宁夏银川一中2018届高三数学第一次模拟考试试题 文

宁夏银川一中 2018 届高三数学第一次模拟考试试题 文

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~23 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸 上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
? ? 1.已知集合 A ? ??1,1,3?, B ? 1, a2 ? 2a ,且 B ? A ,则实数 a 的不同取值个数为

A.2

B.3

C.4

D.5

2.已知 z 是纯虚数, z ? 2 是实数,那么 z 等于 1-i

A.-2i

B.2i

C.-i

D.i

3.已知函数

f

(x)

?

?log 2

? ?3

x

(

x

x(x ? ? 0)

0)

,则

f

[

f

(1 )] 的值是 4

A.9

B.-9

C. 1 9

D.- 1 9

?x ? y ?1? 0

4.已知

x、y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

0,

则 z = x + 2y 的最大值为

??x ? 0

A.-2

B.-1

C.1

D.2

5.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x2 ? y2 ? 1相交于 A , B 两点,且 AB ? 3, 则 OA ? OB 的值是

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A. ? 1

B. 1

C. ? 3

D.0

2

2

4

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是

某几何体的三视图,则该几何体的表面积为

A.96

B.80+4 2π

C.96+4( 2-1)π

D.96+4(2 2-1)π

7.已知角 ? 的终边经过点 P(-4,3),函数 f (x) ? sin(?x ? ?) (ω >0)的图像的相邻两条对称

轴之间的距离等于 ? ,则 f (? ) 的值为

2

4

A. 3 5

B. 4 5

C.- 3 5

D.- 4 5

8.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是

A.求数列{1} 的前 10 项和 (n ? N * ) n

B.求数列{ 1 } 的前 10 项和 (n ? N * ) 2n

C.求数列{1} 的前 11 项和 (n ? N * ) n

D.求数列{ 1 } 的前 11 项和 (n ? N * ) 2n
9.某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天. 甲说:我在 1 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是 A.2 日和 5 日 B.5 日和 6 日 C.6 日和 11 日 D.2 日和 11 日

10.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? 1 , 则使得 f (x) ? f (2x ? 1) 成立的 x 的范围是
1? x2

A. (1 ,1) 3

B. (??, 1) ? (1,??) 3

C. (? 1 , 1) 33

D. (??,? 1) ? (1 ,??) 33

x2 y2 11.设 F1,F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,

使(→OP+O→F2)·F→2P=0(O 为坐标原点),且|PF1|= 3|PF2|,则双曲线的离心率为

2+1 A. 2

B. 2+1

3+1 C. 2

D. 3+1

12.若函数 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是

A.(- 5,1)

B.[- 5,1) C.[-2,1)

D.(- 5,-2]

-2-
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第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做

答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.曲线 y ? x 2 ? 1 在点(1,2)处的切线方程为______________. x

14.已知 P 是△ABC 所在平面内一点且P→B+P→C+2→PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则

黄豆落在△PBC 内的概率是

.

15.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=1,{an}的“差数列” 的通项公式为 an+1-an=2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________.

16.已知抛物线 C:y2= 2px (p > 0)的焦点为 F,过点 F 倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线 C

在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 | AF | 的值等于__________.
| BF |

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. y
17.(本小题满分 12 分)
1
已知函数 f (x) ? Asin(?x ??), x ? R (其中

A ? 0,? ? 0,? ? ? ? ? ? ) ),其部分图像如图所示.

2

2

-2

-1 O -1

(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)已知横坐标分别为-1、1、5 的三点 M、

N、P 都在函数 f(x)的图像上,求 sin∠MNP 的值.

12 3 4

5 6x

18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,
∠DAB=60°,AB=2AD,M 为 AB 的中点,△PAD 为等边三 角形,且平面 PAD⊥平 ABCD.
(1)证明:PM⊥BC; (2)若 PD=1,求点 D 到平面 PAB 的距离.

19.(本小题满分 12 分)

为了解某市民众对某项公共政策的态度,在该市随机抽取了 50 名市民进行调查,做出了

他们的月收入(单位:百元,范围:[15,75])的频率分布直方图,同时得到他们月收入情况

以及对该项政策赞成的人数统计表:

-3-
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(1)求月收入在[35,45)内的频率,并补全这个频率分布直方图,并在图中标出相应纵坐标;

(2)根据频率分布直方图估计这 50 人的平均月收入;

(3)若从月收入(单位:百元)在[65,75]的被调查者中随机选取 2 人,求 2 人都不赞成的

概率. 20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0)的离心率 e

?

3 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2

积为 4.

(1)求椭圆的方程.

(2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ?a, 0 ),点 Q(0, y)0 在

线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求 y0 的值.
21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? bx(a, b ? R), f '( x) 为其导函数,且 x ? 3 时 f (x) 有极小值 ?9 .

(1)求 f (x) 的单调递减区间; (2)若不等式 f '(x) ? k(x ln x ?1) ? 6x ? 4(k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大 值.(解答过程可参考使用以下数据:ln7≈1.95,ln8≈2.08)

请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

??x=2+2cosα ,

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为???y=2sinα

(α 为参数),曲线 C2 的

??x=2cosβ , 参数方程为???y=2+2sinβ

(β 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程;

π

π

π

(2)已知射线 l1:θ =α (0<α < 2 ),将射线 l1 顺时针旋转 6 得到射线 l2:θ =α - 6 ,

且射线 l1 与曲线 C1 交于 O,P 两点,射线 l2 与曲线 C2 交于 O,Q 两点,求|OP|·|OQ|的最大值.

-4-
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23.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 ?2 ?| x ?1 | ? | x ? 2 |? 0 的解集为 M,且 a, b? M
(1)证明: 1 a ? 1 b ? 1 ; 36 4
(2)比较 | 1? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小,并说明理由.
-5-
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银川一中 2018 届高三第一次模拟文科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D A C D B C A D C

1 二.填空题:13. x-y+1=0-1; 14. 2;

15. 2n?1 ? n ? 2 ;

16. 3

三.解答题:

17、解:(1)由图可知, A ? 1 ,

1分

最小正周期T ? 4? 2 ? 8, 所以T ? 2π ? 8,? ? π .

2分

?

4

又 f (1) ? sin( π ? ?) ? 1 ,且 ? π ? ? ? π ,所以 ? π ? π ? ? ? 3π , π ? ? ? π ,? ? π . 4 分

4

2

2

44

44

24

所以 f (x) ? sin π (x ?1)

5分

4

(2) 解法一: 因为 f (?1) ? sin π (?1?1) ? 0, f (1) ? sin π (1?1) ? 1, f (5) ? sin π (5 ?1) ? ?1,

4

4

4

所以 M (?1, 0), N (1,1), P(5, ?1) ,

8分

MN ? 5, MP ? 37, PN ? 20 ,

10 分

从而 cos ?MNP ? 5 ? 20 ? 37 ? ? 3 , 2 5 ? 20 5

11 分

由 ?MNP ??0, π? ,得 sin ?MNP ? 1? cos2 ?MNP ? 4

12 分

5

解法二: 因为 f (?1) ? sin π (?1?1) ? 0, f (1) ? sin π (1?1) ? 1,

4

4

f (5) ? sin π (5 ?1) ? ?1, 所以 M (?1, 0), N (1,1), P(5, ?1) ,

8分

4

NM ? (?2, ?1), NP ? (4, ? 2) , NM ? NP ? ?6 , NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 , 10 分

则 cos ?MNP ? NM ? NP ? NM ? NP

?6 ? ? 3 5?2 5 5

11 分

由 ?MNP ??0, π? ,得 sin ?MNP ? 1? cos2 ?MNP ? 4
5

(12 分)

-6-
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19.解:(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3………………………2 分

………………………4 分

(2) 20?0.1? 30?0.2 ? 40?0.3? 50?0.2 ? 60?0.1? 70?0.1? 43 (百元) …5 分

即这 50 人的平均月收入估计为 4300 元。

………………………………6 分

(3)[65,75]的人数为 5 人,其中 2 人赞成,3 人不赞成。

……………7 分

-7-
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记赞成的人为 a, b ,不赞成的人为 x, y, z

……………8 分

任取 2 人的情况分别是: ab, ax, ay, az,bx,by,bz, xy, xz, yz, 共 10 种情况。…9 分

其中 2 人都不赞成的是: xy, xz, yz, 共 3 种情况。

…………11 分

? 2 人都不赞成的概率是: p ? 3 10

…………12 分

20.解:(1)由 e ? c ? 3 ,得 3a2 ? 4c2 , (1 分) a2

再由 c2 ? a2 ? b2 ,得 a ? 2b ,

(2 分)

由题意可知, 1 ? 2a ? 2b ? 4,即ab ? 2 . 2

(3 分)

?a ? 2b 解方程组 ??ab ? 2 ,得

a=2,b=1,所以椭圆的方程为

x2 4

?

y2

?1.

4分

(2)由(1)可知 A(-2,0).设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,

则直线 l 的方程为 y=k(x+2),

5分

于是

A,B

两点的坐标满足方程组

? ? ? ??

y? x2 4

k ?

(x y2

? 2) ?1

, ,

由方程组消去 y 整理,得 (1? 4k 2 )x2 ?16k 2x ? (16k 2 ? 4) ? 0 ,

6分



?2 x1

?

16k 1?

2 ?4 4k 2

,



x1

?

2 ? 8k 2 1? 4k 2

, 从而y1

?

4k 1? 4k

2

.,

设线段

AB

的中点为

M,则

M

的坐标为

(?

8k 2 1? 4k

2

,

2k 1? 4k 2

)

.

8分

以下分两种情况:

(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0).线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

9分

(2)当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为

令 x=0,解得

10 分



?
QA

?
QB

?

?2x1

?

y0 ( y1

?

y0)=

?2(2 ? 8k 2 ) 1? 4k 2

?

6k 1? 4k 2

( 4k 1? 4k 2

? 6k 1? 4k 2

)

-8-
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=

4(16k 4 ?15k 2 (1? 4k 2 )2

?1)

?

4

.

整理得

7k72k?2

2?,2故,故k ?k

??

?71471,所4 所以以y0y=0?=

2?

21414 55

.

综上 y0 = ? 2

2或y0

=

?

2

14 5

.

21.

11 分 12 分

22.(1)曲线 C1 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4 所以 C1 的极坐标方程为 ρ =4cosθ 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 所以 C2 的极坐标方程为 ρ =4sinθ .

1分 2分 3分 4分
-9-
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(2)设点 P 的极坐标为(ρ 1,α ),

5分

π

π

即 ρ 1=4cosα ,点 Q 的极坐标为(ρ 2,(α - 6 )),即 ρ 2=4sin(α - 6 ),

6



π

3

1

则|OP|·|OQ|=ρ 1ρ 2=4cosα ·4sin(α - 6 )=16cosα ·( 2 sinα -2cosα )

π

π

=8sin(2α - 6 )-4. ∵α ∈(0, 2 ), 8 分

π

π 5π

ππ

π

∴2α - 6 ∈(- 6 , 6 ).当 2α - 6 = 2 ,即 α = 3 时,|OP|·|OQ|取最大值 4. 10



23.

2 - 10 -
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