【最新教材】北师大版高中数学必修四:第三章综合测试题(含答案)

新教材适用·北师大版数学 阶段性测试题四(第三章综合测试题)

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

其中有且仅有一个是正确的.)

1.函数 f(x)=sinxcosx 的最小值是( )

A.-1

B.-12

C.12

D.1

[答案] B

[解析] f(x)=sinxcosx=12sin2x,∴f(x)min=-12.

2.cos67°cos7°+sin67°sin7°等于( )

A.12

B.

2 2

C.

3 2

[答案] A

[解析] cos67°cos7°+sin67°sin7°

=cos(67°-7°)=cos60°=12.

3.若 x=π8,则 sin4x-cos4x 的值为(

D.1 )

A.12

B.-12

C.-

2 2

D.

2 2

[答案] C

[解析] sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)·(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x,

∴x=π8时,-cos2x=-cos4π=-

2 2.

4.(2014·山东德州高一期末测试)下列各式中值为 22的是( )

A.sin45°cos15°+cos45°sin15°

B.sin45°cos15°-cos45°sin15°

C.cos75°cos30°+sin75°sin30°

D.1t+an6ta0n°6-0°ttaann3300°°

[答案] C

[解析]

cos75°cos30°+sin75°sin30°=cos(75°-30°)=cos45°=

2 2.

5. 1-sin20°=( ) A.cos10°

B.sin10°-cos10°

C. 2sin35°

D.±(sin10°-cos10°)

[答案] C

[解析] 1-sin20°=1-cos70°=2sin235°,

∴ 1-sin20°= 2sin35°.

6.已知 cos2α=14,则 sin2α=(

)

A.12

B.34

C.58

D.38

[答案] D

[解析] ∵cos2α=1-2sin2α=14,∴sin2α=38.

7.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x·sin2x(x∈R),则 f(x)是( )

A.最小正周期为 π 的偶函数

B.最小正周期为 π 的奇函数

C.最小正周期为 2π 的偶函数

D.最小正周期为π2的奇函数

[答案] D

[解析] f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2x·cos2x

=12sin4x(x∈R),

∴函数 f(x)是最小正周期为π2的奇函数. 8.若 sinθ<0,cos2θ<0,则在(0,2π)内 θ 的取值范围是( )

A.π<θ<32π

B.54π<θ<74π

C.32π<θ<2π

D.π4<θ<34π

[答案] B [解析] ∵cos2θ<0,得 1-2sin2θ<0,

即 sinθ> 22或 sinθ<- 22,

又已知 sinθ<0,∴-1≤sinθ<- 22,

由正弦曲线得满足条件的 θ 取值为54π<θ<74π.

9.若 0<α<β<4π,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则(

)

A.a<b

B.a>b

C.ab<1

D.不确定

[答案] A

[解析] ∵a= 2sin??α+π4??,b= 2sin??β+π4??,

又 0<α<β<π4,∴π4<α+4π<β+π4<π2,

且 y=sinx 在??0,π2??上为增,

∴ 2sin??α+π4??< 2sin??β+π4??.

10.将函数 y=sin2x 的图象向左平移π4个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数

解析式是( )

A.y=cos2x

B.y=2cos2x

C.y=1+sin(2x+π4)

D.y=2sin2x

[答案] B

[解析] 将函数 y=sin2x 的图象向左平移π4个单位,得到函数 y=sin2??x+π4??,即 y=

sin??2x+π2??=cos2x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y=1+cos2x=
2cos2x.

11.已知 f(tanx)=sin2x,则 f(-1)的值是( )

A.1

B.-1

C.12

D.0

[答案] B

[解析] f(tanx)=sin2x=2sinxcosx=si2ns2ixn+xccoossx2x=ta2nt2axn+x 1,∴f(x)=x22+x 1,∴f(-1)=-22

=-1.

12.已知函数 f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则 f(x)是( )

A.最小正周期为 π 的奇函数

B.最小正周期为π2的奇函数

C.最小正周期为 π 的偶函数

D.最小正周期为π2的偶函数

[答案] D

[解析] f(x)=(1+cos2x)sin2x=2cos2xsin2x

=12sin22x=14-14cos4x.

∴函数 f(x)是最小正周期为π2的偶函数. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设 α∈(0,π2),若 sinα=35,则 2cos(α+π4)等于________.

[答案]

1 5

[解析] ∵α∈(0,π2),sinα=35,

∴cosα=45,

∴ 2cos(α+π4)= 2cosαcosπ4- 2sinαsin4π



2×45× 22-

2×35×

2 2

=45-35=15. 14.计算:csoins77°°--scions1155°°ccooss88°°的值为________.

[答案] -2- 3 [解析] 原式=csoins??1155°°--88°°??--scions1155°°ccooss88°°

=scino1s155°c°ocos8s8°-+csoins1155°°ssiinn88-°-cosisn1155°°ccooss88°°

=-sicno1s51°5s°isni8n°8°=-cot15°=-tan115°

=-tan?45°1-30°?=-11+-ttaann3300°°

=-2- 3.

15.若 α 为锐角,且 sin??α-π6??=13,则 sinα 的值为________.

[答案]

3+2 2 6

[解析] ∵0<α<π2,∴-6π<α-π6<π3.
又∵sin??α-π6??=13>0,∴0<α-6π<π3,

∴cos??α-π6??= 1-sin2??α-π6??



1-??13??2=2

3

2 .

∴sinα=sin????α-π6??+π6??

= 23sin??α-π6??+12cos??α-π6??

= 23×13+12×23 2=

3+2 6

2 .

16.关于函数 f(x)=cos??2x-π3??+cos??2x+π6??,有下列命题:

①y=f(x)的最大值为 2; ②y=f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)在区间??2π4,1234π??上单调递减;
④将函数 y= 2cos2x 的图像向左平移2π4个单位后,与已知函数的图象重合. 其中正确命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③
[解析] 化简 f(x)=cos??2x-π3??+cos??2x+2π-π3?? =cos??2x-π3??-sin??2x-π3??= 2cos??2x-1π2??

∴f(x)max= 2,即①正确. T=|2ωπ|=22π=π,即②正确.

由 2kπ≤2x-1π2≤2kπ+π,

得 kπ+2π4≤x≤kπ+1234π,即③正确.

将函数 y= 2cos2x 向左平移2π4个单位得
y= 2cos??2??x+2π4????≠f(x),∴④不正确.
三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12 分)已知 α 是第一象限的角,且 cosα=153,求cosisn???2αα++π44??π?的值.
[解析] ∵α 是第一象限的角,cosα=153,

∴sinα=1132,∴cosisn???2αα++π44??π?=

22?sinα+cosα? cos2α



2c2o?ssi2nαα-+sicno2sαα?=cosα-22sinα=

5

2

-2 12=-1314

2 .

13 13

18.(本小题满分 12 分)(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知2π<α<π,

0<β<π2,tanα=-34,cos(β-α)=153,求 sinβ.

[解析] ∵0<β<π2,π2<α<π,

∴-π<β-α<0.

又∵cos(β-α)=153,∴sin(β-α)=-1132.

又 tanα=-34,∴sinα=35,cosα=-45.

∴sinβ=sin[(β-α)+α]

=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα

=-1132×(-45)+153×35=6653.

19.(本小题满分 12 分)已知 sinα=102,cosβ=3 1010,且 α、β 为锐角,求 α+2β 的值.

[解析] ∵sinα=102,α 为锐角,

∴cosα= 1-sin2α= 1-?? 102??2=7102.

∵cosβ=3 1010,β 为锐角,

∴sinβ=

1-??3 1010??2=

10 10 .

∴sin2β=2sinβcosβ=2× 1100×3 1010=35,

cos2β=1-2sin2β=1-2×?? 1100??2=45.

又 β∈??0,π2??,∴2β∈(0,π). 而 cos2β>0,∴2β∈??0,π2??.∴α+2β∈(0,π).
又 cos(α+2β)=cosα·cos2β-sinα·sin2β=7102×45-102×35= 22,∴α+2β=π4. 20.(本小题满分 12 分)求函数 y=12cos2x+ 23sinx·cosx+1,x∈R 的最大值以及 y 取最 大值时自变量 x 的集合. [解析] ∵y=12cos2x+ 23sinx·cosx+1 =12·1+c2os2x+ 43sin2x+1 =14cos2x+ 43sin2x+54
=12sin??2x+6π??+54
∴当 2x+π6=π2+2kπ, 即 x=kπ+π6(k∈Z)时,ymax=74. ∴函数取最大值时自变量 x 和集合为 ???x|x=kπ+π6,k∈Z???,且最大值为74. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-4π)sin(x+π4). (1)求函数 f(x)的最小正周期和对称轴方程; (2)求函数 f(x)在区间[-1π2,π2]上的值域. [解析] (1)∵f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)·sin(x+π4) =12cos2x+ 23sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) =12cos2x+ 23sin2x+sin2x-cos2x =12cos2x+ 23sin2x-cos2x =sin(2x-π6), ∴最小正周期 T=22π=π.

∵2x-π6=kπ+π2,k∈Z,

∴x=k2π+3π,k∈Z,

∴对称轴方程为 x=k2π+π3,k∈Z.

(2)∵x∈[-1π2,π2],

∴2x-π6∈[-π3,56π].

∴f(x)=sin(2x-π6)在区间[-1π2,π3]上单调递增,

在区间[π3,π2]上单调递减.

当 x=π3时,f(x)取最大值 1.

又∵f(-1π2)=- 23<f(2π)=12,

∴当

x=-1π2时,f(x)取最小值-

3 2.

所以函数 f(x)在区间[-1π2,2π]上的值域为[- 23,1].

22.(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x), x∈R.
(1)若 f(x)=1- 3且 x∈??-π3,3π??,求 x;

(2)若函数 y=2sin2x 的图象平移向量 c=(m,n)??|m|<π2??得到函数 y=f(x)的图象,求实数

m、n 的值.

[解析] (1)∵f(x)=a·b=2cos2x+ 3sin2x
=1+cos2x+ 3sin2x=2sin??2x+π6??+1,

又∵f(x)=1- 3=2sin??2x+π6??+1,

∴sin??2x+π6??=- 23,

∴2x+π6=2kπ-π3或 2x+π6=2kπ-23π,

又∵x∈??-π3,π3??,∴x=-π4.

(2)f(x)=2sin??2??x+1π2????+1,

y=2sin2x 向左平移1π2个单位可得 y=2sin2??x+1π2??,再向上平移 1 个单位, 即得 y=2sin??2??x+1π2????+1=f(x), ∴c=??-1π2,1??,即 m=-1π2,n=1.


相关文档

新教材北师大版高中数学必修四:第三章综合测试题(含答案)
【最新教材】北师大版高中数学必修四:第二、三章综合测试题(含答案)
【最新教材】北师大版高中数学必修四:第一、二章综合测试题(含答案)
精品北师大版高中数学必修四:第三章综合测试题(含答案)
新教材北师大版高中数学必修四:第二、三章综合测试题(含答案)
新教材北师大版高中数学必修四:第一、二章综合测试题(含答案)
【最新教材】北师大版高中数学必修四:第一章综合测试题(含答案)
2019版北师大版高中数学必修四:第三章综合测试题(含答案)
2019届北师大版高中数学必修四:第三章综合测试题(含答案)
新教材北师大版高中数学必修四:第一章综合测试题(含答案)
电脑版