圆锥曲线切点弦所在直线方程

圆锥曲线切点弦所在直线方程
2012 年 2 月课程解读教材教法圆锥曲线切点弦所在直线方程筅北京师范大学出版集团岳昌 庆为什么讨论圆锥曲线的切线问题?一方面, 圆内已讨论切线问题, 学生自然就会探索其他 圆锥曲线的切线问题; 另一方面, 导数知识的加入, 也使研究圆锥曲线的切线更成为可能. 本 文约定:圆锥曲线的内部:包括焦点(或圆心)的圆锥曲线所围成的平面区域;圆锥曲线的 外部:不包括圆锥曲线及圆锥曲线的内部的平面区域.若自点 P(0x0,y0)可作二次曲线 的两切线,两切点所连线段叫做点 P0 关于此曲线的切点弦.可得以下结论:为保证切点弦 的存在,点 P0 必须在椭圆(或圆)的外部,双曲线的外部(即不包括双曲线焦点的平面区 域) ,抛物线的外部(即不包括抛物线焦点的平面区域) .下面以圆的切点弦方程为例,证明 如下.设点 P(0x0,y0)在圆 x2+y2=r2 外,由 P0 向该圆引两切线,设两切点分别为 A、B, 则点 P0 关于此圆的切点弦 AB 所在直线方程为 x0x+y0y=r2.由已知可设 A(xA,yA) ,B (xB,yB) ,xA≠xB,则:切线 PA 所在直线方程为 xAx+yAy=r2;切线 PB 所在直线方程 为 xBx+yBy=r2.由 P(0x0,y0)∈PA,得 x0xA+y0yA=r2.同理,x0xB+y0yB=r2.即点 A, B 的坐标分别满足方程 x0x+y0y=r2.又过不重合的两点的直线唯一, 所以 x0x+y0y=r2 即为点 P0 关于此圆的切点弦 AB 所在直线的方程. 例 1[2003 年硕士学位研究生入学资格考试(GCT) ]过点 P(0,2)作圆 x2+y2=1 的切线 PA、 PB,A、 是两个切点, A、 所在直线的方程为 . x=-12B. B 则 B () A. y=-12C. x=12D. y=12 由切点弦方程,可得 A、B 所在直线的方程为 0x+2y=1,即 y=12,故选 D.例 2[2008 年 高考山东卷(理科) ]设抛物 http://www.shlunwen.com/线方程为 x2=2py(p>0),M 为直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A、B.(1)求证:A、M、B 三点的 横坐标成等差数列; (2)已知当点 M 的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4 10%姨,求此时抛 物线的方程; (3)略. (1)如图 1,由已知可设 M(xM,-2p) ,显然点 M 在抛物线的外部, 则点 M 关于该抛物线的切点弦所在直线方程为 AB:xMx=p(y-2p) .可设 A xA,xA22p0 0, B xB,xB22p0 0,xA≠xB,则:xMxA=pxA22p-20 0p,xMxB=pxB22p-20 0p.两式相减,整 理得: (xA-xB) (xA+xB-2xM)=0.又 xA≠xB,所以 xA+xB=2xM.故 A、M、B 三点的横 坐标成等差数列. (2)所求抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y. (3)略.评注:由雾里看花到水 落石出, 由遥不可及到快速接近目标. 一些结论能帮助我们用 “缩略式” 思维方式思考问题, 快速接近问题、解决问题,然后再回过头来补证这一结论.将一道难题变成跳一跳能够够得 着的中档题,何乐而不为?例 3[2008 年高考江西卷(理科) ]设点 P(x0,y0)在直线 x=m (y≠±m,0<m<1)上,过点 P 作双曲线 x2-y2=1 的两条切线 PA、PB,切点为 A、B, 定点 M1m,0 00. (1)略; (2)求证:A、M、B 三点共线


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