[精品]新人教A版选修1-1高中数学拔高习题(十)2.1.2椭圆的简单几何性质第1椭圆的简单几何性质和答案

温馨提示: 课时提升作业(十) 椭圆的简单几何性质 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知 F1, F2 为椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点, 过 F2 作椭圆的弦 AB, 若△AF1B 的周长为 16,椭圆离心率 e= A. + =1 C. + =1 ,则椭圆的方程是 ( ) 60 分) B. + =1 D. + =1 【解析】选 B.由题意知 4a=16,即 a=4, 又因为 e= ,所以 c=2 , 所以 b2=a2-c2=16-12=4, 所以椭圆的标准方程为 + =1. 2.(2015·西安高二检测)两个正数 1,9 的等差中项是 a,等比中项 是 b 且 b>0,则曲线 + =1 的离心率为 ( A. B. =5,b= C. =3, ) D. 【解析】选 A.因为 a= 所以 e= = . 3.(2015·怀化高二检测)过椭圆 + =1 的中心任作一直线交椭圆于 P,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则△PQF 周长的最小值是 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 【解析】选 C.如图设 F 为椭圆的左焦点,右焦点为 F2,根据椭圆的 对 称 性 可 知 |FQ|=|PF2| , |OP|=|OQ| , 所 以 △ PQF 的 周 长 为 |PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|, 易知 2|OP| 的最小值为椭圆的短轴长,即点 P,Q 为椭圆的上下顶点时,△PQF 的周长取得最小值 10+2×4=18,故选 C. 4.设 F1, F2 是椭圆 E: + =1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点, △F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为 ( A. B. C. D. ) 【解析】选 C.如图, △F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形? |PF2|=|F2F1|=2 =2c? e= = . 5.过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ,故 ( ) 【解析】选 B. 将 x=-c 代入椭圆方程可解得点 P |PF1|= ,又在 Rt△F1PF2 中∠F1PF2=60°, 所以|PF2|= 从而可得 e= = ,根据椭圆定义得 . =2a, 【一题多解】选 B.设 |F1F2|=2c ,则在 Rt△ F1PF2 中, |PF1|= |PF2|= c. c=2a,离心率 e= = . c, 所以|PF1|+|PF2|=2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为__________. 【解析】当焦点在 x 轴上时,a2=5,b2=m, 所以 c2=a2-b2=5-m. 又因为 e= ,所以 = ,解得 m=3. 当焦点在 y 轴上时,a2=m,b2=5, 所以 c2=a2-b2=m-5. 又因为 e= ,所以 = ,解得 m= . 故 m=3 或 m= . 答案:3 或 【误区警示】认真审题,防止丢解 在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时, 一定要注意椭圆的位置是 否确定,若没有确定,则应该有两解. 7.已知椭圆的短半轴长为 1, 离心率 0<e≤ __________. 【解析】因为 b=1,所以 c2=a2-1, 又 = =1- ≤ , .则长轴长的取值范围为 所以 ≥ ,所以 a2≤4, 又因为 a2-1>0,所以 a2>1, 所以 1<a≤2,故长轴长 2<2a≤4. 答案:(2,4] 8.(2015·嘉兴高二检测)已知椭圆 + =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,点 P 为该椭圆上一动点,则当 的取值为__________. 【解析】由已知得 a=2,b= ,c=1, · 取最小值时| + | 所以 F2(1,0),A1(-2,0),设 P(x,y), 则 · =(1-x,-y)·(-2-x,-y) =(1-x)(-2-x)+y2. 又点 P(x,y)在椭圆上,所以 y2=3- x2,代入上式, 得 · = x2+x+1= (x+2)2. 又 x∈, 所以当 x=-2 时, · 取得最小值. 所以 P(-2,0),求得| 答案:3 + |=3. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆过(3,0),离心率 e= . (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 8. 【解析】(1)若焦点在 x 轴上,则 a=3, 因为 e= = 所以 c= , ,所以 b2=a2-c2=9-6=3. 所以椭圆的标准方程为 + =1. 若焦点在 y 轴上,则 b=3, 因为 e= = = = ,解得 a2=27. 所以椭圆的标准方程为 + =1. 综上可知,所求椭圆标准方程为 + =1 或 + =1. (2)设椭圆方程为 + =1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, 所以 c=b=4,所以 a2=b2+c2=32, 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 10.设 P 是椭圆 + =1(a>b>0)上的一点,F1,F2 是其左、右焦点.已 知 ∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取值范围. 【解题指南】利用椭圆的定义得到 a,b,c 的不等式,再化为离心率 求范围. 【解析】根据椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,① 在△F1PF2 中,由余弦定理得 cos 60°= = , 即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.② ①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③ 由②③得|PF

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