房县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

房县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 某大学数学系共有本科生 1000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4:3:2:1,要用分层抽样的方 法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,则应抽取三年级的学生人数为( A.80 B.40 C.60 D.20 ) )

姓名__________

分数__________

2. 若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列为真命题的是( A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 ?

? ? m, m / / n ,则 ? / / ? C.若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,? ? ? ,则 ? ? ?
3. 某校为了了解 1500 名学生对学校食堂的意见,从中抽取 1 个容量为 50 的样本,采用系统抽样法,则分段 间隔为( A. 10 )1111] B. 15 C. 20 D. 30 )=( )

4. 设函数 f(x)满足 f(x+π)=f(x)+cosx,当 0≤x≤π 时,f(x)=0,则 f( A. B. C.0 D.﹣

5. 数列{an}满足 an+2=2an+1﹣an,且 a2014,a2016 是函数 f(x)= (a2000+a2012+a2018+a2030)的值是( A.2 B.3 C.4 + D.5 )

+6x﹣1 的极值点,则 log2

6. 设 P 是椭圆 A.22

=1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,若|PF1|等于 4,则|PF2|等于( B.21 C.20 D.13



7. 已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3﹣2x2,则 x<0 时,函数 f(x)的表达式为 f (x)=( A.x +2x
3 2

) B.x3﹣2x2 C.﹣x3+2x2 D.﹣x3﹣2x2 )

8. 若 f(x)为定义在区间 G 上的任意两点 x1,x2 和任意实数 λ(0,1),总有 f(λx1+(1﹣λ)x2)≤λf(x1) +(1﹣λ)f(x2),则称这个函数为“上进”函数,下列函数是“上进”函数的个数是( ①f(x)= ,②f(x)= ,③f(x)= ,④f(x)= .

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A.4

B.3

C.2

D.1 ) C.个 ) D.个

9. 集合 ?1, 2,3? 的真子集共有( A.个 B.个

10.若 a>0,b>0,a+b=1,则 y= + 的最小值是( A.2 B.3 C.4 D.5

11.已知函数 f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x<0 时,函数的部分图象如图所示,则不 等式 xf(x)<0 的解集是( )

A.(﹣2,﹣1)∪(1,2)

B.(﹣2,﹣1)∪(0,1)∪(2,+∞)

C.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 12. E、 F 分别是△ ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 设 D、 且 与 ( ) B.同向平行 D.既不平行也不垂直 A.互相垂直 C.反向平行 =2 , =2 , =2 , 则

二、填空题
13.(x﹣ )6 的展开式的常数项是 (应用数字作答).

14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若△ABC 不是直角三角形,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号) ①tanA?tanB?tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC 的最小值为 3 ③tanA,tanB,tanC 中存在两个数互为倒数 ④若 tanA:tanB:tanC=1:2:3,则 A=45° ⑤当 tanB﹣1=
2 时,则 sin C≥sinA?sinB.

15.已知 f ? x ?1? ? 2x ? 8x ?11 ,则函数 f ? x ? 的解析式为_________.
2

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16.对于集合 M,定义函数

对于两个集合 A,B,定义集合 A△ B={x|fA(x)fB(x) .

=﹣1}.已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合 A△ B 的结果为

17.在复平面内,记复数 的复数为 法正确的是 ①直线 l 的倾斜角为 α; . ;

+i 对应的向量为

,若向量

饶坐标原点逆时针旋转 60°得到向量

所对应

18.设所有方程可以写成(x﹣1)sinα﹣(y﹣2)cosα=1(α∈[0,2π])的直线 l 组成的集合记为 L,则下列说

②存在定点 A,使得对任意 l∈L 都有点 A 到直线 l 的距离为定值; ③存在定圆 C,使得对任意 l∈L 都有直线 l 与圆 C 相交; ④任意 l1∈L,必存在唯一 l2∈L,使得 l1∥l2; ⑤任意 l1∈L,必存在唯一 l2∈L,使得 l1⊥l2.

三、解答题
19.在平面直角坐标系 xOy 中.己知直线 l 的参数方程为 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4. (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标系方程; (2)直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求∠AOB 的值. (t 为参数),以坐标原点为极点,

20.(本小题满分 12 分)

?? ? 设 ? ? ? 0 , ? ,满足 6 sin ? ? 2 cos ? ? 3 . 3? ?

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?? ? (1)求 cos ? ? ? ? 的值; 6? ? ? ? ? (2)求 cos ? 2? ? ? 的值. 12 ? ?

21.已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e x ( k ? R ). (1)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)求 f ( x ) 在 x ??1, 2? 上的最小值. (3)设 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ,若对 ?k ? ? , ? 及 ?x ??0,1? 有 g ( x) ? ? 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 2 2

?3 5? ? ?

22. 1) y=﹣1, 已知点 F (0, , 直线 l1: 直线 l1⊥l2 于 P, 连结 PF, 作线段 PF 的垂直平分线交直线 l2 于点 H. 设 点 H 的轨迹为曲线 r. (Ⅰ)求曲线 r 的方程; (Ⅱ)过点 P 作曲线 r 的两条切线,切点分别为 C,D, (ⅰ)求证:直线 CD 过定点; (ⅱ)若 P(1,﹣1),过点 O 作动直线 L 交曲线 R 于点 A,B,直线 CD 交 L 于点 Q,试探究 否为定值?若是,求出该定值;不是,说明理由. + 是

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阿啊阿

23.如图所示,已知

+

=1(a>>0)点 A(1,

)是离心率为

的椭圆 C:上的一点,斜率为

的直

线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ ABD 面积的最大值; (Ⅲ)设直线 AB、AD 的斜率分别为 k1,k2,试问:是否存在实数 λ,使得 k1+λk2=0 成立?若存在,求出 λ 的值;否则说明理由.

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24.已知函数 f(x)=lnx﹣ax﹣b(a,b∈R) (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值 1,求 a,b 的值 (Ⅱ)讨论函数 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性 (Ⅲ)对于函数 f(x)图象上任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),不等式 f′(x0)<k 恒成立, 其中 k 为直线 AB 的斜率,x0=λx1+(1﹣λ)x2,0<λ<1,求 λ 的取值范围.

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房县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本, ∴三年级要抽取的学生是 故选:B. 【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例,本题也可以先做出三年级学 生数和每个个体被抽到的概率,得到结果. 2. 【答案】C 【解析】 试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以 A 不正确;两个平面平行,两 个平面内的直线不一定平行,所以 B 不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平 行,所以 D 不正确;根据面面垂直的判定定理知 C 正确.故选 C. 考点:空间直线、平面间的位置关系. 3. 【答案】 D 【解析】 试题分析:分段间隔为 考点:系统抽样 4. 【答案】D 【解析】解:∵函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+cosx, 当 0≤x<π 时,f(x)=1, ∴f( ( )=f( )+cos )=f( +cos =f( )+cos )+cos =f( +cos )+cos +cos +cos =0+cos =f( ﹣cos )+cos +cos +cos =﹣ . =f ×200=40,

1500 ? 50 ,故选 D. 30

故选:D. 【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法,诱导公式的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性 质的合理运用. 5. 【答案】C 【解析】解:函数 f(x)= +6x﹣1,可得 f′(x)=x2﹣8x+6,

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∵a2014,a2016 是函数 f(x)= 数列{an}中,满足 an+2=2an+1﹣an, 可知{an}为等差数列,

+6x﹣1 的极值点,

2 ∴a2014,a2016 是方程 x ﹣8x+6=0 的两实数根,则 a2014+a2016=8.

∴a2014+a2016=a2000+a2030,即 a2000+a2012+a2018+a2030=16, 从而 log2(a2000+a2012+a2018+a2030)=log216=4. 故选:C. 【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键. 6. 【答案】A 【解析】解:∵P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,|PF1|等于 4,

∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22. 故选:A. 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基础题,解题时要熟练掌握椭圆定义的应用. 7. 【答案】A 【解析】解:设 x<0 时,则﹣x>0,
3 2 3 2 3 2 因为当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x 所以 f(﹣x)=(﹣x) ﹣2(﹣x) =﹣x ﹣2x ,

又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x),
3 2 所以当 x<0 时,函数 f(x)的表达式为 f(x)=x +2x ,故选 A.

8. 【答案】C 【解析】解:由区间 G 上的任意两点 x1,x2 和任意实数 λ(0,1), 总有 f(λx1+(1﹣λ)x2)≤λf(x1)+(1﹣λ)f(x2), 等价为对任意 x∈G,有 f″(x)>0 成立(f″(x)是函数 f(x)导函数的导函数), ①f(x)= ②f(x)= ③f(x)= <0 恒成立, 的导数 f′(x)= 的导数 f′(x)= ,f″(x)= ,f″(x)=﹣ ? ,故在(2,3)上大于 0 恒成立,故①为“上进”函数; <0 恒成立,故②不为“上进”函数; ,f″(x)=

的导数 f′(x)=

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故③不为“上进”函数; ④f(x)= 的导数 f′(x)= ,f″(x)= ,当 x∈(2,3)时,f″(x)>0 恒成立.

故④为“上进”函数. 故选 C. 【点评】本题考查新定义的理解和运用,同时考查导数的运用,以及不等式恒成立问题,属于中档题. 9. 【答案】C 【解析】

考点:真子集的概念. 10.【答案】C 【解析】解:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴y= + =(a+b) ∴y= + 的最小值是 4. 故选:C. 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,属于基础题. 11.【答案】D 【解析】解:根据奇函数的图象关于原点对称,作出函数的图象,如图 则不等式 xf(x)<0 的解为: 或 =2+ =4,当且仅当 a=b= 时取等号.

解得:x∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 故选:D.

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12.【答案】D 【解析】解:如图所示, △ABC 中, =2 , =2 , =2 , 根据定比分点的向量式,得 = = + = , + = , + ,

以上三式相加,得 + 所以, + =﹣ , 与 反向共线.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题,是基础题目.

二、填空题
13.【答案】 ﹣160

6 【解析】解:由于(x﹣ ) 展开式的通项公式为 Tr+1=

?(﹣2)r?x6﹣2r, =﹣160,

6 令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(x﹣ ) 展开式的常数项为﹣8

故答案为:﹣160. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于基础题. 14.【答案】 ①④⑤ 【解析】解:由题意知:A≠ ,B≠ ,C≠ ,且 A+B+C=π

∴tan(A+B)=tan(π ﹣C)=﹣tanC,

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又∵tan(A+B)=



∴tanA+tanB=tan(A+B)(1﹣tanAtanB)=﹣tanC(1﹣tanAtanB)=﹣tanC+tanAtanBtanC, 即 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故①正确; 当 A= ,B=C= 时,tanA+tanB+tanC= <3 ,故②错误;

若 tanA,tanB,tanC 中存在两个数互为倒数,则对应的两个内角互余,则第三个内角为直角,这与已知矛盾, 故③错误;
3 由①,若 tanA:tanB:tanC=1:2:3,则 6tan A=6tanA,则 tanA=1,故 A=45°,故④正确;



tanB﹣1= ,

时,

tanA?tanB=tanA+tanB+tanC,即 tanC=

,C=60°,

2 此时 sin C=

sinA?sinB=sinA?sin =sinA? (120°﹣A) ( cos2A= sin(2A﹣30°) ≤ ,

cosA+

sinA) =

sinAcosA+

sin2A=

sin2A+



2 则 sin C≥sinA?sinB.故⑤正确;

故答案为:①④⑤ 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了和角的正切公式,反证法,诱导公式等知识点,难度中档. 15.【答案】 f ? x ? ? 2x ? 4x ? 5
2

【解析】
2 2 试题分析: 由题意得, 令 t ? x ?1 , 则 x ? t ?1, 则 f ?t ? ? 2(t ?1) ? 8(t ?1) ?11 ? 2t ? 4t ? 5 , 所以函数 f ? x ?

的解析式为 f ? x ? ? 2x ? 4x ? 5 .
2

考点:函数的解析式. 16.【答案】 {1,6,10,12} .

【解析】解:要使 fA(x)fB(x)=﹣1, 必有 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈B 且 x?A} ={6,10}∪{1,12}={1,6,10,12,}, 所以 A△B={1,6,10,12}. 故答案为{1,6,10,12}. 【点评】本题是新定义题,考查了交、并、补集的混合运算,解答的关键是对新定义的理解,是基础题.

17.【答案】 2i .

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【解析】解:向量 (

饶坐标原点逆时针旋转 60°得到向量所对应的复数为 +i)( )=2i

+i)(cos60°+isin60°)=(

,故答案为 2i. 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义,判断旋转 60°得到向量对应的复数为( (cos60°+isin60°),是解题的关键. 18.【答案】 ②③④ 【解析】解:对于①:倾斜角范围与 α 的范围不一致,故①错误; 对于②:(x﹣1)sinα﹣(y﹣2)cosα=1,(α∈[0,2π)),
2 2 可以认为是圆(x﹣1) +(y﹣2) =1 的切线系,故②正确;

+i)

对于③:存在定圆 C,使得任意 l∈L,都有直线 l 与圆 C 相交,
2 2 如圆 C:(x﹣1) +(y﹣2) =100,故③正确;

对于④:任意 l1∈L,必存在唯一 l2∈L,使得 l1∥l2,作图知④正确; 对于⑤:任意意 l1∈L,必存在两条 l2∈L,使得 l1⊥l2,画图知⑤错误. 故答案为:②③④.

【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识 点的合理运用.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵直线 l 的参数方程为 ∴直线 l 的普通方程为
2

(t 为参数),



∵曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4,∴ρ =16,
2 2 ∴曲线 C 的直角坐标系方程为 x +y =16.

(2)⊙C 的圆心 C(0,0)到直线 l:

+y﹣4=0 的距离:

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d= ∴cos ∵0 ∴

=2, , ,∴ . ,

20.【答案】(1) 【解析】

30 ? 2 10 ;(2) . 8 4

?? ? ?? ? ? ?? 6 ? ? 试题分析:(1)由 6 sin ? ? 2 cos ? ? 3 ? sin ? ? ? ? ? ,又 ? ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? , ? 3? 6 ?6 2? 6? 4 ? ?

?? ?? 1 ?? 10 ?? 15 ? ? ? ? ;(2)由(1)可得 cos ? 2? ? ? ? 2 cos2 ? ? ? ? ? 1 ? ? sin ? 2? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 3? 6? 4 6? 4 3? 4 ? ? ? ?

? cos ? ? 2? ?
?

30 ? 2 ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? . ? ? cos ?? 2? ? ? ? ? ? cos ? 2? ? ? cos ? sin ? 2? ? ? sin ? 8 12 ? 3? 4? 3? 4 3? 4 ? ? ??

? ?

?? 6 ? 试题解析:(1)∵ 6 sin ? ? 2 cos ? ? 3 ,∴ sin ? ? ? ? ? ,………………………………3 分 6? 4 ?
?? ? ?? ? ? ?? 10 ? ? ∵ ? ? ? 0 , ? ,∴ ? ? ? ? , ? ,∴ cos ? ? ? ? ? .………………………………6 分 3? 6 ?6 2? 6? 4 ? ?
? 10 ? ?? ?? 1 ? ? (2)由(1)可得 cos ? 2? ? ? ? 2cos 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ? .………………………………8 分 ? ? ? 3? 6? 4 ? ? ? 4 ? ?? ? ?? ?? 15 ? ? ? ? ? ,∴ sin ? 2? ? ? ? ∵ ? ? ? 0 , ? ,∴ 2? ? ? ? , .……………………………………10 分 3? 3 ?3 3? 4 ? ? ?
2

? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ∴ cos ? 2? ? ? ? cos ?? 2? ? ? ? ? ? cos ? 2? ? ? cos ? sin ? 2? ? ? sin 12 ? 3? 4? 3? 4 3? 4 ? ? ? ??
? 30 ? 2 .………………………………………………………………………………12 分 8

考点:三角恒等变换. 21.【答案】(1) f ( x ) 的单调递增区间为 (k ? 1, ??) ,单调递减区间为 (??, k ? 1) ,

f ( x)极小值 ? f (k ?1) ? ?ek ?1 ,无极大值;(2) k ? 2 时 f ( x)最小值 ? f (1) ? (1 ? k )e , 2 ? k ? 3 时 f ( x)最小值 ? f (k ?1) ? ?ek ?1 , k ? 3 时, f ( x)最小值 ? f (2) ? (2 ? k )e2 ;(3) ? ? ?2e .
【解析】

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(2)当 k ? 1 ? 1 ,即 k ? 2 时, f ( x ) 在 ?1, 2? 上递增,∴ f ( x)最小值 ? f (1) ? (1 ? k )e ;
2 当 k ? 1 ? 2 ,即 k ? 3 时, f ( x ) 在 ?1, 2? 上递减,∴ f ( x)最小值 ? f (2) ? (2 ? k )e ;

当 1 ? k ? 1 ? 2 ,即 2 ? k ? 3 时, f ( x ) 在 ?1, k ?1? 上递减,在 ? k ?1, 2? 上递增, ∴ f ( x)最小值 ? f (k ?1) ? ?ek ?1 . (3) g ( x) ? (2 x ? 2k ? 1)e x ,∴ g '( x) ? (2 x ? 2k ? 3)e x , 由 g '( x) ? 0 ,得 x ? k ? 当x?k?

3 , 2

3 时, g '( x) ? 0 ; 2 3 当 x ? k ? 时, g '( x) ? 0 , 2 3 3 ∴ g ( x) 在 (??, k ? ) 上递减,在 (k ? , ??) 递增, 2 2 3 k ? 3 故 g ( x)最小值 ? g (k ? ) ? ?2e 2 , 2 3 k? 3 3 ?3 5? 又∵ k ? ? , ? ,∴ k ? ? ? 0,1? ,∴当 x ??0,1? 时, g ( x)最小值 ? g (k ? ) ? ?2e 2 , 2 2 ?2 2?
∴ g ( x) ? ? 对 ?x ??0,1? 恒成立等价于 g ( x)最小值 ? ?2e 又 g ( x)最小值 ? ?2e ∴ (?2e
k? 3 2

k?

3 2

??;

3 k? 2

?3 5? ? ? 对 ?k ? ? , ? 恒成立. ?2 2?

)min ? k ,故 ? ? ?2e .1

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考点:1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值;2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、 不等式恒成立问题及分类讨论思想 的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有:函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合 思想、建模思想等等,分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想 之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条 件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望 同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题(2)就是根据这种思想讨论函数单调区间的. 22.【答案】 【解析】满分(13 分). 解:(Ⅰ)由题意可知,|HF|=|HP|, ∴点 H 到点 F(0,1)的距离与到直线 l1:y=﹣1 的距离相等,…(2 分) ∴点 H 的轨迹是以点 F(0,1)为焦点,直线 l1:y=﹣1 为准线的抛物线,…(3 分)
2 ∴点 H 的轨迹方程为 x =4y.…(4 分)

(Ⅱ)(ⅰ)证明:设 P(x1,﹣1),切点 C(xC,yC),D(xD,yD). 由 y= ,得 .

∴直线 PC:y+1= xC(x﹣x1),…(5 分) 又 PC 过点 C,yC= ∴yC+1= xC(x﹣x1)= ∴yC+1= 同理 ∴直线 CD 的方程为 ,即 , ,…(7 分) , xCx1, .…(6 分)

∴直线 CD 过定点(0,1).…(8 分) (ⅱ)由(Ⅱ)(ⅰ)P(1,﹣1)在直线 CD 的方程为 得 x1=1,直线 CD 的方程为 设 l:y+1=k(x﹣1), 与方程 联立,求得 xQ= .…(9 分) . ,

设 A(xA,yA),B(xB,yB).
2 联立 y+1=k(x﹣1)与 x =4y,得

x2﹣4kx+4k+4=0,由根与系数的关系,得
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xA+xB=4k.xAxB=4k+4…(10 分) ∵xQ﹣1,xA﹣1,xB﹣1 同号, ∴ = = = = ∴ + , 为定值,定值为 2.…(13 分) …(11 分) + =|PQ|

【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能 力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵
2 2 ∴b =c

,∴a=

c,

∴椭圆方程为 又点 A(1, ∴
2 ∴c =2 ∴a=2,b=

+

=1

)在椭圆上,

=1, , =1 … x+b,D(x1,y1),B(x2,y2), bx+b2﹣4=0

∴椭圆方程为

(Ⅱ)设直线 BD 方程为 y= 与椭圆方程联立,可得 4x +2
2 △=﹣8b +64>0,∴﹣2 2

<b<2

x1+x2=﹣ ∴|BD|=

b,x1x2= = ,

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设 d 为点 A 到直线 y= ∴△ABD 面积 S=

x+b 的距离,∴d= ≤ = … =2﹣ ,k2= = ﹣2

当且仅当 b=±2 时,△ABD 的面积最大,最大值为 (Ⅲ)当直线 BD 过椭圆左顶点(﹣ 此时 k1+k2=0,猜想 λ=1 时成立. 证明如下:k1+k2= + =2 +m ,0)时,k1=

=2

﹣2

=0

当 λ=1,k1+k2=0,故当且仅当 λ=1 时满足条件… 【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用,考查存在性问题的处理方法,椭圆方程的求法,韦达定理的应 用,考查分析问题解决问题的能力. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)的导数为 f′(x)= ﹣a, 由题意可得 f′(1)=0,且 f(1)=1, 即为 1﹣a=0,且﹣a﹣b=1, 解得 a=1.b=﹣2,经检验符合题意. 故 a=1,b=﹣2; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f′(x)= ﹣a,x>1,0< <1, ①若 a≤0,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增; ②0<a<1,x∈(1, ),f′(x)>0,x∈( ,+∞),f′(x)<0; ③a≥1,f′(x)<0.f(x)在(1,+∞)递减. 综上可得,a≤0,f(x)在(1,+∞)递增; 0<a<1,f(x)在(1, )递增,在( ,+∞)递减; a≥1,f(x)在(1,+∞)递减. (Ⅲ)f′(x0)= ﹣a= = < , ﹣a, = ﹣a,

直线 AB 的斜率为 k= f′(x0)<k?

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精选高中模拟试卷

即 x2﹣x1<ln 即为 令 t= ﹣1<ln

[λx1+(1﹣λ)x2], [λ+(1﹣λ) ],

>1,t﹣1<lnt[λ+(1﹣λ)t],

即 t﹣1﹣tlnt+λ(tlnt﹣lnt)<0 恒成立, 令函数 g(t)=t﹣1﹣tlnt+λ(tlnt﹣lnt),t>1, ①当 0<λ 时,g′(t)=﹣lnt+λ(lnt+1﹣ )= ,

令 φ(t)=﹣tlnt+λ(tlnt+t﹣1),t>1, φ′(t)=﹣1﹣lnt+λ(2+lnt)=(λ﹣1)lnt+2λ﹣1, 当 0<λ≤ 时,φ′(t)<0,φ(t)在(1,+∞)递减,则 φ(t)<φ(1)=0, 故当 t>1 时,g′(t)<0, 则 g(t)在(1,+∞)递减,g(t)<g(1)=0 符合题意; ②当 <λ<1 时,φ′(t)=(λ﹣1)lnt+2λ﹣1>0, 解得 1<t< 当 t∈(1, 当 t∈(1, 则有当 t∈(1, 即有 0<λ≤ . 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查函数的单调性的运用,不等式恒成立思想 的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键. , ),φ′(t)>0,φ(t)在(1, ),g′(t)>0,g(t)在(1, ),g(t)>0 不合题意. )递增,φ(t)>φ(1)=0; )递增,g(t)>g(1)=0,

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