番禺区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

番禺区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 M={2,3,4},N={0,1,4},则集合{0,1}可以表示为( A.M∪N B.(?UM)∩N C.M∩(?UN) D.(?UM)∩(?UN) )

姓名__________

分数__________

2. 某校新校区建设在市二环路主干道旁,因安全需要,挖掘建设了一条人行地下通道,地下通道设计三视图 中的主(正)视力(其中上部分曲线近似为抛物)和侧(左)视图如图(单位:m),则该工程需挖掘的总土 方数为( )

A.560m3

B.540m3

C.520m3

D.500m3 ) C.( , ) ) D.10001 ) ) ) D.( , )

3. 在曲线 y=x2 上切线倾斜角为 A.(0,0) 4. A.2 B.4 C.π

的点是(

B.(2,4) =( D.2π C.10101

5. 十进制数 25 对应的二进制数是( A.11001 B.10011

6. 若复数(m2﹣1)+(m+1)i 为实数(i 为虚数单位),则实数 m 的值为( A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1 或 1

7. 若偶函数 f(x)在(﹣∞,0)内单调递减,则不等式 f(﹣1)<f(lg x)的解集是( A.(0,10) B.( ,10) C.( ,+∞) D.(0,

)∪(10,+∞)

? f ( x ? 5) x ? 2 ? x ? 2 ? x ? 2 ,则 f (?2016) ? ( 8. 已知函数 f ( x) ? ?e ? f (? x) x ? ?2 ?
A. e
2



B. e

C.1

D.

1 e

【命题意图】本题考查分段函数的求值,意在考查分类讨论思想与计算能力.

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9. 若实数 x,y 满足 A. B.8 C.20

2 2 ,则(x﹣3) +y 的最小值是(



D.2 ,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x 的取值范围是( C.(﹣ , ) D. )

10.已知函数 f(x)=31+|x|﹣ A. B.

11. 已知 a ? ?2 , 若圆 O1 :x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2ay ? 8a ? 15 ? 0 , 圆 O2 :x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? a 2 ? 4a ? 4 ? 0 恒有公共点,则 a 的取值范围为( A. (?2,?1] ? [3,??) ). B. ( ? ,?1) ? (3,?? )

5 3

C. [ ? ,?1] ? [3,?? ) )

5 3

D. (?2,?1) ? (3,??)

12.若函数 y=|x|(1﹣x)在区间 A 上是增函数,那么区间 A 最大为( A.(﹣∞,0) B. C.[0,+∞) D.

二、填空题
13.从等边三角形纸片 ABC 上,剪下如图所示的两个正方形,其中 BC=3+ 的最小值为 . ,则这两个正方形的面积之和

14.函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x﹣2,则 f(1)+f′(1)=



15.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.给出下列结论: ①函数 y=[sinx]是奇函数; ②函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 其中正确的是 .(填上所有正确命题的编号)

16.函数 f(x)=x3﹣3x+1 在闭区间[﹣3,0]上的最大值、最小值分别是



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17.集合 A={x|﹣1<x<3},B={x|x<1},则 A∩B= 18.已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+ )= ,则 tan(θ﹣

. )= .

三、解答题
19.已知椭圆 点,且椭圆的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l1,l2 是椭圆的任意两条切线,且 l1∥l2,试探究在 x 轴上是否存在定点 B,点 B 到 l1,l2 的距离之 积恒为 1?若存在,求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由. . 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0),F2(c,0),P 是椭圆 C 上任意一

20.(本小题满分 12 分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查,下表是在某单位 得到的数据: 赞同 男 女 合计 50 30 80 反对 150 170 320 合计 200 200 400

(Ⅰ)能否有能否有 97.5% 的把握认为对这一问题的看法与性别有关? (Ⅱ)从赞同“男女延迟退休”的 80 人中,利用分层抽样的方法抽出 8 人,然后从中选出 2 人进行陈述 发言,求事件“选出的 2 人中,至少有一名女士”的概率. 参考公式: K 2 ?
n( ad ? bc ) 2 , (n ? a ? b ? c ? d ) ( a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

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【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识,意在考查统计的思想和基本运算能力

21.已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ),点 (1, ) 在椭圆 C 上,且椭圆 C 的离心率为 . 2 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 的直线与椭圆 C 交于 P , Q 两点, A 为椭圆 C 的右顶点,直线 PA , QA 分别 交直线: x ? 4 于 M 、 N 两点,求证: FM ? FN .

22.如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点,AD⊥BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线,与 CA 的延长 线相交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P. (1)求证:BF=EF; (2)求证:PA 是圆 O 的切线.

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23.现有 5 名男生和 3 名女生. (1)若 3 名女生必须相邻排在一起,则这 8 人站成一排,共有多少种不同的排法? (2)若从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,站成一排,共有多少种不同的排法?

24.已知全集 U=R,集合 A={x|x2﹣4x﹣5≤0},B={x|x<4},C={x|x≥a}. (Ⅰ)求 A∩(?UB); (Ⅱ)若 A?C,求 a 的取值范围.

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番禺区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:全集 U={0,1,2,3,4},集合 M={2,3,4},N={0,1,4}, ∴?UM={0,1}, ∴N∩(?UM)={0,1}, 故选:B. 【点评】本题主要考查集合的子交并补运算,属于基础题. 2. 【答案】A 【解析】解:以顶部抛物线顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系,易得抛物线过点(3, ﹣1),其方程为 y=﹣ S1= 下部分矩形面积 S2=24, 故挖掘的总土方数为 V=(S1+S2)h=28×20=560m . 故选:A. 【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查,考查学生的计算能力,属于中档题. 3. 【答案】D
2 【解析】解:y'=2x,设切点为(a,a ) 3

,那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积 =2 =4,

∴y'=2a,得切线的斜率为 2a,所以 2a=tan45°=1, ∴a= , 在曲线 y=x 上切线倾斜角为 故选 D. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查 运算求解能力.属于基础题. 4. 【答案】A 【解析】解:∵(﹣cosx﹣sinx)′=sinx﹣cosx, ∴ 故选 A. = =2.
2

的点是( , ).

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5. 【答案】A 【解析】解:25÷2=12…1 12÷2=6…0 6÷2=3…0 3÷2=1…1 1÷2=0…1 故 25(10)=11001(2)故选 A. 【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除 k 取余法”的方法步骤是解答本 题的关键. 6. 【答案】A 【解析】解:∵(m ﹣1)+(m+1)i 为实数, ∴m+1=0,解得 m=﹣1, 故选 A. 7. 【答案】D 【解析】解:因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|), 因为 f(x)在(﹣∞,0)内单调递减,所以 f(x)在(0,+∞)内单调递增, 由 f(﹣1)<f(lg x),得|lg x|>1,即 lg x>1 或 lg x<﹣1,解得 x>10 或 0<x< 故选:D. 【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用,在解对数不等式时注意对数的真数大于 0,是个基础 题. 8. 【答案】B 【解析】 f (?2016) ? f (2016) ? f (5 ? 403 ? 1) ? f (1) ? e ,故选 B. 9. 【答案】A 【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示: .
2

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由图象得 P(3,0)到平面区域的最短距离 dmin=
2 2 ∴(x﹣3) +y 的最小值是:





故选:A. 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道基础题. 10.【答案】A 【解析】解:函数 f(x)=3
1+x 当 x≥0 时,f(x)=3 ﹣ 1+x 1+|x|



为偶函数,

∵此时 y=3

为增函数,y=

为减函数,

∴当 x≥0 时,f(x)为增函数, 则当 x≤0 时,f(x)为减函数, ∵f(x)>f(2x﹣1), ∴|x|>|2x﹣1|, ∴x2>(2x﹣1)2, 解得:x∈ 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数的单调性,难度中档. 11.【答案】C ,

【解析】由已知,圆 O1 的标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? a) ? (a ? 4) ,圆 O2 的标准方程为
2 2 2

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2 2 ( x ? a) ? ( y ? a2 ) ? (a ? 2 ) a ? ?2 ,要使两圆恒有公共点,则 2 ?| O1O2 |? 2a ? 6 ,即 ,∵

5 ? a ? ?1 2 ?| a ? 1 |? 2a ? 6 ,解得 a ? 3 或 3 ,故答案选 C ?
12.【答案】B 【解析】解:y=|x|(1﹣x)= 再结合二次函数图象可知 函数 y=|x|(1﹣x)的单调递增区间是: 故选:B. . ,

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:设大小正方形的边长分别为 x,y,(x,y>0). 则 +x+y+ =3+ ,

化为:x+y=3.
2 2 则 x +y

= ,当且仅当 x=y= 时取等号.

∴这两个正方形的面积之和的最小值为 . 故答案为: . 14.【答案】 4 .

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【解析】解:由题意得 f′(1)=3,且 f(1)=3×1﹣2=1 所以 f(1)+f′(1)=3+1=4. 故答案为 4. 【点评】本题主要考查导数的几何意义,要注意分清 f(a)与 f′(a). 15.【答案】 ②③④

【解析】解:①函数 y=[sinx]是非奇非偶函数; ②函数 y=[sinx]的周期与 y=sinx 的周期相同,故是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数数 y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 故答案为:②③④. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查新定义,正确理解新定义是关键. 16.【答案】 3,﹣17 .

【解析】解:由 f′(x)=3x ﹣3=0,得 x=±1, 当 x<﹣1 时,f′(x)>0, 当﹣1<x<1 时,f′(x)<0, 当 x>1 时,f′(x)>0, 故 f(x)的极小值、极大值分别为 f(﹣1)=3,f(1)=﹣1, 而 f(﹣3)=﹣17,f(0)=1, 故函数 f(x)=x ﹣3x+1 在[﹣3,0]上的最大值、最小值分别是 3、﹣17. 17.【答案】 {x|﹣1<x<1} .
3

2

【解析】解:∵A={x|﹣1<x<3},B={x|x<1}, ∴A∩B={x|﹣1<x<1}, 故答案为:{x|﹣1<x<1} 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 18.【答案】 .

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【解析】解:∵θ 是第四象限角, ∴ 又 sin(θ+ ∴cos(θ+ ∴cos( )= , )= )=sin(θ+ )= ,sin( . )=cos(θ+ )= . ,则 ,

则 tan(θ﹣

)=﹣tan(

)=﹣

=



故答案为:﹣ .

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵椭圆 P 是椭圆 C 上任意一点,且椭圆的离心率为 ∴ = ,解得 .… , , 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0),F2(c,0),

∴椭圆 C 的方程为

(2)①当 l1,l2 的斜率存在时,设 l1:y=kx+m,l2:y=kx+n(m≠n) ,
2 2 2 2 2 2 △=0,m =1+2k ,同理 n =1+2k m =n ,m=﹣n,

设存在



2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 m =1+2k ,则|k (2﹣t )+1|=1+k ,k (1﹣t )=0 或 k (t ﹣3)=2(不恒成立,舍去) 2 ∴t ﹣1=0,t=±1,点 B(±1,0),

②当 l1,l2 的斜率不存在时, 点 B(±1,0)到 l1,l2 的距离之积为 1.

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综上,存在 B(1,0)或(﹣1,0).…

20.【答案】

400 ? ? 50 ? 170 ? 30 ? 150 ? ? 6.25 【解析】(Ⅰ)根据题中的数据计算: ? ? 80 ? 320 ? 200 ? 200
2 2

因为 6.25>5.024,所以有 97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 (Ⅱ)由已知得抽样比为

取2人共有 ?a, b? ,?a, c? ,?a, d? ,?a, e? ,?a,1? ,?a,2? ,?a,3? ,?b, c? ,?b, d? ,?b, e? ,?b,1? ,?b, 2? ,

8 1 = ,故抽出的8人中,男士有5人,女士有3人.分别设为 a, b, c, d , e,1, 2,3 ,选 80 10

?b,3? ,?c, d? ,?c, e? ,?c,1? ,?c, 2? ,?c,3? ,?d , e? ,?d ,1? ,?d ,2? ,?d ,3? ,?e,1? ,?e, 2? ,?e,3? , ?1, 2? , ?1,3? , ?2,3? 28个基本事件,其中事件“选出的2人中,至少有一名女士”包含18个基本事件,故所
18 9 = . 28 14 x2 y 2 ? ? 1 ;(2)证明见解析. 21.【答案】(1) 4 3
求概率为 P ? 【解析】 试题分析: (1)由题中条件要得两个等式,再由椭圆中 a, b, c 的等式关系可得 a , b 的值,求得椭圆的方程; (2)可设直线 P Q 的方程,联立椭圆方程,由根与系数的关系得 y1 ? y2 ?

?6 m ?9 , y1 y2 ? ,得 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

直线 lPA ,直线 lQA ,求得点 M 、 N 坐标,利用 FM ? FN ? 0 得 FM ? FN .

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? ? ?c 1 ? a ? 2, 试题解析: (1)由题意得 ? ? , 解得 ? ? ?b ? 3. ?a 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? 2 2 x y ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 4 3

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又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 ,

2 y1 2 y2 2 y1 2 y2 ) , N (4, ) ,则 FM ? (3, ) , FN ? (3, ), my1 ? 1 my2 ? 1 my1 ? 1 my2 ? 1 ?36 2 y1 2 y2 4 y1 y2 3m2 ? 4 FM ? FN ? 9 ? ? ? 9? ? 9? ? 9?9 ? 0 2 ?6m2 ?9 my1 ? 1 my2 ? 1 1 ? m( y1 ? y2 ) ? m y1 y2 2 1? 2 ?m 3m ? 4 3m2 ? 4 ∴ FM ? FN
∴ M (4, 考点:椭圆的性质;向量垂直的充要条件. 22.【答案】 【解析】证明:(1)∵BC 是圆 O 的直径,BE 是圆 O 的切线,∴EB⊥BC. 又∵AD⊥BC,∴AD∥BE. 可得△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC. ∴ ∵G 是 AD 的中点,即 DG=AG. ∴BF=EF. (2)连接 AO,AB. ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90°. ,得 .

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由(1)得:在 Rt△BAE 中,F 是斜边 BE 的中点, ∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB. 又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO. ∵BE 是圆 O 的切线, ∴∠EBO=90°,得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°, ∴PA⊥OA,由圆的切线判定定理,得 PA 是圆 O 的切线.

【点评】本题求证直线是圆的切线,着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定 定理等知识,属于中档题. 23.【答案】
3 6 【解析】解:(1)先排 3 个女生作为一个整体,与其余的 5 个元素做全排列有 A3 A6 =4320 种. 2 3 5 (2)从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,则男生有 3 人,先选再排,故有 C3 C5 A5 =3600 种

【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理,排列数公式、组合数公式的应用,注意特殊元素和特殊位 置要优先排. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵全集 U=R,B={x|x<4}, ∴?UB={x|x≥4},
2 又∵A={x|x ﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5},

∴A∩(?UB)={x|4≤x≤5}; (Ⅱ)∵A={x|﹣1≤x≤5},C={x|x≥a},且 A?C, ∴a 的范围为 a≤﹣1. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,以及集合的包含关系判断及应用,熟练掌握各自的定义是解本 题的关键.

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