高考论坛新课标数学理一轮教师备课课件3.7正弦定理和余弦定理

抓 住 2 个 基 础 知 识 点 挖 掘 1 大 技 法 第七节 正弦定理和余弦定理 课 堂 限 时 检 测 掌 握 3 个 核 心 考 向 [考情展望] 1.利用正、余弦定理实现边、角的转化,从而解 三角形或判断三角形的形状.2.利用正、 余弦定理求三角形(或多边 形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合,考查学生 灵活运用知识的能力. 一、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 余弦定理 b2+c2-2bc·cos A , a2=__________________ a b c = = sin A sin B sin C =2R ______________________ c2+a2-2ca·cos B b2=__________________ , a2+b2-2ab· cos C c2=__________________ . 变形 形式 2Rsin A 2Rsin B ①a=__________,b=__________, 2Rsin C c=__________ ; sin A∶sin B∶sin C ②a∶b∶c=_____________________ ; a+b+c a ③ = . sin A+sin B+sin C sin A b2+c2-a2 cos A=______________ ; 2bc 2 2 2 c +a -b cos B=______________ ; 2ca 2 2 2 a +b -c cos C=_______________. 2ab ①已知两角和任一边,求另 ①已知三边,求各角; 解决 一角和其他两条边; ②已知两边和它们的夹 问题 ②已知两边和其中一边的对 角,求第三边和其他两 角,求另一边和其他两角. 个角. 在△ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或 直角 图形 bsin A<a< b 两解 关系式 解的个 数 a=bsin A 一解 a≥b 一解 a>b 一解 由上表可知,当 A 为锐角时,a<bsin A,无解.当 A 为钝 角或直角时,a≤b,无解. 二、三角形常用面积公式 1 1.S= a· h (h 表示边 a 上的高); 2 a a 1 1 1 1 bcsin A acsin B = __________ 2 2.S= absin C=_________ . 2 2 2 1 3.S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2 三角形中的常用结论 A+B π C (1)A+B=π-C, = - . 2 2 2 (2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)在△ABC 中, tan A+tan B+tan C=tan A· tan B· tan C(A、 π B、C≠ ). 2 1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=( 6 A. 3 【解析】 2 2 B. 3 6 C.- 3 2 2 D.- 3 ) b· sin A 3 由正弦定理,得 sin B= a = . 3 ∵a>b,A=60° , ∴B<60° ,cos B= 1-sin2B= 6 . 3 【答案】 A 2.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形 有( ) A.无解 C.一解 【解析】 B.两解 D.解的个数不确定 ∵bsin A=24sin 45° =12 2<18, ∴bsin A<a<b, 故此三角形有两解. 【答案】 B 3.已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c. 若 a=c= 6+ 2,且 A=75° ,则 b=( A. 2 C.4-2 3 ) B.4+2 3 D. 6- 2 【解析】 在△ABC中,易知B=30°, 由余弦定理b2=a2+c2-2accos 30°=4.∴b=2. 【答案】 A 4.△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面 积为________. 【解析】 120° , 即 49=25+BC2+5BC,解得 BC=3. 1 1 3 15 3 故 S△ABC= AB· BCsin 120° = ×5×3× = . 2 2 2 4 由 余 弦 定 理 知 AC2 = AB2 + BC2 - 2AB· BCcos 【答案】 15 3 4 5.(2013· 湖南高考)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长 分别为 a,b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于( π A. 12 π C. 4 π B. 6 π D. 3 ) 【解析】 在△ABC 中, a=2Rsin A, b=2Rsin B(R 为△ABC 的外接圆半径). ∵2asin B= 3b,∴2sin Asin B= 3sin B. 3 π ∴sin A= .又△ABC 为锐角三角形,∴A= . 2 3 【答案】 D 6.(2013· 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别 为 a, b, c, 若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定 ) 【解析】 ∵bcos C+ccos B b2+a2-c2 c2+a2-b2 =b· +c· 2ab 2ac b2+a2-c2+c2+a2-b2 = 2a 2a2 = =a=asin A,∴sin A=1. 2a π ∵A∈(0,π),∴A= ,即△ABC 是直角三角形. 2 【答案】 B 考向一 [065] 利用正、余弦定理解三角形 (2014· 临沂模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin

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