2016高考试题分类汇编:统计与概率 Word版含解析


2016 年高考数学理试题分类汇编 统计与概率
一、选择题 1、(2016 年北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空 盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球 放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 【答案】C 2、(2016 年山东高考)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如 图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是 [17.5,30] ,样本数据分组为
[17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25),[25, 27.5),[27.5,30] .根据直方图,这 200 名学生中每周的自

B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

习时间不少于 22.5 小时的人数是 (A)56 (B)60 (C)120 (D)140

【答案】D 3、(2016 年全国 I 高考)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到 达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概 率是 1 (A) 3 【答案】B 4、(2016 年全国 II 高考)从区间 ?0,1? 随机抽取 2 n 个数 x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn , 构成 n 个数对 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,…, ? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个, 1 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 4

-1-

则用随机模拟的方法得到的圆周率 ? 的近似值为 (A) 【答案】C 5、(2016 年全国 III 高考)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均 最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 C,B 点表 示四月的平均最低气温约为 5 C。下面叙述不正确的是
0 0

4n m

(B)

2n m

(C)

4m n

(D)

2m n

(A) 各月的平均最低气温都在 0 C 以上 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 【答案】D

0

(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (D) 平均气温高于 20 C 的月份有 5 个
0

二、填空题

-1,1] 上 随 机 的 取 一 个 数 k , 则 事 件 “ 直 线 y = kx 与 圆 1 、 ( 2016 年 山 东 高 考 ) 在 [
( x-5)2 + y2 = 9 相交”发生的概率为
【答案】

3 . 4

2、 (2016 年上海高考) 某次体检, 6 位同学的身高 (单位: 米) 分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 则这组数据的中位数是_________(米) 【答案】1.76 3、(2016 年四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说 这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 . 【答案】

3 2

-2-

三、解答题 1、(2016 年北京高考) A、B、C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通 过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时); A班 B班 C班 6 6 3 6.5 7 4.5 7 8 6 7.5 9 7.5 8 10 9 11 10.5 12 12 13.5

(1)试估计 C 班的学生人数; (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记 为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3)再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25 (单位:小时),这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ?1 ,表格中数据的 平均数记为 ?0 ,试判断 ?0 和 ?1 的大小,(结论不要求证明) 解析】⑴
8 ? 100 ? 40 ,C 班学生 40 人 20

⑵在 A 班中取到每个人的概率相同均为

1 5 设 A 班中取到第 i 个人事件为 Ai , i ? 1, 2,3, 4,5

C 班中取到第 j 个人事件为 C j , j ? 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8
A 班中取到 Ai ? C j 的概率为 Pi

所求事件为 D 1 1 1 1 1 则 P( D) ? P P2 ? P3 ? P4 ? P5 1 ? 5 5 5 5 5 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 5 8 5 8 5 8 5 8 3 ? 8 ⑶ ?1 ? ?0 三组平均数分别为 7 , 9 , 8.25 , 总均值 ?0 ? 8.2 但 ?1 中多加的三个数据 7 , 9 , 8.25 , 平均值为 8.08 ,比 ?0 小, 故拉低了平均值

2、(2016 年山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一 个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对,则“星

-3-

队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是

3 ,乙每轮 4

猜对的概率是

2 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.假设“星队” 3

参加两轮活动,求: (Ⅰ) “星队”至少猜对 3 个成语的概率; (Ⅱ) “星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX . 【解析】(Ⅰ) “至少猜对 3 个成语”包括“恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”. 设“至少猜对 3 个成语”为事件 A ; “恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”分别为事件 B, C , 则 P( B) ? C2 ?
1

3 3 2 1 5 1 3 1 2 2 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ; 4 4 3 3 4 4 3 3 12

P(C ) ?

3 3 2 2 1 ? ? ? ? . 4 4 3 3 4 5 1 2 ? ? . 12 4 3

所以 P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ?

(Ⅱ) “星队”两轮得分之和 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,6 于是 P ( X ? 0) ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ; 4 3 4 3 144

1 P( X ? 1) ? C2

1 2 1 1 10 5 1 1 1 3 1 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 4 3 4 3 144 72

P( X ? 2) ?

1 1 2 2 3 3 1 1 25 1 1 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ; 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 144 3 2 1 1 12 1 ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 144 12 3 2 1 2 3 1 60 5 ? ?( ? ? ? ) ? ? ; 4 3 4 3 4 3 144 12

1 P( X ? 3) ? C2

1 P( X ? 4) ? C2

P( X ? 6) ?

3 2 3 2 36 1 ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 144 4

X 的分布列为:

-4-

X

0

1

2

3

4

6

P

1 144

5 72

25 144

1 12

5 12

1 4

X 的数学期望 EX ?

1 5 25 1 5 1 552 23 ? 0 ? ?1 ? ?2 ? ?3? ?4 ? ?6 ? ? . 144 72 144 12 12 4 144 6

3、(2016 年四川高考)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计 划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准 x (吨)、一位居民的月用水 量不超过 x 的部分按平价收费,超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样, 获得了某年 100 位居民每人的月均用水量 (单位: 吨) , 将数据按照[0,0.5), [0.5,1), ?, [4,4.5) 分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(I)求直方图中 a 的值; (II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (III)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x (吨),估计 x 的值,并说 明理由. 【解析】(I)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)*组距 ∴ 0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.4 ? 0.52 ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04 ? 2a ? ? 1 得 a ? 0.3 (II)由图,不低于3吨人数所占百分比为 0.5 ? ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04? =12% ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为: 30 ? 12%=3.6 (万) (III)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为: 0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52? ? 0.73 即 73% 的居民月均用水量小于2.5吨, 同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故 2.5 ? x ? 3 ?85% ? 73% ? ? 0.5 ? 2.9 (吨). 假设月均用水量平均分布,则 x ? 2.5 ? 0.5 ? 0.3

-5-

注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差。 4、(2016 年天津高考)某小组共 10 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. (I)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和 数学期望. 【解析】(Ⅰ)设事件 A :选 2 人参加义工活动,次数之和为 4 C1 C1 ? C2 1 P ? A? ? 3 4 2 3 ? C10 3 (Ⅱ)随机变量 X 可能取值 0,1,2 2 2 C2 ? C3 ? C4 4 P ? X ? 0? ? 3 ? 2 C10 15
P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?
1 1 1 C1 7 3 C3 ? C 3 C 4 ? 2 C10 15 1 C1 4 3 C4 ? 2 C10 15

X P
E?X ? ? 7 8 ? ?1 15 15

0 4 15

1 7 15

2 4 15

5、(2016 年全国 I 高考)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一 易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期 间, 如果备件不足再购买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零 件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状 图:

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概

-6-

率, 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买 的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一, 应选用哪个? 解:⑴ 每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 记事件 Ai 为第一台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ? i ? 1, 2,3, 4 ? 记事件 Bi 为第二台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ? i ? 1, 2,3, 4 ? 由题知 P ? A1 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? P ? B1 ? ? P ? B3 ? ? P ? B4 ? ? 0.2 , P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? 0.4 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ,则 X 的可能的取值为 16,17, 18,19,20,21,22

P ? X ? 16? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

P ? X ? 17 ? ? P ? A1 ? P ? B2 ? ? P ? A2 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.16 P ? X ? 18? ? P ? A1 ? P ? B3 ? ? P ? A2 ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24
?0.2 ? 0.4 ? 0.24

P ? X ? 19? ? P ? A1 ? P ? B4 ? ? P ? A2 ? P ? B3 ? ? P ? A3 ? P ? B2 ? ? P ? A4 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2

P ? x ? 21? ? P ? A3 ? P ? B4 ? ? P ? A4 ? P ? B3 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08
P ? x ? 22? ? P ? A4 ? P ? B4 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

P ? X ? 20? ? P ? A2 ? P ? B4 ? ? P ? A3 ? P ? B3 ? ? P ? A4 ? P ? B2 ? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2

X P

16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

⑵ 要令 P ? x ≤ n ? ≥ 0.5 ,? 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.5 , 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ≥ 0.5 则 n 的最小值为 19 ⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件 不足时额外购买的费用 当 n ? 19 时,费用的期望为 19 ? 200 ? 500 ? 0.2 ? 1000 ? 0.08 ? 1500 ? 0.04 ? 4040 当 n ? 20 时,费用的期望为 20 ? 200 ? 500 ? 0.08 ? 1000 ? 0.04 ? 4080 所以应选用 n ? 19 6、(2016 年全国 II 高考)某险种的基本保费为 a (单位:元),继续购买该险种的投保人称 为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a

?5
2a

-7-

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10

?5
0. 05

(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A ,

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (0.30 ? 0.15) ? 0.55 .

⑵设续保人保费比基本保费高出 60% 为事件 B ,
P( B A) ? P( AB) 0.10 ? 0.05 3 ? ? . P( A) 0.55 11

⑶解:设本年度所交保费为随机变量 X .
X P

0.85a 0.30

a

1.25a 0.20

1.5a
0.20

1.75a 0.10

2a 0.05

0.15

平均保费

EX ? 0.85 ? 0.30 ? 0.15a ? 1.25a ? 0.20 ? 1.5a ? 0.20 ? 1.75a ? 0.10 ? 2a ? 0.05 ? 0.255a ? 0.15a ? 0.25a ? 0.3a ? 0.175a ? 0.1a ? 1.23a ,
∴平均保费与基本保费比值为 1.23 . 7、(2016 年全国 III 高考)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿 吨)的折线图

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化 处理量。

-8-

参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a =y ? bt .

? t )2

【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A ,

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (0.30 ? 0.15) ? 0.55 .

⑵设续保人保费比基本保费高出 60% 为事件 B ,
P( B A) ? P( AB) 0.10 ? 0.05 3 ? ? . P( A) 0.55 11

⑶解:设本年度所交保费为随机变量 X .
X P

0.85a 0.30

a

1.25a 0.20

1.5a
0.20

1.75a 0.10

2a 0.05

0.15

平均保费

EX ? 0.85 ? 0.30 ? 0.15a ? 1.25a ? 0.20 ? 1.5a ? 0.20 ? 1.75a ? 0.10 ? 2a ? 0.05 ? 0.255a ? 0.15a ? 0.25a ? 0.3a ? 0.175a ? 0.1a ? 1.23a ,
∴平均保费与基本保费比值为 1.23 .

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