[k12精品]2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公

k12 精品 3.1.1 两角差的余弦公式 [A 级 基础巩固] 一、选择题 1.cos 47°cos 137°+sin 47°sin 137°的值等于( ) 1 A.0 B.1 C.-1 D.2 解析:原式=cos(47°-137°)=cos(-90°)=0. 答案:A 2.若 a=(cos 60°,sin 60°),b=(cos 15°,sin 15°),则 a·b=( ) A. 2 2 B.12 C. 3 2 D.-12 解析:a·b=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°- 15°)=cos 45°= 22. 答案:A 3.已知 cos α =1132,α ∈???32π ,2π ???,则 cos???α -π4 ???的值为( ) A.5132 B.7132 C.1726 2 D.7262 解析:因为 a∈???32π ,2π ???,所以 sin α =-153, 所以 cos???a-π4 ???=cos α cosπ4 +sin α sinπ4 = 1132× 22+???-153???× 22=7262. 答案:D 4.已知△ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B), 且 a·b=1,则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:因为 a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且 A,B,C 是三角形的 内角,所以 A=B,即△ABC 一定是等腰三角形. 答案:B K12 精品文档学习用 k12 精品 5.若 cos(α +β )=35,sin???β -π4 ???=153,α ,β ∈???0,π2 ???,那么 cos???α +π4 ???的值 为( ) A. 2 2 B.32 C.6556 D.3665 解析:因为 α ,β ∈???0,π2 ???, 所以 α +β ∈(0,π ),β -π4 ∈???-π4 ,π4 ???. 又因为 cos(α +β )=35,sin???β -π4 ???=153, 所以 sin (α +β )= 1-cos2(α +β )=45, cos???β -π4 ???= 1-sin 2???β -π4 ???=1132, 所以 cos???α +π4 ??? =cos???(α +β )-???β -π4 ?????? =cos (α +β )cos???β -π4 ???+sin(α +β )·sin???β -π4 ??? =35×1123+45×153=6556. 故选 C. 答案:C 二、填空题 6.cos(x+270°)cos(x-180°)+sin(x+270°)sin(x-180°)的值等于________. 解析:原式=cos[(x+270°)-(x-180°)]= cos 450°=cos(360°+90°)=cos 90°=0. 答案:0 7.12sin 75°+ 23sin 15°的值等于________. 解析:原式=cos 60°·cos 15°+sin 60°·sin 15°= cos(60°-15°)=cos 45°= 22. 答案: 2 2 K12 精品文档学习用 k12 精品 8.已知 sin ???A+π4 ???=7102,A∈???π4 ,π2 ???,则 cos A=________. 解析:由 A∈???π4 ,π2 ???,可知 A+π4 ∈???π2 ,34π ???,则 cos???A+π4 ??? =- 2 10 ,cosA= cos??????A+π4 ???-π4 ???=cos???A+π4 ???·cos π 4 +sin ???A+π4 ???sinπ4 =- 102× 22+7102× 22=35. 3 答案:5 三、解答题 9.(1)化简: cos(α -β )cos(α -γ )-sin(α -β )sin(γ -α ); (2)已知 sin α 5 =13,α ∈???π2 ,π ???,求 cos???α -π4 ???的值. 解:(1)原式=cos(α -β )cos(α -γ )+sin(α -β )sin(α -γ )=cos[(α -β )- (α -γ )]=cos(γ -β ). (2)因为 sin α =153,α ∈???π2 ,π ???, 12 所以 cos α =- 1-sin2α =-13, 所以 cos???α -π4 ???=cos α cos π 4 +sin α sin π 4 =???-1123???× 22+153× 22=-7262. 10.设 cos???α -β2 ???=-19,sin???α2 -β ???=23,其中 α ∈???π2 ,π ???,β ∈???0,π2 ???,求 cosα +β 2 . 解:因为 α ∈???π2 ,π ???,β ∈???0,π2 ???, 所以 α -β2 ∈???π4 ,π ???,α2 -β ∈???-π4 ,π2 ???. 因为 cos???α -β2 ???=-19,sin???α2 -β ???= 23, 所以 sin???α -β2 ???= 1-cos2???α -β2 ???= 1-811=4 9 5, cos???α2 -β ???= 1-sin2???α2 -β ???= 45 1-9= 3 . 所以 cos α +β 2 =cos??????α -β2 ???-???α2 -β ?????? =cos???α -β2 ???cos???α2

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