广东省东莞市2015届高三数学文小综合专题练习:不等式与应用题


2015 届高三文科数学小综合专题练习——不等式与应用题
资料提供:常平中学老师
一、选择题 1.不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集是( A. ( ? ) D. ( ??, ? ) ? (1, ??)

1 ,1) 2

B (1, ??)

C. (??,1) ? (2, ??)

1 2

2.已知集合 M ? {x 1 ? x ? 0},N ? {x A. {x ?1≤ x ? 1} B. {x x ? 1}

1 ? 0} ,则 M 1? x

N ?(



C. {x ?1 ? x ? 1} D. {x x ≥ ?1}

?x ? 2 y ? 5 ? 3.若变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 3 ,则 z ? x ? y 的取值范围是 ?y ? 4 ?
A. [4 , 7] B. [?1 , 7]
) B. y ?

C. [ , 7 ]

5 2

D. [1 , 7]

4.函数中最小值为 2 的是( A. y ? x ?

1 ( x ? 0) x

x2 ? 2 x2 ?1

C. y ? loga x ?

1 ( x ? 0, x ? 1, a ? 0, a ? 1) loga x

D. y ? 3 x ? 3? x ( x ? 0) )

5.设 a, b ? R ,若 a ? | b |? 0 ,则下列不等式中正确的是( A、 b ? a ? 0 B、 a ? b ? 0
3 3

C、 a ? b ? 0
2 2

D、 b ? a ? 0

? x ? y ? 4 ? 0, ? 6. 若直线 y ? 3x 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 8 ? 0, 则实数 m 的取值范围是 ? x ? m, ?
A.

??1, ???
C.

B.

? ?1, ???
D.

? ??, ?1?

? ??, ?1?
x 8

7.某车间分批生产某种产品, 每批的生产准备费用为 800 元, 若每批生产 x 件, 则平均仓储时间为

天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小, 每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 “a ? b” “sin A ? sin B” 8. 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、C 所对应的变分别为 a 、b 、c , 则 是 的 ( )

A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 c ? 0 9.设 a>b>1, ,给出下列三个结论:c@om] ①

D.非充分非必要条件

c c > a b

;② a < b

c

c

; ③ logb (a ? c) ? loga (b ? c) ,

其中所有的正确结论的序号是 __ .[中*国教育@^出~版网#] A.① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 10.广东省第 14 届运动会 2015 年 8 月 2 日在广东湛江举行,运动会火炬预计传递在 A,B,C,D,E 五个城市之间进行,各城市之间的路线距离(单位:百公里)见右表。若以 A 为起点,E 为终点, 每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是 ( A.20.6 二、填空题 11.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从 中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随 机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号, 6~10 号, ,196~200 号)。若第 5 组抽出的号码为 22, D 则第 8 组抽出的号码应是 法,则 40 岁以下年龄段应抽取 。若用分层抽样方 E 人。 .6 6 2 8 5 0 5 6 9 0 5 B.21 C.22 D.23 A A B C 0 5 4 B 5 0 7 C 4 7 0 D 5 6 9 .6 E 6 2 8 )

12.东莞市某居民 2011~2014 年家庭年平均收入 x(单位:万元)与年平均支出 Y(单位:万元)的 统计资料如下表所示: 年份 收入 2011 2012 2013 2014

x
支出

3

4

5

6

Y

2.5

3

4

4.5

根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是

,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求

?, 出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? 0.7 x ? a 预计该家庭 2015 年的平均收入为 7 万元, 预计该家庭 2015
年收支盈余为 万元。

13.已知 x, y ? R ? ,且满足

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

.

14.若点 P (m,3) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2 x ? y <3 表示的平面区域内, 则 m? 15.若不等式 ax
2



? 1 1? ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x ? ? x ? ? 则, a ? 3? ? 2

b?

? ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 16.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为 [0 , (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为
三、解答题 17. 东莞某初中 100 名学生期末考试数学成绩频
频率



率分布直方图,如图所示,其中成绩分组区间是:

组距

[50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] .
(1)求图中 a 的值; (2) 根据频率分布直方图, 估计 100 名学生数学成 绩的众数、中位数及平均数; (3)若分数段在 [90,100]中,男女学生的人数比

0.04 0.03 0.02

a
50 60 70 80 90 100 成绩

例为 3 : 2 ,学校决定从该分数段中选送两名学生参加东莞市初中奥利匹克竞赛,求男女同学各有 1 名代表学校参加竞赛的概率?

18.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米 的楼房.经测算, 如果将楼房建为 x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为 560 ? 48 x(单位: 元) . 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?

19.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白 质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花

费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?学 20.如图,有一正方形钢板 ABCD 缺损一角(图中的 部分), 边缘线 OC 是以直线 AD 为对称轴, 以线段 AD 的 D C E O F 阴影 中点 割下 为 2 最 B

O 为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切
来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长 米,问如何画切割线 EF ,可使剩余的直角梯形的面积 大?并求其最大值. A

21.已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x ln x 。 x ?1

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

22.设数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 S n . (1)已知 a1 ? 1 , d ? 2 ,

Sn ? 64 的最小值; n 2 3 n ?1 5 ? ? ? ? (ⅱ)当 n ? N? 时,求证: ; S1 S3 S2 S4 Sn Sn ? 2 16
(ⅰ)求当 n ? N? 时, (2)是否存在实数 a1 ,使得对任意正整数 n ,关于 m 的不等式 am ? n 的最小正整数解为 3n ? 2 ? 若存在,则求 a1 的取值范围;若不存在,则说明理由.

2015 届高三文科数学小综合专题练习 不等式与应用题参考答案
一、选择题 1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.D 10. A

二、填空题 11.35 20 12. 4.5

1.75

13.3

14.-3

15. a ? ? 12 b ? ? 2

16.9

四、解答题 17. 【解析】(1)由频率分布直方图中各个矩形的面积 之和等于 1, ∴

频率 组距

(a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04 ? a) ?10 ? 1
a?0 . .0 0 5





0.04 0.03 0.02

) [60,70) , [70,80) , ( 2 ) ∵ 在 区 间 [ 5 0, 6 0, [80,90) , [90,100]

a
50 60 70 80 90 100 成绩

的概率分别为 0.05 , 0.4 , 0.3 , 0.2 , 0.05 . ∴这 100 名学生语文成绩的平均分为 ∴ 55 ? 0.05 ? 65 ? 0.04 ? 75 ? 0.03 ? 85 ? 0.02 ? 95 ? 0.05 ? 75 . (3)略 18.【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ?
f ? ? x ? ? 48 ? 10800 , x2

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ? x ? 10, x ? Z ? ? 2000 x x
令 f ? ? x? ? 0 得

x ? 15

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 19.资解:设为该儿童预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,总花费为 z 元,由题意得 目标函数为 z ? 2.5x ? 4 y .

?12 x ? 8 y ? 64, ?3x ? 2 y ? 16, ?6 x ? 6 y ? 42, ? x ? y ? 7, ? ? 二元一次不等式组等价于 ? ?? ?6 x ? 10 y ? 54, ?3x ? 5 y ? 27, ? ? ?x ? N , y ? N. ?x ? N , y ? N.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图:作直线 l : 2.5x ? 4 y ? 0 ,即 5x ? 8 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 7, 解得 x ? 4,y ? 3 . ?3x ? 5 y ? 27.

∴点 M 的坐标为 (4, 3) . ∴ zmin ? 2.5 ? 4 ? 4 ? 3 ? 22 (元) 答:满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐和 3 个单位 的晚餐.

20.解法一:以 O 为原点,直线 AD 为 y 轴, 建立如图所示的直角坐标系,依题意 可 设 抛 物 线 弧 OC 的 方 程 为 O F ∵点 C 的坐标为 (2,1) ,
2 ∴ 2 a ? 1, a ?

D

C E

y ? a2 ( x 0 ?

x ?2 )

1 4

A

B

故边缘线 OC 的方程为 y ?

1 2 x (0 ? x ? 2) . ……4 分 4

要使梯形 ABEF 的面积最大,则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切,设切点坐标为

1 P (t , t 2 )(0 ? t ? 2) , 4 1 ∵ y? ? x , 2 1 2 1 1 1 t ? t ( x ? t ) ,即 y ? tx ? t 2 ,…………6 分 4 2 2 4 1 2 1 2 由此可求得 E (2, t ? t ) , F (0, ? t ) . 4 4 1 2 1 2 1 2 1 2 ∴ | AF |?| ? t ? (?1) |? 1 ? t , | BE |?| (t ? t ) ? (?1) |? ? t ? t ? 1 ,…8 分 4 4 4 4
∴直线 EF 的的方程可表示为 y ?

设梯形 ABEF 的面积为 S (t ) ,则

1 1 1 1 | AB | ??| AF | ? | BE |? ? (1 ? t 2 ) ? (? t 2 ? t ? 1) ? ? t 2 ? t ? 2 2 2 4 4 1 5 5 ? ? (t ? 1) 2 ? ? . ……………………………………………………………10 分 2 2 2 5 ∴当 t ? 1 时, S (t ) ? . , 2

S (t ) ?

故 S (t ) 的最大值为 2.5 .

此时 | AF |? 0.75,| BE | ?1.75 .………11 分

答 : 当 AF ? 0.75 m, BE? 1.75 时 m,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为

2.5 m2 .

………………………………………………………………………12 分 图所示的直

解法二:以 A 为原点,直线 AD 为 y 轴,建立如 角 坐 标 系 , 依 题 意 可 设 抛 物 线 弧 OC 的 方 程 为
2 y ? ax ?1( 0 ? x ? 2 )

∵点 C 的坐标为 (2, 2) ,
2 ∴ 2 a ?1 ? 2 , a ?

1 4

故边缘线 OC 的方程 为y?

1 2 x ? 1(0 ? x ? 2) . ………4 分 4

要使梯形 ABEF 的面积最大,则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切,设切点坐标为

1 P(t , t 2 ? 1)(0 ? t ? 2) , 4 1 ∵ y? ? x , 2 1 2 1 1 1 t ? 1 ? t ( x ? t ) ,即 y ? tx ? t 2 ? 1 ,…6 分 4 2 2 4 1 2 1 2 由此可求得 E (2, t ? t ? 1) , F (0, ? t ? 1) . 4 4 1 2 1 2 ∴ | AF |? 1 ? t , | BE |? ? t ? t ? 1 ,……………7 分 4 4
∴直线 EF 的的方程可表示为 y ? 设梯形 ABEF 的面积为 S (t ) ,则

1 1 1 1 | AB | ??| AF | ? | BE |? ? (1 ? t 2 ) ? (? t 2 ? t ? 1) ? ? t 2 ? t ? 2 [ 2 2 4 4 1 5 5 ? ? (t ? 1) 2 ? ? . ……………………………………………………………10 分 2 2 2

S (t ) ?

∴当 t ? 1 时, S (t ) ?

5 ., 2
此时 | AF |? 0.75,| BE | ?1.75 .………11 分

故 S (t ) 的最大值为 2.5 .

答 : 当 AF ? 0.75 m, BE? 1.75 时 m,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最 大值为
2 . 2.5 m

………………………………………………………………………12 分

21.解析:(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2
?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)= 解得 a ? 1 , b ? 1 。

ln x 1 ? , 所以 x ?1 x

ln x 1 ? ? 2 ln x ? f ( x) ? ? x ? 1 1 ? x2 ? ?
考虑函数

x

2

?1? ? x ? ?
2

2 2 ? x ?1 则 h′(x)= ? x ?? 2 x x
x ? ?0,1? 时 h(x)>0 可得 f ( x ) ?

2

?

2

? ?x?1?
x
2

所以 x≠1 时 h′(x)<0 而 h(1)=0 故

ln x x ?1 ln x x ? ?1 , ? ?? h(x)<0 可得 f ( x ) ? x ?1 ln x 从而当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 。 x ?1
22.(1) (ⅰ) 解:

a1 ? 1, d ? 2,
S ? 64 n(n ? 1)d 64 64 ? n2 , n ? n? ? 2 n? ? 16, 2 n n n
64 , 即 n ? 8 时,上式取等号. n

? Sn ? na1 ?
当且仅当 n ?



S n ? 64 的最大值是 16. ……………………………………………………4 分 n

(ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知 Sn ? n2 , 当 n ? N 时,
?

n ?1 n ?1 1? 1 1 ? ,……6 分 ? 2 ? ? 2? 2 Sn Sn? 2 n (n ? 2) 4 ? n (n ? 2)2 ? ? n ?1 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ?? Sn Sn?2 4 ? 12 32 ? 4 ? 22 42 ? 1 ? 1?1 1 ? 2? ?? 2 n2 ? 4 ? ?3 5 ? 1? 1 1 ? , ? ? 2? 4 ? n (n ? 2)2 ? ?

2 3 ? ? S1S3 S2 S4 1? 1 1 ? ? 2? 2? 4 ?1 2

?

?

1 1 ? ? 2 (n ? 1) (n ? 2)2 ? ?

1?1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? ? , ……………………………………8 分 2 4 ?1 2 (n ? 1) (n ? 2)2 ? ?
1 1 ? ? 0, 2 (n ? 1) (n ? 2) 2

?

2 3 ? ? S1S3 S2 S4
?

?

n ?1 1 1 1 5 ? ( 2 ? 2 ) ? . ……………………………………9 分 Sn Sn ? 2 4 1 2 16

(2)对 ?n ? N ,关于 m 的不等式 am ? a1 ? (m ?1)d ? n 的最小正整数解为 cn ? 3n ? 2 , 当 n ? 1 时, a1 ? (c1 ?1)d ? a1 ? 1 ;……………………10 分 当 n ? 2 时,恒有 ?

?a1 ? (cn ? 1)d ? n ?(3d ? 1)n ? (a1 ? 3d ) ? 0 ,即 ? , ?(3d ? 1)n ? (a1 ? 4d ) ? 0 ?a1 ? (cn ? 2)d ? n

?3d ? 1 ? 0 ?(3d ? 1) ? 2 ? (a ? 3d ) ? 0 1 4 ? 1 ? d ? ,1 ? a1 ? . ……………………12 分 从而 ? 3 3 ?3d ? 1 ? 0 ? ?(3d ? 1) ? 2 ? (a1 ? 4d ) ? 0 1 4 ? 当 d ? ,1 ? a1 ? 时,对 ?n ? N ,且 n ? 2 时, 当正整数 m ? cn 时, 3 3 c ?1 m ?1 ? a1 ? n ? n. ……………………13 分 有 a1 ? 3 3
所以存在这样的实数 a1 ,且 a1 的取值范围是 ?1, ? .……………………14 分

? 4? ? 3?


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