丰南区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

丰南区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,则 C 的方程为( +y2=1 C. + ) =1 D. + =1 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B

姓名__________

分数__________

两点,若△ AF1B 的周长为 4 A. + =1 B.

2. 对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合 M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈ N*}中的元素个数是( 3. 下列命题中正确的是( B.任何复数都不能比较大小 C.若 = ,则 z1=z2 ) ) D.若|z1|=|z2|,则 z1=z2 或 z1= 4. 已知点 A(1,1),B(3,3),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.y=﹣x+4 B.y=x C.y=x+4 A.﹣ B. C.2 D.6 =t +(1﹣t) ,若∠ACD=60°,则 t 的值为( ) D.y=﹣x 5. 若向量 =(3,m), =(2,﹣1), ∥ ,则实数 m 的值为( ) ) A.10 个B.15 个 C.16 个 D.18 个 A.复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d

6. 已知 AC⊥BC,AC=BC,D 满足 A. B. ﹣ C. ﹣1

D.

7. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 为底面 ABCD 上的动点.若三棱锥 B﹣D1EC 的表面积最大,则 E 点位于( A.点 A 处 ) B.线段 AD 的中点处

C.线段 AB 的中点处 D.点 D 处 8. 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为( A. B. C. D. =0.08x+1.23 )

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9. 已知函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)= A. B. C.
2

;当 x<4 时 f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=(



D. )

10.函数 y=

(x ﹣5x+6)的单调减区间为(

A.( ,+∞) B.(3,+∞)

C.(﹣∞, ) D.(﹣∞,2) ,则

11.已知函数 f(x)=x(1+a|x|).设关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A,若 实数 a 的取值范围是( A. C. B. D. )

12.对于函数 f(x),若? a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称 f(x)为“可 构造三角形函数”,已知函数 f(x)= A. C. D. 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是( )

二、填空题
13.如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环)的茎叶图,则成绩较为稳定(方差较小)的运 动员是 .

2 14.已知各项都不相等的等差数列 ?an ? ,满足 a2 n ? 2an ? 3 ,且 a6 ? a1 ? a21 ,则数列 ?

? Sn ? 项中 n ?1 ? ?2 ?
条件.

的最大值为_________. 15.设 p:f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1 在(0,+∞)上单调递增,q:m≥﹣5,则 p 是 q 的 16.(x﹣ )6 的展开式的常数项是 (应用数字作答). ▲ . .

17.设幂函数 f ? x ? ? kx? 的图象经过点 ? 4, 2 ? ,则 k ? ? = 18.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为

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①函数 y=2x3+3x﹣1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对?x,y∈R.若 x+y≠0,则 x≠1 或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最大值为 ;

④若△ ABC 为锐角三角形,则 sinA<cosB. ⑤在△ ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,且 ? =5,则△ ABC 的形状是直角三角形.

三、解答题
19.已知集合 P={x|2x2﹣3x+1≤0},Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}. (1)若 a=1,求 P∩Q; (2)若 x∈P 是 x∈Q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

20.本小题满分 12 分已知椭圆 C 的离心率为 Ⅰ求椭圆 C 的长轴长;

6 ,长轴端点与短轴端点间的距离为 2. 3

Ⅱ过椭圆 C 中心 O 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点 A、B 不是椭圆 C 的顶点,点 M 在长轴所在直线上,且

OM ? OA ? OM ,直线 BM 与椭圆交于点 D,求证:AD ? AB。 2

2

21.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值;

1 2 ax ? 2 x ? ln x . 2

(2)若 f ( x ) 在区间 [ , 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

1 3

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【命题意图】 本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题, 本题渗透了分类讨论思 想,化归思想的考查,对运算能力、函数的构建能力要求高,难度大.

22.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< 图象与 x 轴的交点,O 为原点.且|OQ|=2,|OP|= (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; ,|PQ|= .

)图象如图,P 是图象的最高点,Q 为

(Ⅱ)将函数 y=f(x)图象向右平移 1 个单位后得到函数 y=g(x)的图象,当 x∈[0,2]时,求函数 h(x)=f (x)?g(x)的最大值.

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23.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E 分别是 AC、AB 上的点,且 DE∥BC,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1D⊥CD,如图

2. (Ⅰ)求证:平面 A1BC⊥平面 A1DC; (Ⅱ)若 CD=2,求 BD 与平面 A1BC 所成角的正弦值; (Ⅲ)当 D 点在何处时,A1B 的长度最小,并求出最小值.

24.如图所示,在边长为

的正方形 ABCD 中,以 A 为圆心画一个扇形,以 O 为圆心画一个圆,M,N,

K 为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆 O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积.

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丰南区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:∵△AF1B 的周长为 4 ∴4a=4 ∴a= , , , ,

∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,

∵离心率为 ∴ ∴b=

,c=1, = , + =1.

∴椭圆 C 的方程为 故选:A.

【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.

2. 【答案】B
* 【解析】解:a※b=12,a、b∈N ,

若 a 和 b 一奇一偶,则 ab=12,满足此条件的有 1×12=3×4,故点(a,b)有 4 个; 若 a 和 b 同奇偶,则 a+b=12,满足此条件的有 1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6 共 6 组,故点(a,b)有 2×6 ﹣1=11 个, 所以满足条件的个数为 4+11=15 个. 故选 B 3. 【答案】C 【解析】解:A.未注明 a,b,c,d∈R. B.实数是复数,实数能比较大小. C.∵ 故选:C. 4. 【答案】A = ,则 z1=z2,正确; D.z1 与 z2 的模相等,符合条件的 z1,z2 有无数多个,如单位圆上的点对应的复数的模都是 1,因此不正确.

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【解析】解:∵点 A(1,1),B(3,3), ∴AB 的中点 C(2,2), kAB= =1,

∴线段 AB 的垂直平分线的斜率 k=﹣1, ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为: y﹣2=﹣(x﹣2),整理,得:y=﹣x+4. 故选:A. 5. 【答案】A 【解析】解:因为向量 =(3,m), =(2,﹣1), ∥ , 所以﹣3=2m, 解得 m=﹣ . 故选:A. 【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用,基本知识的考查. 6. 【答案】A 【解析】解:如图,根据题意知,D 在线段 AB 上,过 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,作 DF⊥BC,垂足为 F;

若设 AC=BC=a,则由 根据题意,∠ACD=60°,∠DCF=30°; ∴ 即 解得 故选:A. . ; ;

得,CE=ta,CF=(1﹣t)a;

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【点评】 考查当满足 平面向量基本定理,余弦函数的定义. 7. 【答案】A 【解析】解:如图,

A,B 三点共线, 时, 便说明 D, 以及向量加法的平行四边形法则,

E 为底面 ABCD 上的动点,连接 BE,CE,D1E, 对三棱锥 B﹣D1EC,无论 E 在底面 ABCD 上的何位置, 面 BCD1 的面积为定值, 要使三棱锥 B﹣D1EC 的表面积最大,则侧面 BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大, 而当 E 与 A 重合时,三侧面的面积均最大, ∴E 点位于点 A 处时,三棱锥 B﹣D1EC 的表面积最大. 故选:A.

【点评】本题考查了空间几何体的表面积,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题. 8. 【答案】C 【解析】解:法一: 由回归直线的斜率的估计值为 1.23,可排除 D 由线性回归直线方程样本点的中心为(4,5), 将 x=4 分别代入 A、B、C,其值依次为 8.92、9.92、5,排除 A、B 法二: 因为回归直线方程一定过样本中心点, 将样本点的中心(4,5)分别代入各个选项,只有 C 满足, 故选 C

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【点评】本题提供的两种方法,其实原理都是一样的,都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程.

9. 【答案】A 【解析】解:∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴f(2+log23)=f(3+log23) = 故选 A. 10.【答案】B
2 【解析】解:令 t=x ﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)>0,可得 x<2,或 x>3,

故函数 y=

2 (x ﹣5x+6)的定义域为(﹣∞,2)∪(3,+∞).

本题即求函数 t 在定义域(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间. 结合二次函数的性质可得,函数 t 在(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间为 (3,+∞), 故选 B. 11.【答案】 A 【解析】解:取 a=﹣ 时,f(x)=﹣ x|x|+x, ∵f(x+a)<f(x), ∴(x﹣ )|x﹣ |+1>x|x|, (1)x<0 时,解得﹣ <x<0; (2)0≤x≤ 时,解得 0 (3)x> 时,解得 ; ,

综上知,a=﹣ 时,A=(﹣ , ),符合题意,排除 B、D; 取 a=1 时,f(x)=x|x|+x, ∵f(x+a)<f(x),∴(x+1)|x+1|+1<x|x|, (1)x<﹣1 时,解得 x>0,矛盾; (2)﹣1≤x≤0,解得 x<0,矛盾;

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(3)x>0 时,解得 x<﹣1,矛盾; 综上,a=1,A=?,不合题意,排除 C, 故选 A. 【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识,考查数形结合思想、分类讨论思想,考查 学生分析解决问题的能力,注意排除法在解决选择题中的应用. 12.【答案】D 【解析】解:由题意可得 f(a)+f(b)>f(c)对于?a,b,c∈R 都恒成立, 由于 f(x)= =1+ ,

①当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a),f(b),f(c)都为 1,构成一个等边三角形的三边长, 满足条件. ②当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c)<t, 由 f(a)+f(b)>f(c),可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1, 同理 t<f(b)<1,t<f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c),可得 2t≥1,解得 1>t≥ 综上可得, ≤t≤2, ,2], .

故实数 t 的取值范围是[ 故选 D.

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围,以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域,同时 考查了分类讨论的思想,属于难题.

二、填空题
13.【答案】 甲 .

【解析】解:【解法一】甲的平均数是 方差是 =

= (87+89+90+91+93)=90,

[(87﹣90)2+(89﹣90)2+(90﹣90)2+(91﹣90)2+(93﹣90)2]=4; = (78+88+89+96+99)=90, [(78﹣90)2+(88﹣90)2+(89﹣90)2+(96﹣90)2+(99﹣90)2]=53.2;

乙的平均数是 方差是 =

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,∴成绩较为稳定的是甲.

【解法二】根据茎叶图中的数据知, 甲的 5 个数据分布在 87~93 之间,分布相对集中些,方差小些; 乙的 5 个数据分布在 78~99 之间,分布相对分散些,方差大些; 所以甲的成绩相对稳定些. 故答案为:甲. 【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题,是基础题目. 14.【答案】 【解析】

考 点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列的前项和. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式 . 等差数列的通项公式及前项和公式 , 共涉及

a1 , an , d , n, Sn 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
式在解题中起到变量代换作用,而 a1 , d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 15.【答案】 必要不充分

x 【解析】解:由题意得 f′(x)=e + +4x+m, x 2 ∵f(x)=e +lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增, x ∴f′(x)≥0,即 e + +4x+m≥0 在定义域内恒成立,

由于 +4x≥4,当且仅当 =4x,即 x= 时等号成立,
x 故对任意的 x∈(0,+∞),必有 e + +4x>5

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∴m≥﹣e ﹣ ﹣4x 不能得出 m≥﹣5
x 但当 m≥﹣5 时,必有 e + +4x+m≥0 成立,即 f′(x)≥0 在 x∈(0,+∞)上成立

x

∴p 不是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件,即 p 是 q 的必要不充分条件 故答案为:必要不充分 16.【答案】 ﹣160

6 【解析】解:由于(x﹣ ) 展开式的通项公式为 Tr+1=

?(﹣2)r?x6﹣2r, =﹣160,

6 令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(x﹣ ) 展开式的常数项为﹣8

故答案为:﹣160. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于基础题. 17.【答案】 【解析】
3 2

1 3 ? 试题分析:由题意得 k ? 1, 4 ? 2 ? ? ? ? k ? ? ? 2 2 考点:幂函数定义
18.【答案】 :①②③
3 【解析】解:对于①函数 y=2x ﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,

则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则①正确; 对于②对?x,y∈R,若 x+y≠0,对应的是直线 y=﹣x 以外的点,则 x≠1,或 y≠﹣1,②正确;
2 2 对于③若实数 x,y 满足 x +y =1,则

=

2 2 ,可以看作是圆 x +y =1 上的点与点(﹣2,0)连线

的斜率,其最大值为

,③正确;

对于④若△ ABC 为锐角三角形,则 A,B,π﹣A﹣B 都是锐角, 即 π﹣A﹣B< 则 cosB<cos( ,即 A+B> ﹣A), ,B> ﹣A,

即 cosB<sinA,故④不正确. 对于⑤在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,

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取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、GD,如图:则 OD⊥BC,GD= AD, ∵ 由 则 即 则 又 BC=5 则有 由余弦定理可得 cosC<0, 即有 C 为钝角. 则三角形 ABC 为钝角三角形;⑤不正确. 故答案为:①②③ , = |,

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1) 当 a=1 时,Q={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2} 则 P∩Q={1} (2)∵a≤a+1,∴Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}={x|a≤x≤a+1} ∵x∈P 是 x∈Q 的充分条件,∴P?Q ∴ ,即实数 a 的取值范围是

【点评】本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,以及充分条件的运用,也是高考常会考的题型.

20.【答案】 【解析】Ⅰ由已知
c 6 ? , a 2 ? b 2 ? 4 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 3, b2 ? 1 , a 3

所以椭圆 C 的长轴长 2 3 Ⅱ以 O 为坐标原点长轴所在直线为 x 轴建立如图平面直角坐标系 xOy , 不妨设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,则由 1 可知椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 ; 3

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设 A ( x1 , y1 ) ,D ( x2 , y2 ) ,则 A (? x1 , ? y1 )

OM ∵ ? OA ? OM 2

2

∴M (2 x1 ,0)

根据题意,BM 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 2 x1 ) ,
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 3 ,消去 y 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ?12k 2 x1x ? 12k 2 x12 ? 3 ? 0 , ? y ? k (x ? 2x ) ? 1

? ? (?12k 2 x1 )2 ? 4(1 ? 3k 2 )(12k 2 x12 ? 3) ? 12(?4k 2 x12 ? 1 ? 3k 2 ) ? 0 ,

12k 2 x1 12k 2 x12 ? 3 , ? x ? x ? , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ? y k ( x2 ? 2 x1 ) ? k (? x1 ? 2 x1 ) k ( x2 ? 5 x1 ) 4kx1 1 k AD ? 2 1 ? ? ?k? ?? 2 12k x1 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 3k 2 1 ? 3k y ?k (? x1 ? 2 x1 ) k AB ? 1 ? ? 3k x1 x1 ? x1 ? x2 ?

? k AD ? k AB ? ?1
21.【答案】

∴AD ? AB

【解析】(1)函数的定义域为 (0,??) ,因为 f ( x) ?

1 2 ax ? 2 x ? ln x ,当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? ln x ,则 2

1 1 1 .令 f ' ( x) ? 2 ? ? 0 ,得 x ? .…………2 分 x x 2 所以 x, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表: 1 1 1 x (0, ) ( ,?? ) 2 2 2 f ' ( x) 0 - + f ' ( x) ? 2 ?

f ( x)
所以当 x ?



极小值



1 1 时, f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln 2 ,函数无极大值.………………5 分 2 2

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22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由余弦定理得 cos∠POQ= ∴sin∠POQ= 由 f( )=sin( ,得 P 点坐标为( ,1),∴A=1, +φ)=1 可得 φ= ,… . … x+ ).…

=

=4(2﹣ ),∴ω=

,∴y=f(x) 的解析式为 f(x)=sin( x,… xcos x

(Ⅱ)根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律求得 g(x)=sin h(x)=f(x)g(x)=sin( = + sin x+ ) sin ﹣ , ], x= )+ .… + sin

= sin( ∈[﹣ ,

当 x∈[0,2]时, ∴当

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即 x=1 时,hmax(x)= .… 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图象求函数的解析式,函数 y=Asin(ωx+?)的图象变 换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题. 23.【答案】 【解析】 【分析】(Ⅰ)在图 1 中,△ABC 中,由已知可得:AC⊥DE.在图 2 中,DE⊥A1D,DE⊥DC,即可证明 DE⊥平面 A1DC,再利用面面垂直的判定定理即可证明. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,设平面 A1BC 的法向量为 ,利用 ,BE 与平

面所成角的正弦值为

. =

(Ⅲ) 设 CD=x (0<x<6) , 则 A1D=6﹣x, 利用

(0<x<6),即可得出. 【解答】(Ⅰ)证明:在图 1 中,△ABC 中,DE∥BC,AC⊥BC,则 AC⊥DE, ∴在图 2 中,DE⊥A1D,DE⊥DC, 又∵A1D∩DC=D,∴DE⊥平面 A1DC, ∵DE∥BC,∴BC⊥平面 A1DC, ∵BC?平面 A1BC,∴平面 A1BC⊥平面 A1DC. (Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系:A1(0,0,4)B(3,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0), E(2,0,0). 则 , , 设平面 A1BC 的法向量为 则 ,解得 ,即

则 BE 与平面所成角的正弦值为 (Ⅲ)解:设 CD=x(0<x<6),则 A1D=6﹣x,在(2)的坐标系下有:A1(0,0,6﹣x),B(3,x,0), ∴ = = (0<x<6), 即当 x=3 时,A1B 长度达到最小值,最小值为 .

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24.【答案】 【解析】解:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h, 由已知条件 解得 ,
2

, , ,

∴S=πrl+πr =10π, ∴

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