2019高中数学第一章1.3的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积检测新人教A版必修2

1.3.2

球的体积和表面积

A级 一、选择题 1 .若一个球的体积扩大到原来的 A. 3 倍 C. 9 倍 解析:由 V′= 27 V,得 R ′= 3R,

基础巩固

27 倍,则它的表面积扩大到原来的 B. 3 3 倍 D. 9 3 倍 ′ R =3 R

(

)

则球的表面积比 答案: C

R′ 2 S′∶ S= = 9. R

2 .用与球心距离为 A. 8π 3

1 的平面去截球,所得截面圆的面积为 B. 32π 3 8 2π 3

π ,则球的表面积为

(

)

C. 8π 解析:设球的半径为 所以截面圆的面积为 所以 R= 2, 所以球的表面积 答案: C
2

D.

,则截面圆的半径为 R

R - 1,
2

2

S= π (

R - 1) = ( R - 1) π = π,

2

2

S= 4π R = 8π .

2

3 .如图所示,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

(

)

A. 9π + 42

B. 36π + 18

-1-

9 C. π + 12 2

9 D. π + 18 2 3 3 4 其体积 V= π + 3× 3×2 2 3

解析:由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体, 9 = π + 18. 2 答案: D

4. 设长方体的长、 宽、高分别为 2 a,a, a,其顶点都在一个球面上, A. 3π a
2

则该球的表面积为

(

)

B. 6 π a
2

2

C. 12π a

D. 24π a

2

解析:设该球的半径为
2 2 2

R ,
2 2

所以 (2 R) = (2 a) + a + a = 6a , 即 4R = 6a . 所以球的表面积为 答案: B 5 .下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得几何体的表面积是 ( )
2 2

S= 4 π R = 6π a .

2

2

A. 4π + 24 C. 22π

B. 4 π + 32 D. 12π 1 的球,下部分为底边长为 2 ,高为 3 的正

解析:由三视图可知,该几何体上部分为半径为 四棱柱,几何体的表面积为 答案: B 二、填空题 4π + 32.

6 .(2017 ?天津卷 ) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上, 则这个球的体积为 ________ .

若这个正方体的表面积为

18,

解析:设正方体的棱长为 设球的半径为

a,则 6 a = 18,所以 a= 3.
2R =

2

R,则由题意知

a + a + a = 3,

2

2

2

-2-

3 所以 R = . 2 3 3 9 4 4 3 故球的体积 V= π R= π × = π. 2 3 3 2 9 答案: π 2 7 .两个球的表面积之差为 ________. 解析:由题意设两球半径分别为 则: 4π R- 4π r = 48π 2π R + 2 π r = 12π
2 2 2

48π ,它们的大圆周长之和为

12π ,则这两个球的半径之差为

>r ) , R、 r ( R
2



R - r = 12 R+ r = 6.



所以 R - r = 2. 答案: 2 8.(2017 ?江苏卷 ) 如图,在圆柱 O 1O 2 内有一个球 ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, O 记圆柱 O 1O 2 的体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则

V1 的值是 ________ . V2

解析:设球 O 的半径为 R ,
1O 2 的上、下底面及母线均相切, 因为球 O 与圆柱 O 1O 2 的高为 2R 所以圆柱 O ,底面半径为

R .

V1 π R? 2R 3 所以 = = . V2 4 2 3 πR
3 3 2

2

答案:

三、解答题 9 .某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中 = 3,试求该组合体的表面积和体积.

r = 1,l

解:组合体的表面积

S= 4 π r + 2 π rl = 4π × 1 + 2 π× 1× 3= 10π .

2

2

-3-

因为圆柱的体积 又两个半球的体积

V 圆柱 = π r l =π × 1 × 3= 3 π ,
4 4 3 2V 半球 = π r = π , 3 3

2

2

因此组合体的体积

V= 3 π + π=

4 3

13 π. 3 3 cm ,瓶里所装的水深为 8 cm ,将一个钢球完

10.如图,一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 全浸入水中,瓶中水的高度上升到

8.5 cm ,求钢球的半径.

解:设球的半径为

,由题意可得 R

4 3

π R = π× 3 × 0.5 ,

3

2

解得: R= 1.5 (cm) , 所以所求球的半径为 1.5 cm. B级 1 .用与球心距离为 A. 8π 3 B. 能力提升 π ,则球的体积为 ( )

1 的平面去截球,所得的截面面积为 C. 8 2 π D. 32π 3

8 2π 3

解析:截面面积为 所以 R = 答案: B

π,则该小圆的半径为

1 ,设球的半径为

R,则 R = 1 + 1 = 2 ,

2

2

2

4 8 2π 3 2 , V= π R = . 3 3

2 .我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天 池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆府直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深 九寸,则平地降雨量是 ________ 寸. )

( 注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸 解析:圆台的轴截面是下底长为 12 寸,上底长为

28 寸,高为 18 寸的等腰梯形,雨水线恰

为中位线,故雨水线直径是 答案: 3

20 寸,所以降水量为

π 2 2 ( 10 + 10× 6+ 6 )× 9 3 2 = 3( 寸 ) . π × 14

3 .体积相等的正方体、球、等边圆柱 试比较它们的大小. 解:设正方体的棱长为
2 2

( 轴截面为正方形的圆柱

) 的表面积分别是

S1 , S2, S3,

a,球的半径为
2

R ,等边圆柱的底面半径为

r,

则 S1 = 6 a , S2= 4π R , S3 = 6π r .
-4-

由题意知, 3 所以 R =

4 3 3 2 π R= a = π r ? 2r , 3 3 1 3 a, r = a, 4π 2π 3 2 3 = 4π ? 9 3 2 2 2a = 36π a , 16π

所以 S2= 4π

3 4π

a

S3= 6π

3

1 a 2π

2 3 = 6π?

1 4π

2

a=

2

3

54 π a ,

2

所以 S2< S3 . 3 1 3

2π 所以 S1, S2, S3 的大小关系是
一、选择 .下列 .绿洲 .地质 解析:选 .下列 .气候 .过度 解析:选 新中国成 .这些 .华南 .西北 .西北 .东北 .这些 .主要 .是人 .主要 题 属于相 荒漠交 灾害易 D 属于非 干旱 放牧 A 立以来 沙漠化 、华东 、西南 、东北 、华北 沙漠化 是人类 类发展 是由于 对脆弱 界带 发区 相对脆弱 洲的荒 的自然 生态系 统的是 的自然 漠化问 生态系 题特别 统常见 严重的 的有海 自然原 岛生态 因是 ( 系统、 干旱区 生态系 统和高 寒带生 态系统 等。 非洲北部 为热带 沙漠气 土地面 在( 候,降 积不断 水稀少 扩大, ,气候 河北怀 干旱, 来沙漠 荒漠化 离北京 问题特 天安门 别严重 已不足 ;乱垦 70 km 滥伐、 。我国 过度放 形成的 牧和破 沙漠化 坏植被 土地有 为人为 85% 是 原因。 滥垦、 滥牧和 滥伐森 林的结 果; 10%是水资 源利用 不当和 工矿建 设破坏 林草造 成的; 5% 是沙 丘入侵 农田和 草场所 致。据 此完成 ~ 题。 ,我国 沙漠化 土地主 要分布 和华北 和东北 和华北 和西南 土地的 对土地 工农业 降水减 地区 地区 地区 地区 形成 ( 进行不 所致 少,蒸 沙丘不 题,沙 合理的 发加剧 断向农 牧业土 漠化土 地主要 园面积 600 给下游 地区带 泄不畅 变暖 以推知 ,三次 锄草中 ,水土 流失最 严重的 是( ,致使 亩 地推进 分布在 干旱、 半干旱 七月、 和具有 十一月 旱害的 要锄草 半湿润 三次, 地区, 久而久 在我国 之,茶 主要分 园“消 布在东 瘦”了 北、华 。同时 北和西 ,锄草 北地区 需要大 。第 量劳动 题,由 力,困 材料可 惑之际 知,我 ,茶场 国形成 主人想 的沙漠 到“羊 化土地 喜吃嫩 有85% 草,却 是滥垦 不吃嫩 、滥牧 和滥伐 森林的 羊引进 结果。 茶园, 既节约 人力、 物力, 又保持 了水土 ,肥沃 了茶园 ,可谓 一举 两得。据 开发和 利用, 使植被 受到破 坏所致 .是由 于气候 干旱, 解析: 3. C 4.A 第 位于长江 .长江 .泥沙 .水土 .气候 .河流 .根据 .四月 .七月 .茶园 .缺乏 .缺少 .土壤 .表层 解析: 5. 二、综合 中上游 中上游 淤积河 流失日 恶化, 径流的 长江流 、七月 “消瘦 分解者 枯枝落 中有机 土壤被 A 题 6.C 叶 质被微 大量冲 7.D 生物分 走 第 解 题,长 江中上 游植被 破坏后 ,导致 水土流 失加重 ,河流 含沙量 增大, 因而造 成下游 淤积严 重,洪 水排泄 不畅, 致使洪 涝灾害 频繁。 第 题 ,长江 流域降 水夏季 最为集 中,在 暴雨冲 刷下, 水土流 失严重 ,因此 四月、 七月、 十一月 相比, 水土流 失最严 重的 是七月。

又 6a > 3

2

a=

2

54π a ,即 S1> S3 .

2

S2 < S 3 <S 1.
.水土 .高寒 流失严 带生态 重区 系统 .乱垦 .破坏 滥伐 植被

的某茶 场,茶 植被破 坏后, 、湖, 趋严重 导致全 季节变 域地理 洪水排 球气候 化减小 特征可

,每年 四月、 来的危 害是 ( 洪涝灾 害频繁

茶”,于是把

此完成



题。

.四月 .十一 月

”的主

要原因

是(



题,从材

料中可

以看出

茶园“

消瘦”

的主要

原因是

水土流

失造成

的表层

土壤被

大量冲

走。

-5-


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