天津市五区县2018届高三上学期期末考试数学(文)试题(含答案)

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绝密★启用前

天津市 2017~2018 学年度第一学期期末考试 高三数学(文科)试卷
温馨提示:使用答题卡的区,学生作答时请将答案写在答题卡上;不使用答题卡的区,学生 作答时请将答案写在试卷上. 题号 得分 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘帖考试用条形 码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 一 二 15 16 17 三 18 19 20 总分

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
注意事项: 1.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) . 如果事件 A, B 相互独立,那么 P ( A ? B ) ? P ( A) P ( B ) .

1 V ? Sh 3 ,其中 S 表示锥体的底面面积, h 表示锥体的高. 锥体的体积公式
柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面面积, h 表示柱体的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? {0,1, 4}, B ? { y | y ? x , x ? A} ,则 A ? B ?
2

(A) 0, 1, 16 (C) 1, 16

?

?

(B) 0, 1

? ? ? ?
.

?

?

(D) 0, 1, 4, 16

.

(2)从数字 1,2,3,4,5,6 中任取两个数,则取出的两个数的乘积为奇数的概率为 (A)

1 15

(B)

2 15

(C)

1 5

(D)

4 15

(3)已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是 (A)48 (B)36 (C)24 (D)12 (4)设 x ? R ,则“ x ? 2 ”是“ x ? 1 ? 1 ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知 a ? log 3 0.5 , b ? log 0.3 0.2 , c ? 0.5 (A) a ? c ? b (C) b ? a ? c (6)已知双曲线
0.3

第 3 题图

,则

(B) b ? c ? a (D) c ? a ? b

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的焦点到渐近线的距离为 2,且双曲线的一条渐近 a 2 b2

线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 16 4
(C)

x2 y 2 ? ?1 (B) 8 4
(D) x ?
2

x2 ? y2 ? 1 4

y2 ?1 4

(7)已知向量 a ? (cos 40?,sin 40?) , b ? (sin 20?, cos 20?) , u ? 则 u 的最小值为 (A)

3a ? ? b (其中 ? ? R ) ,

6 2

(B)

3 4

(C)

3 2

(D) 3

(8)已知函数 f ( x) ? ?

?1? | x |, x ? 1,
2 ?( x ? 1) , x ? 1.

若方程 f (1 ? x) ? m ? 0 有三个不相等的实数根,则实数

m 的取值范围为
.

.

(A) (??,1)

(B) ( , ??)

3 4

(C) (0, 2)

(D) (0,1)

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 二、填空题:本大题共有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)已知 i 是虚数单位,若 z (2 ? i) ? 2 ? 4i ,则复数 z =___________. (10)阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 则输出 v 的值为___________. (11)已知 f ( x) ? ( x ? 2 x)e (其中 e 是自
2 x

然对数的底数) , f ?( x) 为 f ( x) 的导 函数,则 f ?(0) 的值为___________. (12)在等比数列{ an }中, 已知 a1 ?

1 , a3 a5 ? 4( a4 ? 1) , 4

则{ an }的前 10 项和 S10 ? ___________. (13)如图, ?ABC 为边长为 1 的 正三角形, D 为 AB 的中点, E 在

BC 上,且 BE : EC ? 1: 2 ,连结 DE
并延长至 F ,使 EF ? DE ,连结

FC .则 FC ? AC 的值为________.
(14)已知 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ( ? ? 0, x ? R ) ,若函数 f ( x) 在区间

??? ? ??? ?

第 13 题 图

(0, 4? ) 内恰有 5 个零点,则 ? 的取值
范围是___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且满足
.

2a ? b c ? . cos B cos C

.

(I)求角 C 的值; (II)若 c ? 7 , ?ABC 的面积为 10 3 ,求 a ? b 的值. (16) (本小题满分 l3 分) 某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成 A, B, C 三种规格的小石板,每种类 型的大理石板可同时加工成三种规格小石板的块数如下表所示: 板材类型 甲型石板 (块) 乙型石板 (块) 某客户至少需要订购 A, B 两种规格的石板分别为 20 块和 22 块,至多需要 C 规格的石板

A 1 2

B 2 1

C

4
5

100 块.分别用 x, y 表示甲、乙两种类型的石板数.
(I)用 x, y 列出满足客户要求的数学关系式,并画出相应的平面区域; (II)加工厂为满足客户的需求,需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块,才能使所用石 板总数最少? (17) (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ?PCD 为等边三角 底面 ABCD 为直角梯形, AB ? AD , AD / / BC , 的中点. 形,

AD ? 2 BC ? 2 , AB ? 3 ,点 E 、 F 分别为 AD 、
(I)求证:直线 BE / / 平面 PCD ; (II)求证:平面 PAF ? 平面 PCD ; (III)若 PB ?

CD

3 ,求直线 PB 与平面 PAF 所成的

角.

(18) (本小题满分 13 分)
? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 An ? n ( n ? N ) , bn ?

2

an an ?1 ? ? (n?N ) ,数列 ?bn ? 的前 an ?1 an

n 项和为 Bn .
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 cn ?

an ? (n?N ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Cn ; n 2
?

(III)证明: 2n ? Bn ? 2n ? 2 ( n ? N ).
.

.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 B ,若 a 2 b2

?BF1 F2 的周长为 6 ,且点 F1 到直线 BF2 的距离为 b .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A1 , A2 是椭圆 C 长轴的两个端点,点 P 是椭圆 C 上不同于 A1 , A2 的任意一点,直线

A1 P 交直线 x ? 14 于点 M ,求证:以 MP 为直径的圆过点 A2 .
(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
3

5 2 x ? ax ? b ( a, b ? R ) ,函数 f ( x ) 的图象记为曲线 C . 2

(I)若函数 f ( x ) 在 x ? ?1 时取得极大值 2,求 a, b 的值; (II)若函数 F ( x ) ? 2 f ( x ) ? 范围; (III)设动点 A( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,点 B 处的切线为 l2 ,两切 线的斜率分别为 k1 , k2 ,当 a 为何值时存在常数 ? 使得 k2 ? ? k1 ?并求出 ? 的值.

5 2 x ? (2a ? 1) x ? 3b 存在三个不同的零点,求实数 b 的取值 2

天津市部分区 2016~2017 学年度第一学期期末考试 高三数学(文科)参考答案 一、选择题: 1-4 DCDA 二、填空题: 9. 10. 11. 12. 13. 14. 5-8 BACD

三、解答题: 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)已知 可化为 , 整理得 , 又 (Ⅱ)由 得 ,
.

…………………………3 分 ,

…………………………6 分

.

由(Ⅰ) , 所以由余弦定理得: , ,即, 所以 . 16.(本小题满分 13 分) 解:(I)由题意得 ………………………………3 分 二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分. ………………………………6 分 …………………………9 分 …………………………13 分

(Ⅱ)解:设需要加工甲、乙两种类型的板材数为 ,则目标函数 ,作出直线 ,平移直 线 ,如图, 易知直线经过点 A 时, 取到最小值, 解方程组 得点 的坐标为 ,………………………………10 分 所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别 8 块和 6 块. 答:加工厂为满足客户需求,最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别 8 块和 6 块.………………………………13 分 17.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) ,且 为 的中点, . , 平面 , 平面 , 直线 平

又因为 ,则四边形 是平行四边形,∴ 面 . ……………4 分 (II)∵在等边 中, 是 的中点, ; 又 , ; 又 , ,又 , ,又 , 平面 , 故平面 平面 ; ……8 分

(III)设 与 交于点 , 由(II)知 平面 , , 故 平面 ,连结 , 为直线 与平面 所成的角. 在 中, , , . ………………………13 分

18. (本小题满分 13 分) 解:(I)当 时, , ,
.

.

两式相减: ; 当 时, ,也适合 , 故数列 的通项公式为 ;………………………………….3 分 (II) , , , ,两式相减可得: , ………………………………… 即 , , . ………………… 7 分 4分

(III) ,显然 , 即 , ;………………………………. 9 分 另一方面, , 即 , ,…, , , 即: . ……………………….. 13 分

19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由已知得 ,解得 . 所以椭圆的方程为 . ……………5 分 (Ⅱ)由题意知 , 设 ,则 ,得 . 且由点 在椭圆上,得 . 所以 …………13 分 以 为直径的圆过点 . 20. (本小题满分 14 分) 解:函数 的导函数为 . (I)当 时极大值 2,则 ,解得 ;…… 4 分 (II)由题意可得 有三个不同的零点,即方程 有三个实数解. 令 ,则 ,由 可得 或 ,且 是其单调递增区间, 是其单调递减区间, .因此,实数 的取 值范围是 . 9 分 (III)由(I)知点 处的切线 的方程为 ,与 联立得 ,即 ,所以点 的横坐标是 ,可 得 ,即 , 等价于 ,解得 . 综上可得,当 时存在常数 使得 . ……………14 分 ……………14 分 ……………9 分 ……………6 分

.

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天津市部分区 2017~2018 学年度第一学期期末考试 高三数学(文科)参考答案
一、选择题:

1-4 DCDA
二、填空题: 9. 2i 10. 6

5-8 BACD

11. ?2

12.

1023 1 13. ? 4 12

14.

7 17 ?? ? 6 12

三、解答题: 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)已知 ( 2a ? b) cos C ? c cos B ? 0 可化为

(2 sin A ? sin B ) cos C ? sin C cos B ? 0 ,

…………………………3 分

整理得 2 sin A cos C ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ,

? 0 ? A ? π,? sinA ? 0, ? cos C ?
又? 0 ? C ? π,? C ? (Ⅱ)由 S ?ABC ? 由(Ⅰ) cos C ?

1 , 2
…………………………6 分

π . 3

1 1 π ab sin C ? ab sin ? 10 3 得 ab ? 40 , 2 2 3
1 , 所以由余弦定理得: 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? (a ? b) 2 ? 3ab ? (a ? b) 2 ? 3 ? 40 , ? 49 ? (a ? b) 2 ? 3 ? 40 ,即, (a ? b) 2 ? 169
所以 a ? b ? 13 . 16.(本小题满分 13 分) …………………………9 分 …………………………13 分

? x ? 2 y ? 20≥0, ?2 x ? y ? 22≥0, ? 解:(I)由题意得 ? ………………………………3 分 4 x ? 5 y ? 100 ≤ 0, ? ? 0, y 0. ? x≥≥
二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.

.

.

………………………………6 分

(Ⅱ)解:设需要加工甲、乙两种类型的板材数为 z ,则目标函数 z ? x ? y ,作出直线

l0 : x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,如图,
易知直线经过点 A 时, z 取到最小值, 解方程组 ?

? x ? 2 y ? 20 得点 A 的坐标为 ?2 x ? y ? 22

A(8, 6) ,………………………………10 分
所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别 8 块和 6 块. 答:加工厂为满足客户需求,最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别 8 块和 6 块.………………………………13 分 17.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)? AD ? 2 BC ? 2 ,且 E 为 AD 的中点,? BC ? ED . 又因为 AD / / BC ,则四边形 BCDE 是平行四边形,∴ BE / / CD ,? CD ? 平面 PCD ,

BE ? 平面 PCD ,? 直线 BE / / 平面 PCD .
(II)∵在等边 ?PCD 中, F 是 CD 的中点,

……………4 分

? CD ? PF ;
又 BC / / AD, AB ? AD ,? AB ? BC ; 又 AB ? 3, BC ? 1 ,? AC ? 2 ,又 AD ? 2 ,
.

.

? CD ? AF ,又? PF ? AF ? F ,? CD ? 平面 PAF ,
故平面 PAF ? 平面 PCD ; (III)设 AF 与 BE 交于点 G , 由(II)知 CD ? 平面 PAF , BE / / CD , 故 BG ? 平面 PAF ,连结 PG ,??BPG 为直线 BP 与平面 PAF 所成的角. ……8 分

3 3 BG 3 在 Rt?PBG 中, BG ? , sin ?BPG ? , ? 2 ? 2 PB 2 3

??BPG ?

?
3

.

………………………13 分

18. (本小题满分 13 分) 解:(I)当 n ? 2 时, An ? n , An ?1 ? ( n ? 1) ,
2 2

两式相减: an ? An ? An ?1 ? 2n ? 1 ; 当 n ? 1 时, a1 ? A1 ? 1 ,也适合 an ? 2n ? 1 , 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ;………………………………….3 分 (II) cn ?

an 2n ? 1 ? n , Cn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 2n 2

Cn ?

1 3 5 2n ? 1 C 1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ,两式相减可得: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Cn 1 2 2 2 2n ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , ………………………………… 4 分 2 2 2 2 2 2


Cn 1 1 1 1 1 2n ? 1 ? ? ( 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n -1 ) ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2
………………… 7 分

Cn 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? ? (1 ? n -1 ) ? n ?1 , Cn ? 3 ? 2 2 2 2 2n .
(III) bn ?

2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ? ,显然 ? ?2 ? ? 2, 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

即 bn ? 2 , Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ;………………………………. 9 分 另一方面, 即 b1 ? 2 ?

2n ? 1 2n ? 1 2 2 2 2 ? ? 1? ?1? ? 2? ? , 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

1 ? 2 2 2 2 ? 1 ? ? , b2 ? 2 ? ? ,…, bn ? 2 ? 2 ? ?, 1 3 3 5 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
.

.

Bn ? (2 ?

2 2 2 2 2 2 2 ? ) ? (2 ? ? ) ? ? ? (2 ? ? ) ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 2 , 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
……………………….. 13 分

即: 2n ? Bn ? 2n ? 2 . 19. (本小题满分 14 分)

?a ? 2 ?2c ? 2a ? 6 ? ? 解:(Ⅰ)由已知得 ? 2cb ? ab ,解得 ?b ? 3 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c ? 1 ? ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ……………5 分 4 3
……………6 分

(Ⅱ)由题意知 A1 ( ?2, 0), A2 (2, 0) , 设 P ( x0 , y0 ) ,则 l A1P : y ?

y0 16 y0 ( x ? 2) ,得 M (14, )) . x0 ? 2 x0 ? 2
2

且由点 P 在椭圆上,得 y0 ? 3(1 ? 所以 A2 M ? A2 P ? (12,

x0 2 ). 4

……………9 分

????? ? ???? ?

16 y0 16 y0 2 ) ? ( x0 ? 2, y0 ) ? 12( x0 ? 2) ? x0 ? 2 x0 ? 2

? 12( x0 ? 2) ?

12(4 ? x0 2 ) 12( x0 ? 2)( x0 ? 2) ? 12( x0 ? 2) ? ? 0 …………13 分 x0 ? 2 x0 ? 2
……………14 分

以 MP 为直径的圆过点 A2 . 20. (本小题满分 14 分) 解:函数 f ( x) ? x ?
3

5 2 x ? ax ? b 的导函数为 f ?( x) ? 3 x 2 ? 5 x ? a . 2 5 ;…… 4 分 2

(I)当 x ? ?1 时极大值 2,则 f ?( ?1) ? 0, f ( ?1) ? 2 ,解得 a ? 2, b ? (II)由题意可得 F ( x ) ? 2 f ( x ) ?

5 2 x ? (2a ? 1) x ? 3b 有三个不同的零点,即方程 2

2 x3 ?

5 2 x ? x ? b ? 0 有三个实数解. 2
3

令 g ( x) ? 2 x ?

5 2 x ? x ,则 g ?( x) ? 6 x 2 ? 5 x ? 1 ? (2 x ? 1)(3 x ? 1) ,由 g ?( x) ? 0 可得 2

1 1 1 1 1 1 x ? ? 或 x ? ? ,且 (??, ? ), (? , ??) 是其单调递增区间, (? , ? ) 是其单调递减区 2 3 2 3 2 3
.

.

间, g ( ? ) ? ? , g ( ? ) ? ?

1 2

1 8

1 3

7 7 1 , ? ) .9 分 .因此,实数 b 的取值范围是 ( ? 54 54 8

(III)由(I)知点 A( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l1 的方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,与

5 y ? f ( x) 联立得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即 ( x ? x0 ) 2 ( x ? 2 x0 ? ) ? 0 ,所以点 B 的横 2
坐标是 xB ? ?(2 x0 ? ) ,可得 k1 ? 3 x0 ? 5 x0 ? a, k2 ? 3(2 x0 ? ) ? 5(2 x0 ? ) ? a ,即
2 2

5 2

5 2

5 2

k2 ? 12 x0 2 ? 20 x0 ?

25 25 ? a , k2 ? ? k1 等价于 (3 x0 2 ? 5 x0 )(4 ? ? ) ? a (? ? 1) ? ,解得 4 4

? ? 4, a ?

25 . 12 25 时存在常数 ? ? 4 使得 k2 ? ? k1 .……………14 分 12
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综上可得,当 a ?

.


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