上海市崇明县2016届高三第二次高考模拟考试数学理试卷

崇明县 2015-2016 学年第二次高考模拟考试试卷 高三数学(理卷)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置,写在试卷上 或答题纸上非规定位置一律无效; 2. 答卷前,考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚; 3. 本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每
个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.已知全集 U ? R , A ? x | x 2 ? 2 x ? 0 , B ? ?x | x ≥1? ,则 A ? CU B ? 2.设复数 z 满足 i ( z ? 4) ? 3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 3. (理)若函数 y ? cos2 ? x (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,则 ? ? .

?

?

. .

4. (理)圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? 5. (理)已知圆锥的母线长为 5 cm,侧面积为 15? cm ,则此圆锥的体积为
2 2

. cm .

6. (理)已知 x, y ? R? ,且满足

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4



7. (理)已知双曲线

x2 y2 (a ? 0,b ? 0) ? ?1 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 a2 b2

y 2 ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的标准方程为



?2x ? a, x ≥ 0 ? 8. (理)已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f ( x) 的最小值是 a ,则 a ? ? ? x ? ax, x ? 0



9. (理)从 6 名男医生和 3 名女医生中选出 5 人组成一个医疗小组,若这个小组中必须男女医生都 有,共有 种不同的组建方案(结果用数值表示) .

3 10. (理)若数列 {an } 是首项为 1,公比为 a ? 的无穷等比数列,且 {an } 各项的和为 a,则 a 的值是 2 .

·1·

x? ? 11. (理)设 a ? 0 ,n 是大于 1 的自然数, ?1 ? ? 的展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? an xn .若 a1 ? 3 , ? a?
a2 ? 4 ,则 a ?

n



12. (理)某种填数字彩票,购票者花 2 元买一张小卡片,在卡片上填 10 以内(0,1,2,?,9) 的三个数字(允许重复) .如果依次填写的三个数字与开奖的三个有序的数字分别对应相等,得奖金 1000 元.只要有一个数字不符(大小或次序) ,无奖金.则购买一张彩票的期望收益是 元 . 13. (理)矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 ,P 为矩形内部一点,且 AP ? 1 .若

??? ? ??? ? ???? AP ? ? AB ? ? AD (? , ? ? R) ,则 2? ? 3? 的最大值是



?1 ? 2 x ? 3 , 1 ≤ x ? 2 ? 14. (理)已知函数 f ( x) 是定义在 ? 1, ? ? ? 上的函数,且 f ( x) ? ? 1 ? 1 ? ,则函数 ? f ? x ?, x ≥ 2 ?2 ? 2 ?
y ? 2 x f ( x) ? 3 在区间 (1, 2016) 上的零点个数为



二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应
编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 15. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x ( x ? 3) ? 0 成立”的?????????????????( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不不充分也不必要条件 )

16. (理)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ?an ? 的四个命题: (1)数列 ?an ? 是递增数列;
?a ? (3)数列 ? n ? 是递减数列; ?n?

(2)数列 ?n an ? 是递增数列; (4)数列 ?an ? 3nd? 是递增数列.

其中的真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

17.设 ? ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若
b cos C ? c cos B ? a sin A ,则 ? ABC 的形状为(



A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.不确定 y
·2·

18.函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,在区间 ? a, b ? 上可找到 n (n ≥ 2) 个 不同的数 x1 , x2 ,?, xn ,使得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ? ??? ,则 n 的取 x1 x2 xn


值范围是?????????????????????( A. {3, 4} C. {3, 4, 5} B. {2, 3} D. {2, 3, 4}

三、解答题(本大题共有 5 小题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤。 19. (本题满分 12 分,本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) (理)如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E 是棱 BC 的中点, 点 F 是棱 CD 的中点. (1)求证: EF ∥ B1 D1 ; (2)求二面角 C1 ? EF ? A 的大小 (结果用反三角函数值表示) . A1 D1 C1

B1

D

F E

C B

A
(第 19 题图)

20. (本题满分 14 分,本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x (? ? R ) (理) (1)根据 ? 的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由; (2)若不等式 f ( x) ≤ 6 在 x ? ? 0, 2 ? 上恒成立,求实数 ? 的取值范围.

21. (本题满分 14 分,本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱 AB 与地面垂直,灯杆 BC 与灯柱 AB 所 在的平面与道路走向垂,路灯 C 采用锥形灯罩,射出的光线与平面 ABC 的部分截面如图中阴影

2 ? 部分所示.已知 ? ABC ? ? , ? ACD ? ,路宽 AD ? 24 米. 3 3
设 ?BAC ? ? (

C B

≤? ≤ ) 12 6
·3·

?

?

(1)求灯柱 AB 的高 h (用 ? 表示) ; (2)此公司应该如何设置 ? 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与 灯杆 BC 所用材料的总长度最小?最小值为多少? (结果精确到 0.01 米)

·4·

22. (本题满分 16 分,本题共有 3 小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分) (理)已知数列 {an } 与 {bn } 满足 an?1 ? an ? ? (bn?1 ? bn ), n ? N * . (1)若 bn ? 2n ? 3, a1 ? 1, ? ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a1 ? 1, b1 ? 2 , 且数列 {bn } 是公比等于 2 的等比数列, 求 ? 的值, 使数列 {an } 也是等比数列; (3)若 a1 ? ?, bn ? ? n , n ? N * ,且 ? ? (?1, 0) ,数列 {an } 有最大值 M 与最小值 m,求

M 的取值范围. m

23. (本题满分 18 分,本题共有 3 小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分)
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 (?c, 0) 、 F2 (c, 0) ,Q 是椭圆外的动 a 2 b2 ???? ? ??? ? ???? 点,满足 F1 Q ? 2a .点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2 Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0 ,

(理)

已知椭圆

???? TF2 ? 0 . ???? (1)当 a ? 5, b ? 3 时,用点 P 的横坐标 x 表示 F1 P ;

(2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使 ?F1 MF2 的面积 S ? b2 ?若存在,求出 ?F1MF2 的 正切值;若不存在,说明理由.

·5·

崇明县 2015-2016 学年第二次高考模拟高三数学(理科)参考答案及评分标准 一、填空题 1. (0,1) ; 2. ?3 ; 3. 1 ; 4. 3 ; 5. 12? ; 6. 3 ; 7.

x2 y 2 ? ?1 ; 4 12

8. ?4 ; 9. 120 ; 10. 2 ; 11. 3 ; 13. ?1 ; 14. 11 . 二、选择题 15.B; 16.C;

17.B;

18.D.

三、解答题 19.证明:如图,建立空间直角坐标系,.................................1 分 可得有关点的坐标为 D1 (0, 0,1), B1 (1,1,1), E ( ,1, 0), F (0, , 0), C1 (0,1,1)

??? ? ????? 1 1 EF ? (? , ? , 0) , B1D1 ? (?1, ?1,0) ......................4 分 2 2 ????? ??? ? 所以 B1D1 ? 2EF ...............................5 分
A1 所以 EF ∥ B1 D1 ...............................6 分 (2)设 n1 ? (u, v, w) 是平面 C1EF 的一个法向量.

1 2

1 2

z
D1 C1 B1

??

D

F E

?? ???? ? 因为 n1 ? EF ,

?? ???? ? n1 ? FC1

C B

y

?? ??? ? 1 1 所以 n1 ? EF ? ? u ? v ? 0, 2 2

?? ???? ? 1 n1 ? FC1 ? v ? w ? 0 x (第 19 题图) 2 ?? 解得 u ? ?v, v ? ?2w .取 w ? 1 ,得 n1 ? (2, ?2,1) .............................9 分
因为 DD1 ? 平面ABCD ,所以平面 ABCD 的一个法向量是 n2 ? (0,0,1) .........10 分

A

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 ?? ? ? .......................11 分 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ?? | n1 | ? | n2 | 3
结合图形,可判别得二面角 C1 ? EF ? A 是钝角,其大小为 ? ? arccos 20.(1)函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x 的定义域为 R 当 ? =1 时, f ( x) ? 3x ? 3? x , f (? x) ? f ( x) ,函数为偶函数;..............2 分 当 ? =-1 时, f ( x) ? 3x ? 3? x , f (? x) ? ? f ( x) ,函数为奇函数;............4 分

1 ........12 分 3

·6·

当 | ? |? 1 时, f (1) ? 3 ?

?

1 , f (?1) ? ? 3? 此时 f (?1) ? ? f (1)且f (?1) ? f (1), 3 3

所以函数为非奇非偶函数.........................................6 分 (2) 由于 f ? x ? ? 6 得 3 ? ? 3
x ?x

? 6 ,即 3x ?

?
3x

?6,

令 t ? 3x ?[1,9] ,................................................8 分 原不等式等价于 t ?
2

?
t

? 6 在 t ??1,9? 上恒成立,

亦即 ? ? ?t ? 6t 在 t ??1,9? 上恒成立,.............................10 分 令 g (t ) ? ?t ? 6t, t ??1,9? ,
2

当 t ? 9 时, g ? t ? 有最小值 g ? 9? ? ?27 ,所以 ? ? ?27 ................14 分 21.(1)三角形 ACD 中, ?CDA ? ? ? 由

?
6



AD AC ? ,得 sin ?ACD sin ?CDA AD ? sin ?CDA ? AC ? ? 16 3 sin(? ? ) .................................3 分 sin ?ACD 6

三角形 ABC 中, ?ACB ? 由

?

3

??

AB AC ? ,得 sin ?ACB sin ?ABC AC ? sin ?ACB ? ? ? ? h? ? 32sin(? ? ) sin( ? ? ) ( ? ? ? ) ...................6 分 12 6 sin ?ABC 6 3
BC AC ? ,得 sin ?BAC sin ?ABC AC ? sin ?BAC ? BC ? ? 32sin(? ? ) sin ? .................................9 分 sin ?ABC 6

(2)三角形 ABC 中, 由

所以 AB ? BC ? 32sin(? ?

?

) sin( ? ? ) ? 32sin(? ? ) sin ? 6 3 6

?

?

? 16sin 2? ? 8 3 .......................................................11 分
因为

?
12

?? ?

?
6

,所以

?
6

? 2? ?

?
3

所以当 ? ?

?
12

时, AB ? BC 取得最小值 8 ? 8 3 ? 21.86 ......................13 分

制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小,最小值约为 21.86 米. .....14 分
·7·

22. (1) an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) ? 4 所以数列 {an } 为等差数列................................2 分 因为 a1 ? 1 ,所以 an ? 4n ? 3 .............................4 分 (2)数列 {bn } 是公比等于 2 的等比数列, b1 ? 2 , 所以 bn ? 2n ,所以 an ? an?1 ? ? (bn ? bn?1 ) ? ? ? 2n?1 (n ? 2, n ? N*) 所以 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? ? ? (2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2) ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ? 2? ...........7 分
因为数列 {an } 是等比数列 所以 a22 ? a1a3 ,所以 ? ? 当? ?

1 , 2

1 时, an ? 2n?1 ,数列 {an } 是等比数列 2 1 所以 ? ? ..................................................10 分 2
(3)当 n ? 2, n ? N * 时, an ? an?1 ? ? (bn ? bn?1 ) 所以 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? ? (bn ? bn?1 ) ? ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ... ? ? (b2 ? b1 ) ? a1

? ?bn ? ?b1 ? a1 ? ? n?1 ? ? 2 ? ?
当 n ? 1 时,上式依然成立,所以 an ? ?
n?1

? ? 2 ? ? ................12 分

a2n ? ? 2n?1 ? ? 2 ? ? ,
因为 ? ? (?1, 0) ,所以 a2n?2 ? a2n ? ?
2n?1

(? 2 ?1) ? 0

即数列 {an } 的偶数项构成的数列 {a2 n } 是单调增数列 同理 a2n?1 ? a2n?1 ? ? (? ?1) ? 0
2n 2

即数列 {an } 的奇数项构成的数列 {a2 n?1} 是单调减数列
·8·

又 a2n ? a1 ? ? 2n?1 ? ? 2 ? 0 ,所以数列 {an } 的最大值 M ? a1 ? ?

a2n?1 ? a2 ? ? 2n?2 ? ? 3 ? 0 ,所以数列 {an } 的最小值 m ? a2 ? ? 3 ? ? 2 ? ? .....14 分
所以

M ? 1 1 ? 3 ? 2 ? 2 1 m ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 (? ? ) 2 ? 3 2 4

1 3 因为 ? ? (?1, 0) ,所以 (? ? )2 ? ? (1,3) 2 4
所以

M 1 ? ( ,1) ..................................................16 分 m 3

23. (1)设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

???? 9 4 | F1P |? ( x ? 4)2 ? y 2 ? ( x ? 4)2 ? 9 ? x 2 ? ( x ? 5) 2 . 16 5
由 ?5 ? x ? 5, 知

???? 4 4 x ? 5 ? 0 ,所以 | F1 P |? x ? 5 .........................4 分 5 5

(2)设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. ......................6 分 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . .........................10 分
2 2 ? x0 ? y0 ? a2 , ? (3)C 上存在点 M( x0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是 ? 1 .........12 分 2 ? 2 c | y | ? b . ? 0 ?2

2

2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; 由③得 | y0 |? a ,由④得 | y0 |? c c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M. .................................14 分

c

·9·

2 当 a ? b 时, MF 1 ? (?c ? x0 ,? y0 ), MF 2 ? (c ? x0 ,? y0 ) , c

2 2 2 2 2 2 由 MF 1 ? MF2 ? x0 ? c ? y0 ? a ? c ? b ,

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos?F1MF2 ,
S? 1 | MF1 | ? | MF 2 | sin ?F1 MF 2 ? b 2 ,得 tan?F1 MF2 ? 2. ...............18 分 2

·10·


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