江西省高安中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文(创新班)

江西省高安中学 2015-2016 学年度上学期期期中考试 高二年级(文创)数学试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1、若命题“ p ? q ”为假,且“ ?p ”为假,则( ) A. p 或 q 为假 B. q 假 C. q 真 D.不能判断 q 的真假 2、若条件 p : x ? 2 ,条件 q : x ? a ,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A. a ? 2 B. a ? 2 C. a ? ?2 D. a ? ?2 2 2 2 2 x y x y 3、曲线 ? ) ? 1 与曲线 ? ? 1(k ? 9) 的( 25 9 25 ? k 9 ? k (A)长轴长相等 (B)短轴长相等 (C)焦距相等 (D)离心率相等 4、下列说法正确的是( ) A. 命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2
x



x0

?0”

B.命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 则 x ? 0 或 y ? 0 ” C. 若命题 p, ?q 都是真命题,则命题“ p ? q ”为真命题 5、已知 f ? x ? ? x ? xf ? ? 0? ?1 ,则 f ? 2014? 的值为(
2

D.“ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 )

A. 2012 ? 2014 B. 2013 ? 2014 C. 2013 ? 2015 D. 2014 ? 2016 6、在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威胁.为了考察某种 埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取 100 只小鼠进行试验,得到如下列联表:

[Z-xk.Com] 参照附表,下列结论正确的是( ) . A.在犯错误的概率不超 5% 过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”; B.在犯错误的概率不超 5% 过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”; C.有 97.5% 的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”; D.有 97.5% 的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”. 7、设 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ln x ,则函数 f ( x) 单调递增区间为
2

A (0,??) 8.已知椭圆 C:

B (?1,0) 和 (2,??)

C (2,??)

D (?1,0)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 2 a b 3 交 C 与 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( ) 2 2 2 2 2 x y x x y x2 y 2 ? ?1 ? y2 ? 1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 3 2 3 12 8 12 4
9、已知函数 f(x)=x -ax+3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)=x -aln x 在(1,2) 上为增函数,则 a 的值等于( ) A.1 B.2
2
2 2

C.0
2

D. 2
2

10、已知 ? 为抛物线 y ? 4 x 上一个动点, Q 为圆 x ? ? y ? 4 ? ? 1 上一个动点,那么点 ? 到 点 Q 的距离与点 ? 到抛物线的准线距离之和的最小值是( A. 2 5 ?1 B. 2 5 ? 2 ) D. 17 ? 2
-1-

C. 17 ? 1

11、设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,对任意 x ?R 都有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则( A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) 12、已知 F1 , F2 分别为双曲线
2



D. 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任 a 2 b2


PF1 意一点,若 的最小值为 8 a ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( PF2
A. ?1,3? B. 1, 3 ?

?

?

C. ? 3, 3?

?

?

D. ?3, ?? ?

二. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.图中是某工厂 2014 年 9 月份 10 个车间产量的条形图,条形图从左到右表示各车间的产 量依次记为 A (如 A3 表示 3 号车间的产量为 950 件) , 图 2 是统计图 1 中产 1, A 2, A 3 ,??, A n, 量在一定范围内车间个数的一个算法流程图,那么运行该算法流程图输出的结果 是 . 14 、 若 命 题 “ 存 在 x?R , 使 得

2 x2 ?

3a ? x 9?

0

成立”为假命题,则 实数 a 的取值范围 是 . x 15、曲线 y=xe +2x +1 在点(0,1)处的 切 线 方 程 为 ________. 16 、 过 双 曲 线

x2 y 2 F (?c, 0)(c ? 0) 作圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线,切点为 E,延长 ? ? 1( b ? a ? 0) 的左焦点 a 2 b2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 2 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P, O 为坐标原点,若 OE ? (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率 2
为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,最后一题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17 设 p:实数 x 满足 x -5ax+4a <0(其中 a>0) ,q:实数 x 满足 2<x≤5 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?q 是 ?p 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

18、我市某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的 人数,得到如下资料:

-2-

该综合实践研究小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求 线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 至 月份的数据 ,求出 y 关于 x 的线性回 ..2 . .5 . ..... 归方程 . (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得 到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? ( 参 考 数 . . . 据 : ? xi 2 ?112 ? 132 ? 122 ? 82 ? 498 . .
i ?1 4

? ? bx ? a y

?x y
i ?1 i

4

i

) ?11 ? 25 ? 13 ? 29 ? 12 ? 26 ? 8 ? 16 ? 1092 .

1 2 x ? a ln x 2 (1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? ?2 ,求函数 f ( x ) 在 ?1, e? 上的最大值和最小值.
19、已知函数 f ( x ) ?

20、已知椭圆

1 2 2 x2 y 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,离心率 e ? ,且过点 (2 2 , ) , 2 a b 3 3

(1)求椭圆方程; (2) Rt ?ABC 以 A(0, b) 为直角顶点,边 AB, BC 与椭圆交于 B, C 两点,求 ?ABC 面积的最 大值. [Z-xk.Com]

21 如 图 , 已 知 抛 物 线 y ? 2 px? p ? 0 ? 上 点 ?2, a ? 到 焦 点 F 的 距 离 为 3 , 直 线
2

l : my ? x ? t ?t ? 0 ? 交抛物线 C 于 A, B 两点,且满足 OA ? OB 。圆 E 是以

?? p, p ? 为圆心, p 为直径的圆。
(1)求抛物线 C 和圆 E 的方程; (2)设点 M 为圆 E 上的任意一动点,求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直 线方程。

-3-

22、已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( a ? R ). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 在定义域内存在零点,求 a 的取值范围. (3)若 g (x) ? ln(e x ?1) ?ln x ,当 x ? (0, ??) 时,不等式 f ( g ( x)) ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范 围

-4-

高二年级(文创)数学试题答题卡 一.选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题纸上) 题号 答案 二.填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 14. _____________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

座位号

12

15. ______________________16 三.解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)

[Z-xk.Com]

18. (12 分)

[Z-XK]
-5-

19. (12 分)

20. (12 分)

-6-

高二年级(文创)数学试题答题卡 一.选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把答案填写在答题纸上) 题号 答案 二.填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ______________________14. ____ ?2 2 ? a ? 2 2 ____ 15. _________ y=3x+1_____16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1? 5 2

三.解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)当 a=1 时,解得 1<x<4, 即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<4. (2 分) 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是(2,4) .(5 分) (2) ?q 是 ?p 的必要不充分条件即 p 是 q 的必要不充分条件, 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 B ? A,(8 分) 2 2 由 x -5ax+4a <0 得(x-4a) (x-a)<0, ∵a>0,∴A=(a,4a) , 又 B=(2,5], 则 a≤2 且 4a>5,解得 18. (12 分) (1) y ?

5 <a≤2. (10 分) 4

30 ? 18 (2)该小组所得线性回归方程是理想的. x?? ; 7 7

试题分析: (1)先求 x, y ,根据公式求 b, a ,即可得所求线性回归方程. (2)将 x ? 10 和 x ? 6 分别代入回归方程求对应的预报值 y 的值.根据题意验证即可.
1 试题解析:解: (1) x ? (11 ? 13 ? 12 ? 8) ? 11 , 4 1 y ? (25 ? 29 ? 26 ? 16) ? 24 , 4

?x y
i ?1 4 i

4

i

?11 ? 25 ? 13 ? 29 ? 12 ? 26 ? 8 ? 16 ? 1092

?x
i ?1

2

i
n

?112 ? 132 ? 12 2 ? 82 ? 498 .
? nx y ? nx
2

b?

?x y
i ?1 n i

i

?x
i ?1

?

2 i

1092 ? 4 ? 11 ? 24 18 ? 498 ? 4 ? 112 7

a ? y ? bx ? 24 ?

18 30 ?11 ? ? 7 7 30 ? 18 x?? . 7 7

于是得到 y 关于 x 的回归直线方程 y ?

-7-

?? (2)当 x ? 10 时, y

150 150 78 78 ? 22 ? 2 ;同样,当 x ? 6 时, y ? 12 ? 2 . ?? , , 7 7 7 7

19. (12 分) (1)∵a=1, f '( x ) ? x ? ∴ f '(1) ? 2 , f (1) ?

1 , ( x ? 0) x

1 . 2 1 ? 2( x ? 1) 2

∴ f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 y ? 即 4x ? 2 y ? 3 ? 0

(2)由于函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=-2 时, f '( x ) ? x ?

2 ( x ? 2)( x ? 2) , ? x x

令 f′(x)=0,得 x= 2 或 x= ? 2 (舍去) . 当 x∈(1, 2 )时,函数 f(x)单调递减,当 x∈

?

2, e 时,函数 f(x)单调递增,

?

所以 f(x)在 x= 2 处取得最小值,最小值为 f ( 2) ? 1 ? ln 2,

f(1)=

e2 ? 4 1 , f ( e) ? , f ( 2) ? 1 ? ln 2, 2 2



e2 ? 4 1 e2 ? 4 ? ∴f(x)min= f ( 2) ? 1 ? ln 2, f(x)max= f (e) ? 2 2 2
1 2 2 得 a ? 3b , 把 点 ( 2 2 , ) 带 入 椭 圆 方 程 可 得 : 3 3

20 . ( 12 分 ) (1)由 e?
2

1 ( )2 x2 (2 2 ) 3 ? y2 ? 1 ,所以椭圆方程为: ? 2 ?1? b ?1 2 9 9b b
(2)不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ?

1 x ? 1, k

? y ? kx ? 1 ?18k ? 2 2 , 由 ? x2 得: (1 ? 9k ) x ? 18kx ? 0 ? xB ? 2 1 ? 9k 2 ? ? y ?1 ?9
k 用?

18k 1 18k 1 18k , 从而有 AB ? 1 ? k 2 , AC ? 1 ? 2 , 代入,可得 xC ? 2 2 k 9?k 1 ? 9k k 9 ? k2

-8-

1 k? 1 k (1 ? k 2 ) k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 162 。 ? 162 1 2 (1 ? 9k 2 )(9 ? k 2 ) 2 9(k ? 2 ) ? 82 k 1 162t 162 27 令 t ? k ? ? 2 ,有 S ?ABC ? 2 ? ? k 9t ? 64 9t ? 64 8 t 8 27 当且仅当 t= ? 2 , ( S ?ABC ) max ? . 3 8
21. (12 分) 由 题 意 得 2+

p =3 , 得 p=2 , 所 以 抛 物 线 C 和 圆 E 的 方 程 分 别 为 : y 2 ? 4 x ; 2

?x ? 2?2 ? ? y ? 2?2 ? 1 ( 2 ) 设 A?

? y2 ? 4x , 联 立 方 程 整理得 x , y , B x , y ? ? 2 ?2 ? 1 1 my ? x ? t ?

? y1 ? y2 ? 4m , 由 OA ? OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 得 y 2 ? 4my ? 4t ? 0 , 由 韦 达 定 理 得 ? ? y1 y2 ? 4t

?m

2

? 1? y1 y2 ? mt ? y1 ? y2 ? ? t 2 ? 0 ,所以有 t 2 ? 4t ? 0 , t ? 0 ,所以 t ? ?4 ,所以直线

AB 过定点 N(4,0),所以当 MN ? l ,动点 M 经过圆心 E 时到直线 l 的距离 d 取得最大值,由

kMN ?

2?0 1 ? ? ,得 kl ? 3 ,此时直线方程为 y=3(x﹣4),即 3x﹣y﹣12=0 ?2 ? 4 3

x x ? 22. (12 分) (1)由 f ( x) ? e ? ax ? 1 ,则 f ( x) ? e ? a .

f ( x) 当 a ? 0 时,对 ?x ?R ,有 f '( x) ? 0 ,所以函数 在区间 (??, ??) 上单调递增;

当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ;由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a , 此时函数
f ( x)

的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) .
f ( x)

综上所述,当 a ? 0 时,函数 当 a ? 0 时,函数
f ( x)

的单调增区间为 (??, ??) ;

的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) .

(0, ??) (2)函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 的定义域为 ,

由 F ( x) ? 0 ,得

a?

ex ? 1 ? ln x x ( x?0)

ex ? 1 (e x ? 1)( x ? 1) ? ln x ? h( x) ? x x2 令 ( x?0) ,则 h ( x) ? ,
-9-

x 由于 x ? 0 , e ? 1 ? 0 ,可知当 x ? 1, h '( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1时, h '( x) ? 0 ,

故函数 h ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ?? ) 上单调递增,故 h( x) ? h(1) ? e ? 1 .

又由(1)知当 a ? 1时,对 ?x ? 0 ,有 f ( x) ? f (ln a) ? 0 ,即

ex ? 1 ? x ?

ex ? 1 ?1 x ,

x (随着 x ? 0 的增长, y ? e ? 1 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x 的增长速度,而

y ? ln x

的增长速度则会越来越慢.则当 x ? 0 且 x 无限接近于 0 时, h ( x ) 趋向于正无穷大. )

- 10 -

∴当 a ? e ?1 时,函数 F ( x) 有零点; (3)由(2)知,当 x ? 0 时, e x ? 1 ? x ,即 ?x ? 0, g ( x ) ? 0 . 先分析法证明: ?x ? 0, g ( x ) ? x . 要证 ?x ? 0, g ( x ) ? x 只需证明 ?x ? 0,

ex ?1 x ? e 即证 ?x ? 0, xex ? e x ? 1 ? 0 x

设 H(x) ? xex ? e x ? 1( x ? 0) ,则 H ' ( x) ? xex ? 0 所以 H(x) 在 x ? (0,??) 时函数单调递增,所以 H(x) ? H (0) ? 0 ,则

?x ? 0, xex ? e x ? 1 ? 0
当 a ? 1 时,由(1)知,函数 f ( x ) 在 x ? (0,??) 单调递增,则 f ( g ( x)) ? f ( x) 在 x ? (0,??) 恒 成立;

(0, ln a) 当 a ? 1 时, 由 (1) 知, 函数 f ( x ) 在 (ln a,??) 单调递增, 在 单调递减. 故当 0 ? x ? ln a
时 0 ? g ( x) ? x ? ln a ,所以 f ( g ( x )) ? f ( x ) ,则不满足题意,舍去. 综上,满足题意的实数 a 的取值范围为 (- ?, 1].

- 11 -


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