方正县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

方正县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 如果 A. C. 2. 复数 z= 是定义在 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( B. D. (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) )

姓名__________

分数__________

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 设 l,m,n 表示不同的直线,α,β,γ 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m∥l,m⊥α,则 l⊥α; ②若 m∥l,m∥α,则 l∥α; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,n∥β,则 l∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4 )

4. 已知△ ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是( A. C. (x≠0) (x≠0) B. D. (x≠0) (x≠0)
0

5. 已知三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为 32 ? , ?ABC ? 90 ,三棱锥 S ? ABC 的三视图如图 所示,则其侧视图的面积的最大值为( A.4 B. 4 2 ) C.8 D. 4 7

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6. 已知 a=21.2,b=(﹣ )﹣0.8,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a



7. 设曲线 f ( x) ? x2 ? 1 在点 ( x, f ( x)) 处的切线的斜率为 g ( x) ,则函数 y ? g ( x) cos x 的部分图象 可以为( )

A.

B.

C.

D.

?x? y?0 ? 8. 已知不等式组 ? x ? y ? 1 表示的平面区域为 D ,若 D 内存在一点 P( x0 , y0 ) ,使 ax0 ? y0 ? 1 ,则 a 的取值 ?x ? 2 y ? 1 ?
范围为( A. (??, 2) ) B. (??,1) C. (2, ??) D. (1, ??) ) D.2

9. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1,0) , c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, (a ? ?b) / / c ,则 ? ? ( A.

1 4

B.

1 2

C.1

10.点 A 是椭圆

上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 是△ AF1F2 的内心.若 ,则该椭圆的离心率为( )

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A.

B.

C.

D.

11.设函数 f ( x) 是定义在 (??,0) 上的可导函数,其导函数为 f ' ( x) ,且有 2 f ( x) ? xf ' ( x) ? x 2 ,则不等式

( x ? 2014 ) 2 f ( x ? 2014 ) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为
A、 (??,?2012 ) B、 (?2012 ,0) C、 (??,?2016 ) D、 (?2016 ,0) )

12.已知空间四边形 ABCD , M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点,且 AC ? 4 , BD ? 6 ,则( A. 1 ? MN ? 5 B. 2 ? MN ? 10 C. 1 ? MN ? 5

D. 2 ? MN ? 5

二、填空题
13. 将一个半径为 3 和两个半径为 1 的球完全装入底面边长为 6 的正四棱柱容器中, 则正四棱柱容器的高的最 小值为 .
2 2

14.已知关于的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2) ,则关于的不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集 为___________. 15.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】函数 f ? x ? ?

1 2 x ? lnx 的单调递减区间为__________. 2
)t﹣a(a 为常数),

16.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=(

如图所示,据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开 始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

? x2 ? 1, x ? 0 x 17.已知函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? 2 ? 1,则 f ( g (2)) ? ? x ? 1, x ? 0
18.若复数 z ? sin ? ?

, f [ g ( x)] 的值域为



【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

3 4 ? (cos ? ? )i 是纯虚数,则 tan ? 的值为 5 5

.

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【命题意图】本题考查复数的相关概念,同角三角函数间的关系,意在考查基本运算能力.

三、解答题
19. =ax 在 “关于 x 的不等式 x2﹣2ax+ ≥0 已知 a>0,a≠1,命题 p:“函数 f(x) (0,+∞) 上单调递减”,命题 q: 对一切的 x∈R 恒成立”,若 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

20.已知命题 p:x2﹣2x+a≥0 在 R 上恒成立,命题 q: q 为假,求实数 a 的取值范围.

若 p 或 q 为真,p 且

21.设 0<| |≤2,函数 f(x)=cos2x﹣| |sinx﹣| |的最大值为 0,最小值为﹣4,且 与 的夹角为 45°,求| + |.

22.(本小题满分 12 分)某校为了解高一新生对文理科的选择,对 1 000 名高一新生发放文理科选择调查表, 统计知,有 600 名学生选择理科,400 名学生选择文科.分别从选择理科和文科的学生随机各抽取 20 名学生 的数学成绩得如下累计表:

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分数段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

理科人数

文科人数

正 正



(1)从统计表分析,比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况,并绘制理科数学成绩的频 率分布直方图.

(2)根据你绘制的频率分布直方图,估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分.

23.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范 围.

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24.已知三次函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b,a、b 为实数. (1)若曲线 y=f(x)在点(a+1,f(a+1))处切线的斜率为 12,求 a 的值; (2)若 f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,且 1<a<2,求函数 f(x)的解析式.

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方正县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】【知识点】函数的奇偶性 【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数,y=x 是奇函数,故 故答案为:B 2. 【答案】C 【解析】解:z= = = = + 是偶函数。

i,

当 1+m>0 且 1﹣m>0 时,有解:﹣1<m<1; 当 1+m>0 且 1﹣m<0 时,有解:m>1; 当 1+m<0 且 1﹣m>0 时,有解:m<﹣1; 当 1+m<0 且 1﹣m<0 时,无解; 故选:C. 【点评】本题考查复数的几何意义,注意解题方法的积累,属于中档题. 3. 【答案】 B 【解析】解:∵①若 m∥l,m⊥α, 则由直线与平面垂直的判定定理,得 l⊥α,故①正确; ②若 m∥l,m∥α,则 l∥α 或 l?α,故②错误; ③如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 平面 ABB1A1∩平面 ABCD=AB, 平面 ABB1A1∩平面 BCC1B1=BB1, 平面 ABCD∩平面 BCC1B1=BC, 由 AB、BC、BB1 两两相交,得: 若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n 不成立,故③是假命题; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,n∥β, 则由 α∩γ=n 知,n?α 且 n?γ,由 n?α 及 n∥β,α∩β=m, 得 n∥m,同理 n∥l,故 m∥l,故命题④正确. 故选:B.

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【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 4. 【答案】B 【解析】解:∵△ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4),C (0,4), ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4
2 ∴b =20,

∴椭圆的方程是 故选 B. 【点评】本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭圆,本题是一个易 错题,容易忽略掉不合题意的点. 5. 【答案】A 【解析】

考 点:三视图. 【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,

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左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几 何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置, 再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 6. 【答案】A
0.8 0.8 1.2 【解析】解:∵b=(﹣ )﹣ =2 <2 =a,且 b>1,

又 c=2log52=log54<1, ∴c<b<a. 故选:A. 7. 【答案】A 【解析】 试题分析: g ? x ? ? 2x, g ? x ? cos x ? 2x cos x, g ? ?x ? ? ?g ? x ? ,cos ? ?x ? ? cos x ,? y ? g ? x ? cos x 为奇函 数,排除 B,D,令 x ? 0.1 时 y ? 0 ,故选 A. 1 考点:1、函数的图象及性质;2、选择题“特殊值”法. 8. 【答案】A 【解析】解析:本题考查线性规划中最值的求法.平面区域 D 如图所示,先求 z ? ax ? y 的最小值,当 a ? 时, ? a ? ?

1 2

1 1 1 1 1 ( , ) , z ? ax ? y 在点 A 取得最小值 a ;当 a ? 时, ? a ? ? , z ? ax ? y 在点 B 取 ( 1,0 ) 2 2 2 3 3 1 ? 1 1 ?a ? 得最小值 a ? .若 D 内存在一点 P( x0 , y0 ) ,使 ax0 ? y0 ? 1 ,则有 z ? ax ? y 的最小值小于 1 ,∴ ? 2或 3 3 ? ?a ? 1

1 ? a ? ? ? 2 ,∴ a ? 2 ,选 A. ? 1 1 ? a ? ?1 ? 3 ?3
y

1 1 B( , ) 3 3 O

A(1, 0)

x

9. 【答案】B 【解析】
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试题分析:因为 a ? (1, 2) , b ? (1,0) ,所以 (a ? ? b) ? ?1 ? ? , 2 ? ,又因为 (a ? ?b) / / c ,所以

4 ?1 ? ? ? ? 6 ? 0, ? ?
10.【答案】B

1 ,故选 B. 2

考点:1、向量的坐标运算;2、向量平行的性质. 【解析】解:设△AF1F2 的内切圆半径为 r,则 S△IAF1= |AF1|r,S△IAF2= |AF2|r,S△IF1F2= |F1F2|r, ∵ ∴ |AF1|r=2 × |F1F2|r﹣ |AF2|r, |F1F2|.∴a=2 = . , ,

整理,得|AF1|+|AF2|=2 ∴椭圆的离心率 e= = 故选:B.

11.【答案】C.

【解析】由 即 即 在 ,令 是减函数, , 在 即 【解析】 12.【答案】A



得: ,则当 时,

, , , , 得, ,

是减函数,所以由 ,故选

试题分析:取 BC 的中点 E ,连接 ME , NE , ME ? 2, NE ? 3 ,根据三角形中两边之和大于第三边,两边之 差小于第三边,所以 1 ? MN ? 5 ,故选 A.

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考点:点、线、面之间的距离的计算.1 【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用,其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、 三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及转化与化归思想的应用, 本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边 是解答的关键,属于基础题.

二、填空题
13.【答案】 4+ .

【解析】解:作出正四棱柱的对角面如图, ∵底面边长为 6,∴BC= 则 ∴ ∴正四棱柱容器的高的最小值为 4+ 故答案为:4+ . . , , = , , 球 O 的半径为 3,球 O1 的半径为 1, 在 Rt△OMO1 中,OO1=4,

【点评】本题考查球的体积和表面积,考查空间想象能力和思维能力,是中档题. 14.【答案】 (?? , ) ? (1,?? ) 【 解 析 】

1 2

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考 点:一元二次不等式的解法. 15.【答案】 ? 0,1?

【解析】 16.【答案】0.6 【解析】解:当 t>0.1 时,可得 1=( ∴0.1﹣a=0 a=0.1 由题意可得 y≤0.25= , 即( )t﹣0.1≤ , )0.1﹣a

即 t﹣0.1≥ 解得 t≥0.6, 由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室.

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故答案为:0.6 【点评】本题考查函数、不等式的实际应用,以及识图和理解能力.易错点:只单纯解不等式,而忽略题意, 得到其他错误答案. 17.【答案】 2 , [?1, ??) . 【 解 析 】

18.【答案】 ?

3 4

【解析】由题意知 sin ? ?

3 4 4 3 ? 0 ,且 cos ? ? ? 0 ,所以 cos ? ? ? ,则 tan ? ? ? . 5 5 5 4

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:若 p 为真,则 0<a<1; 若 q 为真,则△=4a ﹣1≤0,得 又 a>0,a≠1,∴ .
2



因为 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,所以 p,q 中必有一个为真,且另一个为假. ①当 p 为真,q 为假时,由 ;

②当 p 为假,q 为真时, 综上,a 的取值范围是 20.【答案】 .

无解.

【点评】1.求解本题时,应注意大前提“a>0,a≠1”,a 的取值范围是在此条件下进行的.

【解析】解:若 P 是真命题.则△=4﹣4a≤0∴a≥1; …(3 分)
2 若 q 为真命题,则方程 x +2ax+2﹣a=0 有实根, 2 ∴△=4a ﹣4(2﹣a)≥0,即,a≥1 或 a≤﹣2,…(6 分)

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依题意得,当 p 真 q 假时,得 a∈?; …(8 分) 当 p 假 q 真时,得 a≤﹣2.…(10 分) 综上所述:a 的取值范围为 a≤﹣2.…(12 分) 【点评】 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系, 解决此类问题应该先求出简单命题为真时 参数的范围,属于基础题. 21.【答案】
2 【解析】解:f(x)=cos x﹣| |sinx﹣| |

=﹣sin2x﹣| |sinx+1﹣| | =﹣(sinx+
2 )+

+1﹣| |, <0, 时,f(x)取最大值 +1﹣| |=0,

∵0<| |≤2,∴﹣1≤﹣ 由二次函数可知当 sinx=﹣

当 sinx=1 时,f(x)取最小值﹣| |﹣| |=﹣4, 联立以上两式可得| |=| |=2, 又∵ 与 的夹角为 45°, ∴| + |= = =

【点评】本题考查数量积与向量的夹角,涉及二次函数的最值和模长公式,属基础题. 22.【答案】 【解析】解:(1)从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩,反映 了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响,频率分布直方图如下.

(2)从频率分布直方图知,数学成绩有 50%小于或等于 80 分,50%大于或等于 80 分,所以中位数为 80 分. 平均分为(55×0.005+65×0.015+75×0.030+85×0.030+95×0.020)×10=79.5,

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即估计选择理科的学生的平均分为 79.5 分. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)= ∴由 2k ≤ + ≤2kπ sin cos +cos2 =sin( + ,k∈Z 可解得:4kπ﹣ ,4kπ ) , ,k∈Z,

≤x≤4kπ ],k∈Z.

∴函数 f(x)单调递增区间是:[4kπ﹣ (Ⅱ)∵f(A)=sin( + ) ,

∵由条件及正弦定理得 sinBcosC=(2sinA﹣sinC)cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB, ∴则 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB,又 sin(B+C)=sinA≠0, ∴cosB= ,又 0<B<π, ∴B= . , , )<1,

∴可得 0<A< ∴ ∴ < + <

sin( +

故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 【点评】 本题考查三角函数性质及简单的三角变换, 要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角 函数进行化简求值,属于中档题. 24.【答案】 【解析】解:(1)由导数的几何意义 f′(a+1)=12
2 ∴3(a+1) ﹣3a(a+1)=12 ∴3a=9∴a=3 2 (2)∵f′(x)=3x ﹣3ax,f(0)=b

∴ 由 f′(x)=3x(x﹣a)=0 得 x1=0,x2=a ∵x∈[﹣1,1],1<a<2 ∴当 x∈[﹣1,0)时,f′(x)>0,f(x)递增;当 x∈(0,1]时,f′(x)<0,f(x)递减. ∴f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值为 f(0) ∵f(0)=b,

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∴b=1 ∵ ∴f(﹣1)<f(1) ∴f(﹣1)是函数 f(x)的最小值, ∴ ∴
3 2 ∴f(x)=x ﹣2x +1



【点评】 曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率; 求函数的最值, 一定要注意导数为 0 的根与定义域的关系.

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