高等数学之多元函数积分学30228_图文

第六节

第九章

格林公式、平面曲线积分与

路径无关的条件

一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件

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一、格林公式
1. 单连通域与复连通域
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D

单连通区域

复连通区域

2、格林公式

定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L 围

成,函数P( x, y)及Q( x, y)在 D上具有一阶连

续偏导数, 则有

??
D

( ?Q ?x

?

?P ?y

)dxdy

?

?L

Pdx

?

Qdy

(1)

其中 L是 D的取正向的边界曲线,

公式(1)叫做格林公式.

L1
D
L2

L1
D
L2

L由L1与L2连成 L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区 域 D 总在他的左边.

?D????? ?Q x?? ?P y???dxdy??LPdx?Q dy
格 林 公 式 的 实 质 : 沟 通 了 沿 闭 曲 线 的 积 分 与 二 重 积 分 之 间 的 联 系 .
便于记忆形式:
??
?? ?x ?ydxdy? ?LPdx?Qdy.
DP Q

? 例1. 计算 (x2?2y)dx?(1y2?x2)dy. L 为以

L

3

x? 1 ,y?x和 y?2x为边的三角形的正向闭曲线.

解: 令 P?x2?2y, Q?1y2?x2. 3

y
2
y ? 2x

?P??2, ?Q??2x.

?y

?x

y?x

0

1x

1 2 x

故 ?L? ??(? 2 x? 2 )d x d y? ? 2 ?0d x?x(x? 1 )d y

D

? ? ? ? 21 (x? 1 )y2 xd x? ? 21 (x2? x )d x? 1 .

0

x

0

3

?? 例2. 计算 e?y2 dxdy, 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , D B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .

解: 令P?0, Q?xe?y2, 则 ?Q ? ?P ? e? y2 ?x ?y
利用格林公式 , 有

y

B(0,1)

A(1,1)

D y?x

?? ? e?y2 dxdy ? xe?y2 dy

D

?D

o

x

? ? ? xe?y2 dy? 1ye?y2 dy

OA

0

? 1(1?e?1) 2

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例3 计算?Lxxd2? ?yyy2d,x其中 L为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L , 的方
向为逆时针方向.
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 P?x2??yy2, Q?x2? xy2, 则 当 x2?y2?0时 ,有 ? ?Q x?(x y22? ?yx22)2?? ?P y.

y

(1) 当(0,0)?D时,

L

由格林公式知

?L

xdy? x2 ?

yy2dx?0

D

o

x

(2) 当 (0,0)? D 时 ,

作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2? y 2? r2 , y L

记 D 1 由 L 和 l所 围 成 ,
应 用 格 林 公 式 ,得

l D1

or

x

?Lxx2d? ?y y y2d??x lxx2d? ?y y y2d?x 0 ?Lxxd 2? ?yyy2d?x?lxxd 2? ?yyy2dx

y

L

D1

l

or

x

?? 02?r2co2?sr?2r2si2n?d?
?2?.

(其中l 的方向 取逆时针方向)

(注意格林公式的条件)

计算平面面积
格 林 公 式 :?D (? ? ?Q x ? ? ? P y )dx ? ?L d P? y d Q xdy
取 P??y,Q?x, 得 2??dxd ??yLxd?yydx
D
闭 区 域 D 的 面 积 A ?1 2?Lxd ?yyd . x
例如, 椭圆 L:? ? ?xy? ?a bcsio??ns, 0???2?所围面积
A?12?Lxdy?ydx ?1 2?0 2 ?(acb2 o ?? sasbi2?n )d ???ab

二、平面曲线积分与路径无关的条件

1、曲线积分与路径无关的定义

如果在区域G内有

y

? Pdx?Qdy L1
? ? Pdx?Qdy L2

? L 1

B

G

? L2
A

o

x

则称曲线积分?L Pdx ? Qdy在G 内与路径无关,

否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件

定理2. 设D 是单连通域 , 函数 P (x,y)Q ,(x,y)在D 内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 ?LPdx?Qdy?0.
? (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx?Qdy L 与路径无关, 只与起止点有关.
(3) Pdx?Qdy在 D 内是某一函数 u(x, y)的全微分,
即 d u ( x ,y )? P d x ? Q d y (4) 在 D 内每一点都有 ?P ? ?Q .
?y ?x

说明: 根据定理2 , 若在某区域内 ?P ? ?Q , 则 ?y ?x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;

2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,

若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;

3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:

取定点 (x0,y0)?D及动点 (x,y)?D,则原函数为

(x ,y )
? u (x ,y )? P (x ,y )d x? Q (x ,y )d y y (x 0 ,y 0 )

x

y

?? ?? 或

?

x0 P(x, y0)dx?

Q(x, y)dy
y0

y

x

u(x,y)?y0Q(x0,y)dy?

P(x, y)dx
x0

y0

x0

x

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? 例4. 计算 (3 x 2 y 2? 2 x y )d x ? (2 x 3 y ? x 2 )d y ,其中 A B

A ( 0 ,0 ) ,B ( 1 ,1 ) ,A B 为圆周 (x ? 1 ) 2 ? y 2 ? 1 在第一

象限内的弧段.

y

解: 由于 P ? 3 x 2 y 2? 2 x y ,Q ? 2 x 3 y? x 2 , 1

B (1, 1)

?Q?6x2y?2x??P,

?x

?y

A

C (1, 0 ) 2 x

(0, 0)

因此所给曲线积分与路径无关,由图形可知

? ? ? ? ? ? ? . A B A C B A C C B

因为在 AC 上, y?0,dy?0,

? ? ( 3 x 2 y 2 ? 2 x y ) d x ? ( 2 x 3 y ? x 2 ) d y ? 0 . A B

y
B (1, 1) 1

因为在 CB 上, x?1,dx?0,

A

C (1, 0 ) 2 x

(0, 0)

? ?( 3 x 2 y 2 ? 2 x y )d x ? ( 2 x 3 y ? x 2 )d y A B

? ?1(2y?1)dy?(y2?y)1?2.

0

0

? ?( 3 x 2 y 2 ? 2 x y )d x ? ( 2 x 3 y ? x 2 )d y A B ?0?2?2.

? 例5. 计算 (x2?3y)dx?(y2?x)dy,其中L 为上半 L 圆周 y? 4x?x2从 O (0, 0) 到 A (4, 0).

解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则

? 原式 ? (x 2? 3 y )d x? (y 2? x )d y L ? AO

? ? (x2? 3 y)d x? (y2? x)d y OA

?4??Ddxdy

?

4
?0 x

2

d

x

? 8? ? 64 . 3

y L
D

o

Ax

例6. 验证 xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分, 并求

出这个函数.

证:

设P?xy2, Q?x2y,则

?P?2xy ??Q

?y

?x

由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使

du?xy2dx?x2ydy

? u(x,y)?(x,y)xy2dx?x2ydy (0,0)

? ? ?

x
x? 0 dx

?

y x2y dy


(0,0)

0

0

(x, y)

( x,0)

?? y x2y dy ? 1 x2 y 2

0

2

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内容小结
1. 格林公式 ?LPdx?Qdy ???D?????Q x???P y???dxdy
2. 等价条件 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
? Pdx?Qdy在 D 内与路径无关. L ? 对 D 内任意闭曲线 L 有 Pdx?Qdy?0 L 在 D 内有 ?Q ? ? P ?x ?y
在 D 内有 d u? P d x? Q d y

作业 P156:2;3;5(1).


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