(答案)2015《二项式定理》与《线性规划》专题复习8K


2015 届高三理科《二项式定理》专题复习 1 、 已知 (1 - 2x)7 = a0 + a1x + a2x2 + … + a7x7 , 那么 a1 + a2 + … + a7 = ________.解析:令 x=0,得 a0=1,再令 x=1,得-1=a0+a1+a2+… +a7,∴ a1+a2+…+a7=-2. 2、在(1-x3)(1+x)10 的展开中,x5 的系数是 207.
2 3、 ? ?x ?

1 解得 r=2,∴含 x15 的项的系数为(-3)2C2 18=17. 7、把( 3i-x)10(i 是虚数单位)按二项式定理展开,展开式的第 8 项的系数 是( ) A.135 解析 B.-135 C.-360 3i D.360 3i

3 7 7 3 7 7 7 ∵T7+1=C7 10( 3i) (-x) =-C103 3i x =C103 3ix .所以展开式

?

2? ? 展开式中的常数项为 x3 ?

5

的第 8 项的系数为 3 3· C7 10i,即 360 3i. 8. ? 3 x ? y ? 展开式的第三项为 10,则 y 关于 x 的函数图像的大致形状为
5



2 5-r 解:二项式展开式通项为 Tr+1=Cr (-1)r2rx-3r=Cr (-1)r· 2r· x10-5r.因 5 (x ) 5· 2 2 为 10-5r=0,所以 r=2,所以常数项为 T3=C5 · 2 =40。

(

)

1 n 4、使(3x- ) (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为 x x 答案 5



解析

2 3 由 T3=C5 ( x)3( y)2=10xy=10,

1 得 y=x且 x>0,故选 D.
1 ? 2 9. 若? ?x ? ? ax ? ?
9

(a∈R)的展开式中 x9 的系数是 ? B.2-cos1 C.cos2-1

21 , 则?asinxdx 的值为( 2 ?
0

)

5、(1 +3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等,则 n = n! n! 5 5 6 6 ;解:由条件得 Cn 3 =Cn 3 ,∴ = × 3,∴3(n 5!n- ! 6!n- !

A.1-cos2

D.1+cos2

1 1 解: 由题意得 Tr+1=Cr (x2)9-r· (-1)r· (ax)r=(-1)r· Cr x18-3r· 令 18-3r=9, 9· 9· ar, 1 21 a |2 得 r=3, 所以-C3 9·3=- a 2 ,解得 a=2.所以? sinxdx=(-cosx) 0=-cos2
?0

-5)=6,n=7.
1 ? ? 15 6、 ? x ? ? 的展开式中含 x 的项的系数为 3 x? ?
18

; 3 ,令 18-2r=15,

+cos0=1-cos2. 10、设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2nx2n,则 a2+a4+…+a2n 的值为( A.3
1 n

1 r 1 18-r 答案 17 解:Tr+1=Cr (- ) =(-3)rCr 18x 18x 3 x

)

B.3 -2

n

3n-1 C. 2

3n+1 D. 2

答案

C 解析 令 x=0,得 a0=1.①

令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…+a2n=1.② 令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+…+a2n=3 .③ ②+③,得 2(a0+a2+a4+…+a2n)=3n+1. 3 +1 故 a0+a2+a4+…+a2n= 2 . 3n-1 再由①得 a2+a4+…+a2n= 2 .
2? 11、 二项式 ? 则展开式 ? x ? 2 ? 的展开式中只有第六项的二项式系数最大, x ? ?
n

15 ∴当 r=2 时,Tr+1 是常数项,此时 T3= 4 .

15 答案: 4

n

14、设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若 a1+a2+…+an=63,则展开式中 系数最大的项是( )

n

A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3
0 1 n 解析:选 B.令 x=1,则(1+1)n=Cn +Cn +…+Cn =64, 3 3 ∴n=6.故(1+x)6 的展开式中最大项为 T4=C3 6x =20x .

2? ? x? ? 15、若二项式 ? x ? 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n 的值可能 ?

n

为( 解析

). A.6

B.10
? ?

C.12

D.15

中常数项是



2 解:因为( x+x2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以 n 2 r r =10,Tr+1=C10 · ( x)10-r· (x2)r=2rC10 · x =180. 12、二项式(x+y)5 的展开式中,含 x2y3 的项的系数是________.(用数字 作答) 解析 二项式展开式的通项为
5-k k Tk+1=Ck y, 5x

n-3r n-3r 2? n-r? ?- ?r=(-2)rCr Tr+1=Cr x ,当 r = 4 时, n ( x) n x 2 2 =0,

又 n∈N*,∴n=12.
a? 16、已知 ? ? x ? ? 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式 ? x?
8

5 ,令 5-2r=0,则 r=2,T3=4C2 10

中各项系数的和是 ( A.28 B.38

). C.1 或 38 D.1 或 28

解:由题意知 C4 (-a)4=1 120,解得 a=± 2,令 x=1,得展开式各项 8· 系数和为(1-a)8=1 或 38. 答案 C
? 2?

3 2 3 令 k=3,则 T4=C5 x y =10x2y3,故应填 10.

1 ? 13、 ? ? x ? ? 的展开式中的常数项是________. 2x ? ?

6

?? 17、若(cosφ+x)5 的展开式中 x3 的系数为 2,则 sin ? ? 2? ? ? =________.
2 解析 由二项式定理得,x3 的系数为 C3 5cos φ=2,

1 1 6 -r 解:二项式( x-2x)6 的展开式的通项公式为 Tr+1=Cr (-2x)r 6 ( x) 1 r 3r =(-2)rC6 x3 - 2 ,
2

π? ? 1 3 ∴cos2φ=5,故 sin?2φ+2?=cos2φ=2cos2φ-1=-5.
? ?

18、 ? x ? y ?? x ? y ? 的展开式中 x2 y 7 的系数为-20.(用数字填写答案)
8

19、设 a ? ?0 sin xdx ,则二项式 (a x ?
5

?

1 x

) 6 的展开式中的常数项等于-160.

平移直线 y ? x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 B 时,直线 ;
y?

2 3

z 3

2 3

z 3

20、 (2009 北京)若 (1 ? 2) ? a ? b 2(a, b 为有理数) ,则 a ? b ? 2015 届高三理科《线性规划》专题复习

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 3 2 z x ? 的截距最大, ( 4 ,) 此时 z 取得最小值, 由? 得? , 即 B3 3 3 ?x ? 3 ?y ? 4

,

代入直线 z=2x-3y 得 z ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?6 . 3、 (2013· 陕西高考文科· T7)若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封 闭区域, 则 2x-y 的最小值为 A. -6 B .-2 ( ) C. 0 D. 2

? x ?1 ? 1 、已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 若 z=2x+y 的最小值为 1, 则 ? y ? a ? x ? 3? ?

a=

; 【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示:

【解题指南】 画出直线围成的封闭区域, 把求 2x-y 最小值转化为求 y=2x-z 所表示直线的截距的最大值,通过平移可求解. 【解析】选 A. y ?| x | 与y ? 2 的图像围成一个三角形区域,3 个顶点的坐标 分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 在封闭区域内平移直线 y=2x,在点(-2,2)时,2x – 当目标函数 z=2x+y 表示的直线经过点 A 时,z 取得最小值,而点 A 的坐标为 (1,-2a),所以 2-2a=1,解得 a=
1 2

y = - 6 取最小值. 4、 ( 2013· 山东 理科) 在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组:

? x ? y ? 1 ? 0, ? 2、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ? x ? 3, ?



?2 x ? y? 2? 0 ? ? 0,所表示的区域上一动点,则直线 OM 斜率的最小值为 ( ? x ? 2 y? 1 ? 3 x ? y? 8? 0 ?



【解析】由 z=2x-3y 得 3y=2x-z,即 y ? x ? 。作出可行域如图,

2 3

z 3

A.2

B.1

C. ?

1 3

D. ?

1 2

【解题指南】本题可先根据题意画出平面区域,然后利用数形结合找出斜 率的最值. 【解析】选 C. 作出可行域如图

3

? ?m ? 1 ? 2m, ? 2 1 解不等式组 ? ?1 ? 2m ? ? m ? 1, 得 m< ? . 3 2 ? 1 ? m ? ? m ? 1, ? ? 2

? x ? 2y ? 1 ? 0 ?x ? 3 由图象可知当 M 位于点 D 处时, OM 的斜率最小.由 ? 得? , ?3x ? y ? 8 ? 0 ? y ? ?1

即 D(3, ?1) ,此时 OM 的斜率为

?1 1 ?? . 3 3

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, 6、若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0,
b ,则 a ? b 的值是(

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 5、设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0) ?y ? m ? 0 ?

) B. 30 C. 24 D. 16

A. 48

满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是(
4? A. ? ? ??, ? ? ? 3? 1? B. ? ? ??, ? 3 ? ? 2? C. ? ? ??, ? ? ? 3?


5? D. ? ? ??, ? ? ? 3?

【解题指南】本题考查的是简单的线性规划问题,求解的关键是正确的作 出可行域,然后求出最大值与最小值. 【解析】选 C,作出可行域如图,

【解题指南】作出平面区域,则区域的边界点中有一个在 x0-2y0=2 的上 方,一个在下方。 【解析】选 C。作出可行域如下图所示: 结合图形可知, 当 y ? x ? z 经过点 A ? 4, 4 ? 时, 当y ? x? z z 取最大值 16, 经过点 B ?8,0 ? 时, z 取最小值为-8,所以 a ? b ? 24 ,故选 C.
? x ? y ? 2, ? 7、若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 1, 则 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 ? y ? 0, ?
1 5 1 5 1 5 1 5

要使可行域存在, 必有 m ? ?2m ? 1 , 要求可行域内包含直线 y ? x ? 1 上的点, 只要边界点 (?m,1 ? 2m) 在直线 y ? x ? 1 上方, 且 (?m, m) 在直线 y ? x ? 1 下方,
1 2 1 2

1 2

(

) A.4 和 3

B.4 和 2

C.3 和 2

D.2 和 0

【解析】选 B.可行域如图所示,
4

9、设 x,y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? 3 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为______. ?? 1 ? x ? y ? 0

【解题指南】 画出 x,y 满足约束条件的可行域,平移目标函数,确定目标函数 取得最大值的位置,求出点的坐标,将该点坐标代入目标函数中. 可行域的三个端点为 ?1,0? , ? 2,0? , ?1,1? ,分别代入可得 zmin=2× 1+0=2,zmax=2× 2+0=4.
? y ? 2x ? 8、若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , 则x ? 2 y的最大值是 ( ? y ? ?1 ?

【解析】画出可行域如图所示,


5 2

A. -

5 2

B. 0

C.

5 3

D.

【解题指南】先作出约束条件对应的可行域,再求出顶点坐标,然后找出 最优解即可。
? y ? 2x ? 【解析】选 C.作出不等式组 ? x ? y ? 1 ,表示的平面区域, ? y ? ?1 ?

当目标函数 z ? 2 x ? y 过点 A(3,3) 时,取得最大值, Z max ? 2 ? 3 ? 3 ? 3
? x ? 0, ? 10、若 x、 y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z ? ? x ? y的最小值为 ?3 x ? y ? 4, ?

.

【解析】画出 x、 y 满足约束条件的可行域,如图

得到如图的△ABC 及其内部,

可知过点 A 时,目标函数取得最小值,联立 ?
( ,) (- ,-1) 其中 A ,B ,C(2,-1).设 z=x+2y,将直线 l:z=x+2y 进行平移,

?x ? 3 y ? 4 ,解得 A(1,1) ,所以 ?3x ? y ? 4

1 2

1 2 3 3

z min ? ?1 ? 1 ? 0 .

当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值,所以 z 最大值= .
5

5 3

? x ? 0, ? 11、记不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域为 D. 若直线 ?3 x ? y ? 4, ?

? x ? 2 y ? 8, ? 13、若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, 则 x+y 的最大值为________ ?0 ? y ? 3, ?

y ? a ? x ?1? 与D有公共点,则a的取值范围是

.

【解题指南】先作出约束条件对应的可行域,求出顶点坐标,然后找出最 优解即可。 【解析】画出可行域如图,

【解析】画出可行域如图所示,

当直线 y ? a( x ? 1) 过点 A (0,4) 时, a 取得最大值为 4 ,当直线 y ? a( x ? 1) 过点
1 1 (1,1) 时, a 取得最小值为 .所以 a 的取值范围为 [ ,4] . 2 2

由?

? x ? 2 y ? 8, 得 A(4,2),目标函数 z=x+y 可看成斜率为-1 的动直线,其纵截距 ? x ? 4,

? x ? y ? 2≥0, ? 12、设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 4≥0, ,若 z 的最大值为 12,则实数 ? 2 x ? y ? 4≤0, ?

越大 z 越大,数形结合可得当动直线过点 A 时,z 最大=4+2=6. 14、若非负数变量 x、y 满足约束条件 ? í
ì x-y ? 1, 则 x+y 的最大值为_____ ? ? x + 2 y 4,

k=

.

【解题指南】 作出可行域,求出最优点,得出最大值。 【解析】不等式组表示的可行域如图所示,
ì 2 x = ? ì x- y =-1 2 5 镲 3 ? 【解析】由 眄 ,即点 A ,同理可得点 B(4,0) ,可行 ( ,) 5 镲 3 3 ? x +2y = 4 ?y= 3 ?

域如图阴影所示, 由 z=kx+y 可得 y=-kx+z,知其在 y 轴上的截距最大时,z 最大,由图知当 ? k< 且直线过点 A(4,4)时,z 取最大值 12,即 4k+4=12,所以 k=2.
6

1 2

A.

B.

C.

D.

[解析]不等式表示的区域如图所示的三角形 一点与原点连线的斜率,又 由图可知当直 线 x + y = k 经过(4,0)时得所求的最大值是 4.
? x ? 0, 15、 设 D 为不等式组 ? 表示的平面区域, 区域 D 上的点与点 (1, ?2 x ? y ? 0 , ?x ? y ? 3 ? 0 ?

,而 表示是 ,所以

内的 ,即



.

0)之间的距离的最小值为___________. 【解题】作出可行域 D,然后可以看出点(1,0)到 D 的距离的最小值为 点(1,0)到直线 2x-y=0 的距离。 【解析】作出可行域 D, 17、目标函数 z=4x+y,将其看成直线方程时,z 的几何意义是( A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线的横截距 D.该直线的纵截距的相反数 解析:把 z=4x+y 变形为 y=-4x+z,则此方程为直线方程的斜截 点(1,0)到区域 D 上点的最小距离即是点(1,0)到直线 2x-y=0 的距 离, d ?
| 2 ?1 ? 0 | 22 ? 12 ? 2 5 。 5

)

式,所以 z 为该直线的纵截距.故选 B. x-y≤10, ? ? 18、设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, ? ?0≤y≤15,

则 2x+3y 的最大值为(

)

16、设实数

满足

,则

的取值范围是(

)
7

A.20

B.35

C.45

D.55

解析:根据题意画出不等式组表示的平面区域,然后求值.

y 倾斜角为 90° ,因此x的范围为(1,+∞). 20、某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金 不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那 不等式组表示的区域如图所示, 所以过点 A(5,15)时 2x+3y 的值最大, 此时 2x+3y=55. 19、若实数 x,y 满足
? ?x-y+1≤0, y ? 则x的取值范围是( ?x>0, ?

么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( A.50,0 B.30,20 C.20,30

)

D.0,50

解析:设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩,则由题意可知 ) D.[1,+∞) x+y≤50, ? ? ?1.2x+0.9y≤54, ?x,y∈N , ?


求目标函数 z=x+0.9y 的最大值,根据题意画可

A.(0,1)

B.(0,1]

C.(1,+∞)

?x-y+1≤0, 解析:? 所表示的可行域如下图. ?x>0

行域如图阴影所示.

y 而x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,过点 O 与直线 AB 平行的直线 l 的斜率为 1,l 绕点 O 逆时针转动必与 AB 相交,直线 OB 的

当目标函数线 l 向右平移,移至点 A(30,20)处时,目标函数取得最大 值,即当黄瓜种植 30 亩,韭菜种植 20 亩时,种植总利润最大. 答案:B
8

2015 届高三理科《平面向量》专题复习 1、已知向量 |a|=1, |b|= 2 ,且 b ? (2a ? b) ? 1,则向量 a, b 的夹角的余弦值为_ ___. 【答案】 ?
2 4

试题分析:∵ b ? (2a ? b) ? 1, ∴ a ? b ? ? 1 , 则 cos?a,b? ?
2

a ?b 2 ?? . a b 4

2、 平面向量 a 与 b 的夹角为 60? ,a ? ?2,0? ,b ? 1 , 则 a ? 2b ? 【答案】 2 3

5、若向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 ,则 。
2a ? b ?

? 3

.

【答案】 2 3 试题分析: a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 4 ? 4 ? 2 ?1? ? 4 ? 2 3 . 3、已知向量 a 、 b 满足 a ? 1 , b ? 3 ,且 ? 3a ? 2b ? ? a ,则 a 与 b 的夹角 为 .
2 2

1 2

? ?4 ? 1 ? 2 ?c o ? s? ? 4 ? ?4? 4 ? 1 , 2 试 题 分 析 : 因 为 2a ? b ? 4 3

2

?

1 2

4

1 2

? 2a ? b ? 2 3 .

6、已知向量 a , b 满足 a ? 2b ? ? 2, ?4? , 3a ? b ? ? ?8,16? ,则向量 a , b 的夹角 的大小为 .

4、向量

在向量

方向上的投影为



7、已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1, k ? ,若 a ? b ,则实数 k ? ______;
9

11、已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 ,则 a ? b 等于 3 ; 12、设向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (3sin ? ,1) ,且 a // b ,则 cos 2? 等于 ;

? 3

试 题 分 析 : 因 为 向 量 a ? (1,sin ? ) , b ? (3sin ? ,1) , 且 a // b , 所 以
? ? 1 ? 2 3? ? ? 3 1? ?,b ? ? ,? ? ,则下列关系正确的是( ) ? 2 2 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. a ? a ? b C. a ? b ? a ? b D. a ? b
1? 1 ? s ? i n? 3? s i?n
2

? 0, ? s所以, in cos, 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ?

8、已知向量 a ? ? ?? , A. ?a ? b ? ? b
? ? ?

1 3

1 . 3

13、设向量 a,b 是非零向量,则“a ? b= 0 ”是“a∥b”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件

A



?

?

?

? ?

?

D.既不充分也不必要条件

14、已知平面向量 a ? ? 2, ?1? ,b ? ?1,1? , c ? ? ?5,1? . 若 ? a ? kb ? // c ,则实数 k 的 值为( B )
11 11 D. ? 4 4 15、已知平面向量 a , b 满足 a ? b ? 2 ,(a + 2b) ? (a ? b) = ?2 ,则 a 与 b 的夹角

A. 2

B.

1 2

C.

9、已知向量 a ? ?3,?2?, b ? ?x, y ? 1?,且 a // b ,若 x, y 均为正数,则 ? 的最小值是 ( )A.
5 3 8 B. 3

3 x

2 y





试题分析:设向量 a, b 的夹角为 ? , 则 ? a ? 2b ? ? ? a ? b ? ? a ? a ? b ? 2b ? 4 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 8 ? ?2 , 解得 cos ? ? , 故? ? .
2 2

C. 8

D.24

1 2

? 3

16、设向量 a ? (sin ? ,

1 2 3 ,则 cos 2? ? ; ) 的模为 2 2 2

17、已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m), 若 a / /(a ? b) ,则 m=( C ) A. ? 2 10、已知 a ? b ? a ? 2b ? 1,则 2a ? b ?
2

B.2

C. ?3

D.3
? ?


2

3π? ? 18、 已知向量 a=(sin θ, 1+cos θ), b=(1, 1-cos θ), 其中 θ∈?π, 2 ?, 则一定有 ( B A.a∥b
10

试 题 分 析 : 由 已 知 得 , a ? 4a ? b ? 4b ? 1 , 故 a ? b ? 1 ,
2a ? b ? 4a ? 4a ? b ? b ? 9 ? 3 .
2 2

) B.a⊥b C.a 与 b 的夹角为 45° D.|a|=|b|


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