高中数学数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透

数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透 数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方 法解答数学问题, 是衡量数学素质和数学能力的重要标志. 数列中蕴涵了许多重要的数学思 想,在数列教学中注重数学思想方法的挖掘与渗透具有十分重要的意义. 1.函数思想 函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理 解数列,是解决数列问题的有效方法. 例 1 等差数列 分析:易知所给数列 的前 n 项和为 .已知 问数列的多少项和最大? 是 n 的二次函数,且常数项为 不是常数列,等差数列的前 n 项和 的最值. 得 零,所以可利用函数思想研究 解法 1:由 ,∴ . 从而 故前 13 项的和最大,其最大值为 169. ; 解法 2: , 的图象是开口向 下的抛物线上一群离散的点,由 知最高点的横坐标为 ,即前 13 项的和 最 大. 2.方程思想 方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、 等比 数列的通项公式、求和公式及性质构造方程(组) ,是解数列问题基本方法. 例 2 等差数列 的前 n 项和为 ,若 ,求 . 和 d 的方程组求出 分析:解此题的关键是求出数列的通项公式,可利用已知条件列出关于 基本量 和 d,也可用待定系数法确定 的首项为 . 解法 1:设等差数列 ,公差为 d,根据已知条件和等差数列的前 n 项和公式得 解得 ∴ 从而 . . 解法 2:易知所给等差数列不是常数列,所以它的前 n 项和 条件得 可设为 ,由已知 解得 ∴ , . 3.分类讨论思想 复杂问题无法一次性解决,常需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论 的问题. 例 3 已知数列 式. 分析 : 解题的关键是求出数列 的绝对值.故需分类探讨. 解:当 n=1 时, 当 n≥2 时, . ∴当 1≤n≤9 时, 当 1≤n≤9 时, = 当 n≥10 时, = = = ; ,当 n≥10 时, .从而 ; 的通项公式 , 并弄清数列 中各项的符号以便化去 的前 n 项和 ,试求数列 的前 n 项和 的表达 . ∴ = 4.等价转化思想 等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象,使之成为大家熟悉的 或容易解决的问题.这是解决数列问题重要方法. 例 4 等差数列 前多少项和最大? 分析:求 的最大值有多种转化方法.本题可将 满足的要求转化为公差 d 满足的要求;再 的前 n 项和为 , .若 中, 最大,数列 的 将 k 所满足的条件转化为它的几何意义,借助图示直接写出结果. 解 : 设 数 列 的 公 差 为 d, 则 最 大 . 设 的前 k 项和最大,则有 ,且 ,故有 .(*) , . 如图,数轴的两个阴影区间中,左边是 的取值范围,右边是 的取值范围, (*) 的前 3 项和最大. 的成立等价于 k 取两个区间之间的自然数,所以 k=3,即 5.整体思想 整体思想就是从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后,达到简捷地 解题的目的. 例 5 已知数列 为等差数列,前 12 项和为 354,前 12 项中奇数项和与偶数项和之比为 27:32,求公差 d. 分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解, 计算量较大,注意考虑用整体思想去解决, 解法十分简捷. 解:由题意令奇数项和为 ,偶数项和为 . ∵ 而 . . 6.递推思想 递推思想就是通过探求、 构造和运用所给问题中的递推关系解决问题的思想方法.数列问题, 从某种意义上讲是递推关系的表现形式.利用递推思想解决某些数列问题可体现递推思想解 决问题的优越性. 例 6 设数列 列 的前 n 项和为 ,若对于所有的自然数 n,都有 ,证明数 是等差数列. 转换得 ,然后 分析:证明等差数列一般考虑用等差数列的定义.这里可利用递推关系,将 再对 , 的递推关系继续探求. 解:由 ∴当 n≥2 时, 得 , , 即 同理 两式相减得 即 从而有 由此可知数列 , (n≥2). 是等差数列. . , . 7.归纳、猜想与证明思想 通过对个别、特殊情况的分析、观察,发现规律,归纳出一般的结论或性质,再寻求证明方 法.这是我们由已知探索未知的重要途径. 例 7 已知数列 满足条件: ,试求数列 的通 项公式. 分析:此题求解思路不清晰,从特例入手,观察、猜想结论,再加以证明不失为一种好办法. 解:由已知条件,分别取 n=1,2,3,…,得 ,… 通过观察、归纳、可得出猜想: . 用数学归纳法容易证明这一结论是正确的(证明略). 8.建模与解模思想 数列的工具性决定了应用的广泛性,注重构建数列模型解实际问题,有利于培养学生用数学的 意识和数学能力的提高. 例 8 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业, 根据规划,本年度投入 为 万元,以后每年投入比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增 加 (Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写出 an, bn 的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 分析:构建等比数列的通项和前 n 项和模型,再用换元法和不等式知识求解. (1)第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800(1 万元,所以,n 年内的总投入为 万元,…,第 n 年投入为 800 ; 第一年旅游业收入为 400 万元,第二年旅游业收入为 400 万元,…,第 n 年旅游业 收入为 400 万元.所以 n 年内的旅游业总收入为 . (2) 设 至 少 经 过 n 年 旅 游 业 的 总 收 入 才 能 超 过 总 投

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