得最小值时, 2 , {x|x=6kπ,k∈Z} x 的取值集合为________________.

解析

1 ∵-1≤cos 3x≤1,

∴f(x)min=4-2×1=2,

1 1 此时的 cos 3x=1,3x=2kπ,
∴x=6kπ,k∈Z.

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解析答案

2.函数y=lg(sin x-cos

? ? π 5π ? ? ?x|2kπ+ <x<2kπ+ ? , k ∈ Z ? ? 4 4 ? ? x)的定义域为__________________________.

解析 sin x-cos x>0,即sin x>cos x.
画出y=sin x及y=cos x在[0,2π]上的图象如图.

? ? π 5π ? ? ? 由图象知原函数的定义域为?x|2kπ+4<x<2kπ+ 4 ,k∈Z? . ? ? ?

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解析答案

π π π 3.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ] 3 3 2 3 上单调递减,则 ω=____. 2
解析 ∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,

π π ∴当 0≤ωx≤2,即 0≤x≤2ω时,y=sin ωx 是增函数;
π 3π π 3π 当 ≤ωx≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ωx 是减函数. 2 2 2ω 2ω

由 f(x)=sin

? π? ? ? 0 , ωx(ω>0)在? 3?上单调递增, ? ?

?π π? π π 3 ? ? 在?3,2?上单调递减知, = ,∴ω= . 2ω 3 2 ? ?

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解析答案

4.函数

? ? 5π π ? ? ? ? - ,- π ? ? ? ? 6 3 ? ? y=2sin?2x+6? (x∈[ -π,0] )的单调递减区间是______________. ? ?

π π 3π 解析 ∵由题意知 2kπ+2≤2x+6≤2kπ+ 2 (k∈Z), π 2π ∴kπ+6≤x≤kπ+ 3 (k∈Z).
5π π 又 x∈[ -π,0] ,∴- 6 ≤x≤-3.

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解析答案

5.函数

? π? ? ? f(x)=2sin?2x-6?-m ? ?



? π? ? ? x∈?0,2?内有两个不同的零点,则 ? ?

m 的取

[1,2) 值范围是______.
解析 令 f(x)=0,则
? π? ? ? 0 , x∈? 2?, ? ?
? π? ? m=2sin?2x-6? ?. ? ?

因为

π π 5π 故-6≤2x-6≤ 6 , ? π 5π? π ? 设 2x- =t,则 m=2sin t,t∈?-6, 6 ? ?, 6 ? ?
根据题意并结合函数图象(图略)可知m的取值范围是[1,2).
1 2 3 4 5
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题型分类 深度剖析

题型一

三角函数的定义域和值域
(1)函数 y= 2sin
? π 5π? ? ? 2 k π + , 2 k π + ? ?(k∈Z) 6 6? x-1的定义域为_______________________. ?

例1

1 解析 由 2sin x-1≥0,得 sin x≥ , 2 π 5π 所以 2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 (k∈Z).

解析答案

(2)函数
解析

? 3 ? ? ? ? ? - , 3 π π ? ? ? ? 2 ? ? f(x)=3sin?2x-6?在区间[0,2]上的值域为________. ? ?
? π? ? x∈?0,2? ?时, ? ?



? ? π 5π? π? 1 ? π ? ? ? ? ? ? ? 2x-6∈?-6, 6 ?,sin?2x-6?∈?-2,1?, ? ? ? ? ? ?



? ? π? 3 ? ? ? ? 3sin?2x-6?∈?-2,3? ?, ? ? ? ?
? ? 3 ? f(x)的值域是?-2,3? ?. ? ?

即此时函数

解析答案

1- 2 π 2 2 (3)函数 y=cos x+sin x(|x|≤ )的最小值为_________. 4
解析 π 令 t=sin x,∵|x|≤4,

? ∴t∈? ?- ?

2 2? ? , ?. 2 2?
2 ? 1? 5 ? ?2 +t+1=-?t-2? +4, ? ?

∴y=-t

1- 2 2 ∴t=- 2 时,ymin= 2 .
思维升华 解析答案

跟踪训练1
(1)函数 y=lg(sin x)+ 1 cos x- 的定义域为_______. 2

解析答案

(2)函数y=sin x-cos x+sin xcos

? ? 1 ? ? - - 2 , 1 ? ? 2 ? ? x的值域为_____________.

解析 设t=sin x-cos x,
则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x, 1-t2 sin xcos x= ,且- 2≤t≤ 2. 2

t2 1 1 ∴y=- +t+ =- (t-1)2+1. 2 2 2

1 当 t=1 时,ymax=1;当 t=- 2时,ymin=- - 2. 2 ? ? 1 ? - - 2 , 1 ∴函数的值域为? ? ?. 2 ? ?
解析答案

题型二

三角函数的单调性
?kπ ? π k π 5π ? ? ? ? π - , + ? ? ? ?(k∈Z) 12 2 12? f(x)=tan?2x-3?的单调递增区间是______________________. ?2 ? ?

例 2 (1)函数

π π π 解析 由 kπ-2<2x-3<kπ+2(k∈Z)得, kπ π kπ 5π 2 -12<x< 2 +12(k∈Z), ? ?kπ π? π kπ 5π? ? ? ? 所以函数 f(x)=tan?2x-3?的单调递增区间为? 2 -12, 2 +12? ?(k∈Z). ? ? ? ?

解析答案

(2)已知 ω>0,函数 ?1 5? ? ? , ? 4? 是 ________. ?2 ?
解析

? ? ?π ? π ? ? ? ωx + , π f(x)=sin? 在 ? ? ? ?上单调递减,则 4 2 ? ? ? ?

ω 的取值范围

π 由2<x<π,ω>0 得,

ωπ π π π + <ωx+ <ωπ+ , 2 4 4 4
又 y=sin x
?π 3π? ? ? 在?2, 2 ?上递减, ? ?

? ?ωπ+π≥π, ? 2 4 2 所以? π 3π ? ω π + ≤ , ? ? 4 2

1 5 解得2≤ω≤4.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
? ? π 5 ? ? ? ? π? ? ,kπ+12π?, k∈Z ?kπ- (1)函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为________________________. 12 ? ? ? ? ? ? π ? 2 x - 解析 由已知函数为 y=-sin? ? ?, 3 ? ? ? π? ? ? 欲求函数的单调减区间,只需求 y=sin?2x-3?的单调增区间. ? ?

π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 ? ? π 5π ? k π - , k π + 故所给函数的单调减区间为? ? ?(k∈Z). 12 12 ? ?
解析答案

(2)已知 ω>0,函数 ?3 7? ? ? , 范围是 ? . 4? ?2 ?

? ?π ? π? ? ? ? f(x)=cos?ωx+4?在?2,π? ?上单调递增,则 ? ? ? ?

ω 的取值

解析 函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,
? ?ωπ+π≥-π+2kπ, ? 2 4 则? π ? ωπ+ ≤2kπ, ? ? 4

5 1 k∈Z, 解得 4k-2≤ω≤2k-4,k∈Z,

? 1 5 ? 1 ? ? 又由 4k-2-?2k-4?≤0,k∈Z 且 2k-4>0,k∈Z, ? ? ?3 ? 7 ? , 得 k=1,所以 ω∈? ? ?. 2 4 ? ?
解析答案

题型三

三角函数的周期性、对称性
? π? ? x|,③y=cos?2x+6? ?,④y= ? ?

命题点 1 周期性
例 3 在函数①y=cos|2x|,②y=|cos
? π? ? tan?2x-4? ?中,最小正周期为 ? ?

①②③ π 的所有函数为________.

解析

①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;

②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;

2π T= 2 =π; ? ? π π ? ? ④y=tan?2x-4?的最小正周期 T= , 故周期为π的有:①②③. 2 ? ?
解析答案

? π? ? ? ③y=cos?2x+6?的最小正周期 ? ?

命题点 2 求对称轴、对称中心
例4 (1)已知函数
? π? ? ? ωx + f(x)=sin? ? 4 ? ?

(ω>0)的最小正周期为 π,则该函

数的图象

(填正确的序号).
?π ? ? ? , 0 ②关于点?4 ?对称; ? ? ?π ? ? ? ④关于点?8,0?对称. ? ?

π ①关于直线 x=8对称; π ③关于直线 x=4对称;

解析答案

? ? π? π ? ? ? ? ? 2 x + - , 0 (2)已知函数 y=2sin? 若 x0∈? 2 ?的图象关于点 P(x0,0)对称, ?, 3 ? ? ? ?

π - 则 x0=______. 6

π 解析 由题意可知 2x0+3=kπ,k∈Z, kπ π 故 x0= 2 -6,k∈Z,



? π ? ? x0∈?-2,0? ?,∴k=0 ? ?

π 时,x0=- . 6

解析答案

命题点 3 由对称性求参数
例5 若函数
? ? ?π ? π ? ? ? * ωx + , 0 y=cos? ( ω ∈ N ) 图象的一个对称中心是 ? ? ? ?,则 6 6 ? ? ? ?

2 ω 的最小值为___.

解析

πω π π 由题意知 6 +6=kπ+2(k∈Z)?ω=6k+2(k∈Z),

又ω∈N*,∴ωmin=2.

思维升华

解析答案

跟踪训练3
(1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ), 对于任意 x 都有
2或-2 的值为________.
解析
?π ? ?π ? ? ? ? + x - x ∵f? = f ? ? ? ?, 6 6 ? ? ? ?

?π ? ?π ? ? ? ? f?6+x?=f?6-x? 则 ?, ? ? ? ?

?π? ? f? ? ? ?6?

π ∴x=6是函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.
?π? ? ∴f? 2. ? ?=± ?6?

解析答案

5π (2)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象关于直线 x= 3 对称,则 3 实数 a 的值为 - 3 .
5π 解析 由 x= 3 是 f(x)图象的对称轴,

可得

?10π? ? ? f(0)=f? 3 ?,解得 ? ?

3 a=- 3 .

解析答案

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高频小考点

高频小考点

4.三角函数的对称性、周期性、单调性

典例

(1)(2015· 四川改编)下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点

对称的函数是________(填正确的序号).
? π? ? ? ①y=cos?2x+2? ? ? ? ? π ? 2 x + ②y=sin? ? 2? ? ?

③y=sin 2x+cos 2x ④y=sin x+cos x

思维点拨 逐个验证所给函数是否满足条件;
思维点拨 解析答案

(2)(2015· 课标全国Ⅰ改编)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图 π 所示,且|φ|<2,则 f(x)的单调递减区间为_______.

思维点拨 根据图象先确定函数的周期性,然后先在一个周期内确
定f(x)的减区间;
思维点拨 解析答案

π (3)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有 f(x+ )=f(-x)成 4 π -1或3 立,且 f( )=1,则实数 b 的值为________. 8 π 思维点拨 由 f(x+4)=f(-x)可得函数的对称轴,应用函数在对称轴
处的性质求解即可.

解析

π 由 f(x+4)=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 关于直线 x

π =8对称,
又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,
∴b=-1或b=3.
温馨提醒 思维点拨 解析答案 返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换 元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sin t的性质. 3.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题:首先, 明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函 数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.

失误与防范
1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参 数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω的符号,若ω<0,那么一 定先借助诱导公式将ω化为正数. 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得,直接将两个端点 处的函数值作为最值是错误的.

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练出高分

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1.对于函数

? π? ? ② 填正确的序号). f(x)=sin?πx+2? 下列说法正确的是____( ?, ? ?

①f(x)的周期为π,且在[0,1]上单调递增;

②f(x)的周期为2,且在[0,1]上单调递减;
③f(x)的周期为π,且在[-1,0]上单调递增;

④f(x)的周期为2,且在[-1,0]上单调递减. ? π? ? 解析 因为 f(x)=sin?πx+2? ?=cos πx, ? ?
则周期T=2,在[0,1]上单调递减.

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2.函数

?πx π? ? 2- 3 y=2sin? 6 -3? ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为_______. ? ?

解析 ∵0≤x≤9,
π π π 7π ∴-3≤6x-3≤ 6 ,
? ?π π? ? ? ? ∴sin?6x-3?∈?- ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?

3 ? ? . 2 ,1? ?

∴y∈ - 3,2 ,∴ymax+ymin=2- 3.

解析答案

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π 3.将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移4个单位长度,所得
?3π ? ? ? 图象经过点? 4 ,0?,则 ? ?

ω 的最小值是___. 2
? π ? ? y=sin?ωx-4ω? ?, ? ?

解析

根据题意平移后函数的解析式为

?3π ? ? 将? 4 ,0? ?代入得 ? ?

ωπ sin =0, 2

则ω=2k,k∈Z,且ω>0,
故ω的最小值为2.

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4.关于函数

? π? ? ? y=tan?2x-3?,下列说法正确的是_______. ? ?

①是奇函数;
? π? ? ? ②在区间?0,3?上单调递减; ? ? ?π ? ? , 0 ③? ? ?为其图象的一个对称中心; 6 ? ?

④最小正周期为 π.

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[0,1] 5.函数y=cos 2x+sin2x,x∈R的值域是______.

解析

1-cos 2x y=cos 2x+sin x=cos 2x+ 2
2

1+cos 2x = . 2
∵cos 2x∈[-1,1], ∴y∈[0,1].

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? π 3π? ? ? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z) 4 4 ? ? 6.函数f(x)=sin(-2x)的单调增区间是______________________.

解析

由f(x)=sin(-2x)=-sin 2x,

π 3π π 3π 2kπ+ ≤2x≤2kπ+ (k∈Z)得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 2 4 4

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7.函数
解析

? π? ? ? y=tan?2x+4?的图象与 ? ?

x

?kπ π ? ? ? ? - ,0?(k∈Z) 8 ? ?2 轴交点的坐标是__________________.

π kπ π 由 2x+4=kπ(k∈Z)得,x= 2 -8(k∈Z).
? π? ? ? y=tan?2x+4?的图象与 ? ?

∴函数

x

?kπ π ? ? ? 轴交点的坐标是? 2 -8,0?(k∈Z). ? ?

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π π 8.设函数 f(x)=3sin(2x+4),若存在这样的实数 x1,x2,对任意的 x∈R,
2 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为____.

解析

π π 2 f(x)=3sin(2x+4)的周期 T=2π×π=4,

f(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值,

T 故|x1-x2|的最小值为 =2. 2

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1 9.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)-2. π 2 (1)若 0<α< ,且 sin α= ,求 f(α)的值; 2 2 π 2 解 因为 0<α< ,sin α= , 2 2 2 所以 cos α= 2 . ? 2 ? 1 1 2 2 ? ? 所以 f(α)= 2 ×? + ?-2=2. 2? ? 2

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(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 1+cos 2x 1 1 1 2 解 因为 f(x)=sin xcos x+cos x- = sin 2x+ - 2 2 2 2
π? 1 1 2 ? ? ? = sin 2x+ cos 2x= sin?2x+4?, 2 2 2 ? ? 2π 所以最小正周期 T= 2 =π. π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 ? 3π π? ? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. ? ?
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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,0<φ< )的最小正周期为 π, 2 且图象上有一个最低点为 (1)求 f(x)的解析式;
?2π ? ? M? 3 ,-3? ?. ? ?

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(2)求函数

? π? ? ? y=f(x)+f?x+4?的最大值及对应 ? ?

x 的值.

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π 11.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若 f(8)=-2,则 f(x)的单 3π π 调递减区间是 [kπ- 8 ,kπ+8],(k∈Z) . π π π π 解析 由 f(8)=-2 得,f(8)=-2sin(2×8+φ)=-2sin(4+φ)=-2, π 所以 sin(4+φ)=1. π 因为|φ|<π,所以 φ=4. π π π 由 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2,k∈Z, 3π π 解得 kπ- 8 ≤x≤kπ+8,k∈Z.
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12.已知函数 f(x)=2sin 3 则 ω 的最小值等于______. 2 π π 解析 ∵ω>0,- ≤x≤ , 3 4 ωπ ωπ ∴- 3 ≤ωx≤ 4 .
ωπ π 由已知条件知- 3 ≤-2, 3 ∴ω≥2.

? π π? ? ? ωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是-2, ? ?

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13.(2014· 北京)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 是常数, A>0, ω>0). 若
?π π? ? f(x)在区间?6,2? ?上具有单调性,且 ? ? ?π? ?2π? ?π? ? ? ? ? ? f?2?=f? 3 ?=-f? ? ?,则 ? ? ? ? ?6?

f(x)的

最小正周期为___.

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π 14.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图象如图, 2 π 则 f( )=____. 24

解析答案

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15.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? ? ? f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b,当 ? ?

? π? ? ? x∈?0,2?时, ? ?

(1)求常数 a,b 的值;

解析答案

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? π? ? ? g(x)=f?x+2?且 ? ?

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(2)设

lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间.

解析答案

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