2019-2020年高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程达标训练新人教A版选修

2019-2020 年高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程达标训练新人教

A 版选修

基础·巩固

1 下列可以作为直线 2x-y+1=0 的参数方程的是( )

A.(t 为参数)

B.(t 为参数)

C.(t 为参数)

D.

? ??x ?

?

2

?

2

5 5

t

(t

为参数)

???y ? 5 ?

5t 5

思路解析:根据所给的方程可知直线的斜率为 2,而所给直线的参数方程中,A 选项的斜率是 1,B 选项的斜率是-2,C 选项的斜率是 2,D 选项的斜率是,所以只有 C 符合条件,这里 C 虽然不 是标准式的参数方程,但是只有 C 能化成 2x-y+1=0. 答案:C 2 已知直线 l 的斜率为 k=-1,经过点 M0(2,-1),点 M 在直线上,以 的数量 t 为参数,则直线 l 的参数方程为_____________. 思路解析:∵直线的斜率 k=-1,∴倾斜角 α =.因此得 cosα =,sinα =.代入参数方程的标准 形式即可.

?

答案:

??x ?

?

2

?

2 t, 2 (t 为参数)

? ??

y

?

?1

?

2t 2

3 直线 l 经过点 M0(1,5),倾斜角为,且交直线 x-y-2=0 于 M 点,则|MM0|=_________.

思路解析:直线

l

的参数方程为

???x ?

?

1

?

1 2

t,

(t 为参数),代入方程 x-y-2=0 中得

? ??

y

?

5

?

3t 2

1+t-(5+t)-2=0t=6(-1). 根据 t 的几何意义即得|MM0|=6(-1). 答案:6(-1) 4 已知直线 l 的参数方程是(t 为参数),其中实数 α 的范围是(,π ),则直线 l 的倾斜角是 ___________. 思路解析:首先要根据 α 的范围把直线的参数方程化为标准参数方程,根据标准式结合 α 的范围得出直线的倾斜角. 答案:-α 5 已知圆 x2+y2=r2 及圆内一点 A(a,b)(a、b 不同时为零),求被 A 平分的弦所在的直线方程. 思路分析:利用直线参数方程中参数 t 的性质.所以,首先设出直线的参数方程,代入圆的方 程,可以得到关于参数 t 的二次方程,根据参数的性质可知,方程两根的和为 0. 解:设所求直线的参数方程为(t 为参数 代入圆的方程 x2+y2=r2,

整理得 t2+2(acosθ +bsinθ )t+a2+b2-r2=0.

设 t1、t2 为方程两根,∵A 是中点,

∴t1+t2=0,即 acosθ +bsinθ =0. ①×a+②×b,得 ax+by=a2+b2+t(acosθ +bsinθ )=a2+b2, 故所求直线方程是 ax+by=a2+b2.

6 下表是一条直线上的点和对应参数的统计值:

参数 t

2

6

横坐标 x

2-

1

2-

0

纵坐标 y

5+

6

5+

7

根据数据,可知直线的参数方程是_________,转化为普通方程是(一般式)_________,直线被

圆(x-2)2+(y-5)2=8 截得的弦长为_________.

思路解析:这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的一个综合问题.充

分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给

?

出直线的参数方程

??x ?

?

2

?

2 t, 2 (t 为参数),然后把参数方程转化为普通方程 x+y-7=0,而

???y ? 5 ?

2t 2

由参数方程可知直线一定过点(2,5),恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截得的弦长恰好 是圆的直径,易知直径长为.

?

答案:

??x ?

?

2

?

2 t, 2 (t 为参数)

? ??

y

?

5

?

2t 2

x+y-7=0

7 已知点 A(3,0),点 B 在单位圆 x2+y2=1 上移动时,求∠AOB 的平分线与 AB 的交点的轨迹.

思路分析:本题综合了圆和直线的参数方程两者的应用,要注意的是当点 O\,A\,B 共线这种

特殊情况的讨论.

解:点 B 在单位圆上,则可设 B(cosθ ,sinθ ),∠AOB 的平分线与 AB 的交点为 P(x,y),则分 =3, 又点 P 在 AB 上,由直线的参数方程得

? ?? ? ? ??

x y

? ?

3 ? 3cos? 4
3sin? , 4

,即????cos? ???s in ?

? ?

4x ? 3
4y , 3

3

,

∴()2+()2=1.整理得(x-)2+y2=. 特别地,如果点 B 的坐标为(1,0),则∠AOB 的平分线与 AB 交于线段 AB 上任一点,P 点轨迹为 线段 BA;如果点 B 的坐标为(-1,0),则∠AOB 的平分线与 AB 交于点 O. ∴当点 B 的坐标为(1,0)时,所求轨迹为线段 BA;当点 B 的坐标为(-1,0)时,所求轨迹为点 O; 当点 B 为单位圆上其他点时,所求轨迹为以(,0)为圆心,以为半径的圆. 综合·应用 8 给出两条直线 l1 和 l2,斜率存在且不为 0,如果满足斜率互为相反数,且在 y 轴上的截距相 等,那么直线 l1 和 l2 叫做“孪生直线”. (1)现在给出 4 条直线的参数方程如下:

l1:(t 为参数);

?

l2:

??x ?

?

3

?

2 t, 2 (t 为参数);

? ??

y

?

4

?

2t 2

l3:(t 为参数);

?

l4:

??x ?

?

6

?

2 t, 2

(t 为参数).

? ??

y

?

?8

?

2t 2

其中构成“孪生直线”的是__________________. (2)给出由参数方程表示的直线 l1:(t 为参数),直线 l2:(t 为参数), 那么,根据定义,直线 l1、直线 l2 构成“孪生直线”的条件是_______________. 思路解析:根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为 0,互为相反数, 且在 y 轴的截距相等,也就是在 y 轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为 -1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在 y 轴上的截距.令 x=0 得出相应的 t 值,代 入 y 可得只有直线 l1 和直线 l4 在 y 轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生 直线”.对于题(2)首先写出相应斜率分别是 tanα 1 和 tanα 2,因此要 tanα 1=-tanα 2,即 tanα 1+tanα 2=0;然后再考虑在 y 轴上的截距,首先在 l1 的参数方程中,令 x=x1+tcosα 1=0, 可得 t=,代入得 y=y1-x1tanα 1.同理可得直线 l2 在 y 轴上的截距是 y=y2-x2tanα 2.由定义中的 条件“截距相等”可得 y1-x1tanα 1=y2-x2tanα 2,即 y1-y2=x1tanα 1-x2tanα 2. 如 果 把 tanα 1=-tanα 2 代 入 式 子 还 可 以 进 一 步 得 到 y1-y2=x1tanα 1+x2tanα 1, 即 y1-y2=(x1+x2)tanα 1. 答案:(1)直线 l1 和直线 l4 (2)tanα 1+tanα 2=0 且 y1-y2=x1tanα 1-x2tanα 2〔也可以写出 y1-y2=(x1+x2)tanα 1〕 9 已知抛物线方程:y=x2-2x+,过焦点 F 作直线交抛物线于 A、B,且 AF∶FB=1∶2.求(1)直线 AB 的方程;(2)弦 AB 中点到抛物线准线的距离. 思路分析:由题目中的条件可知:利用直线的标准参数方程来求解,主要考虑从 t 的几何意 义来入手解题. 解 : (1) 由 y=x2-2x+, 得 (x-1)2=y+,∴ 焦 点 F ( 1,0 ) . 可 设 直 线 AB: 代 入 y=x2-2x+,∴t2cos2α -tsinα -=0,由题意 AF∶FB=1∶2, ∴或=-2,即 t1=-t2 或 t1=-2t2.



???t1 ? ? ???t1t 2

t2 ?

? t2 2
?1t 2

,
2 2

或??t1 ? ?t1t 2

t2 ?

? ?t2 , ?2t2 2 .

∴(t1+t2)2=-t1t2 或(t1+t2)2·(-2)=t1t2,解得 tanα =±. ∴AB:y=±(x-1).

(2)设

AB

中点为

M,AB:

? ??x ?

?

1

?

t

?

2

3

2

,

tm=(t1+t2)=·,

? ??

y

?

t

?

1 3

,

?



??xm ?

?1?

2, 8

? ??

y

m

?

1 16

准线 l:y=-.∴d=ym-(-)=. 10 过点 M(2,1)的直线 l 交椭圆 C:=1 于 A、B 两点,使点 M 是 AB 的一个三等分点,求直线 方程. 思路分析:本题为一直线与圆锥曲线的相交问题,由此类问题的一般求解方法:把直线的参 数方程同椭圆的参数方程联立即可,考虑利用直线参数方程中参数的几何意义来解答. 解:设 AB 方程为(t 为参数),A、B 两点对应的参数为 t1\,t2,则 t1=-2t2. 则由 t1+t2=-t2,t1t2=-2t22t1t2=-2(t1+t2)2; 联立 C 与 l 得(4sin2α +cos2α )t2+(18sinα +4cosα )t-8=0. 故 t1+t2=,t1t2=, ∴tanα =-8±=k. ∴l 方程为 y-1=(-8±)(x-2). 11 已知 AB 是半径为 R 的圆 O 的直径,CN 为平行于 AB 的弦,M 为 CN 的中点,求 BM、ON 交点 P 的轨迹方程. 思路分析:求交点的轨迹方程问题,其一般方法是联立方程组求解即可.但入手的角度不同, 选择的参数不一样,则解题思路及消参方法自然不同. 解:建立直角坐标系:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中垂线为 y 轴.(自行作图) 则 B(R,0),设 P(x,y), ∵CN∥AB, ∴ym=yn. 设 M 纵坐标为参数 t,则 M(0,t),t∈(-R,R),t≠0. 则 N(,t),由点斜式得 lON:y=x,lBM:y=x+t. 由于动点 P 是 BM、ON 的交点,故 P 的坐标同时满足以上两个直线方程,两者联立消去参数 t 得 P 的轨迹方程为 y2=-2R(x-)(0<x<,-R<y<R). 12 给出一个参数方程

(1)如果分别以 t,α 为参数,则所给的参数方程表示的图象分别是什么?请分别把它们转 化为普通方程.(α 为参数时,设 t>0,t 为参数时,设 α ≠) (2)求上述直线截上述曲线所得的弦长. (3)根据上述求解过程总结出一个结论,并用基本语句编写一个算法计算弦长. 思路分析:本题综合考查参数方程,直线与曲线的位置关系以及算法等基本知识.首先根据参 数方程的形式知:当 t 为参数时,参数方程表示直线,当 α 为参数表示圆,且直线恰好过圆的 圆心,所以弦长就是圆的直径.根据所给的参数方程不难得到一般结论,用算法表示弦长只需 根据数据求出圆的直径,所以只需使用顺序结构即可.

解:(1)以 t 为参数时,所给参数方程表示的图形是过点(2,5)且斜率为 tanα 的直线,化为普 通方程是 y-5=tanα (x-2); 以 t 为 参 数 时 , 参 数 方 程 表 示 以 (2,5) 为 圆 心 , 半 径 为 t 的 圆 , 化 为 普 通 方 程 是 (x-2)2+(y-5)2=t2. (2)上述直线恰好过圆的圆心,所以截圆所得弦长为圆的直径 2t. (3)根据上述计算过程可以总结出一般的结论为:对于一个参数方程 (α 为参数时,设 t>0,t 为参数时,设 α ≠),如果分别以 t,α 为参数,则所给的参数方程表示 的图象分别是一条直线和一个圆,且直线过圆的圆心,所以直线截圆所得弦长是圆的直径 2t. 用基本语句写出表示弦长的算法如下: INPUT“参数 t(t>0)”;t, d=2t, PRINT“所给参数方程表示的直线被圆截得的弦长是”;d, END.


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