安徽省定远重点中学2019届高三数学上学期第一次月考试卷理【word版】.doc

定远重点中学 2019 届上学期第一次月考

高三理科数学试卷 注意事项: 1.答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将第 I 卷(选择题)答案用 2B 铅笔正确填写在答题卡上;请将第 II 卷(非 选择题)答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。

第 I 卷(选择题 60 分) 一.选择题(本题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。)

1.已知集合







,若

,则实数 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

2.下列有关命题的说法正确的是(



A. 命题“若 ,则 B. “ ”是“直线

”的否命题为:“若 ,则 ”

和直线

互相垂直”的充要条件

C. 命题“

,使得

”的否定是﹕“

,均有

D. 命题“已知 、B 为一个三角形的两内角,若 ,则

” ”的否命题为真命题

? ? 3.已知函数 f ?x? ? ln x ? 1? x2 ,则不等式 f ?x ?1? ? f ?x? ? 0 的解集是( )

A. {x x ? 2}

B. {x x ?1}

C. {x x ? 1} 2

D. {x x ? 0}

4.已知函数 f ? x? 是定义在 R 上的偶函数, f ?x? ? f ?12 ? x? ,当 x ??0, 6? 时,

f ?x? ? log6 ?x ?1? ,若 f ?a? ?1?a ??0, 2020?? ,则 a 的最大值是( )

A. 2018

B. 2010

C.

2020

D. 2011

5.已知函数

f

?

x

?

?

??a ? 2x

?log ??

1 2

,x x,

? 0, x ? 0.若关于

x

的方程

f

? f ? x?? ? 0 有且仅有一个实数

-1-

解,则实数 a 的取值范围是(
A . ???,0?


B . ?0,1?

D. ?0,1? ?1,???

6.已知函数 为偶函数,当





时,

A.

B.

D.

7.函数 y ? xex 的图象是(



C . ???,0? ?0,1?

,且

为奇函数,则

C.

A

C

D

8.设函数

,其 中常数 满足

.若函数

是函数 的导数)是偶函数,则 等于(



B (其中

A.

B.

C.

D.

9.若函数

f

?x?

?

tex ? t ? 2 ex ?1

? ln 1? 1?

x x

?

x2

?1是偶函数, 则实数 t

?(

A. ?2

B. 2

D. ?1

) C. 1

10.设函数





,若 是函数 是极大值点,则函数 的极小值为

A.

B.

C.

-2-

D.

?1? 2a?x , x ? 1

11.已知函数 f ? x? ? {

1

当 x1 ? x2 时,

loga x ? 3 , x ? 1

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,则 a 的取值
x1 ? x2

范围是(



A.

? ??

0,

1 3

? ??

B.

? ??

1 3

,

1 2

? ??

C. (0,1 ) 2

D.

? ??

1 4

,

1 3

? ??

12.已知定义在 R 上的函数 f ? x? ,其导函数 f ?? x? 的大致图象如图所示,则下列叙

述正确的是(



① f ?b? ? f ?a? ? f ?c? ;

②函数 f ? x? 在 x ? c 处取得极小值,在 x ? e 处取得极大值;

③函数 f ? x? 在 x ? c 处取得极大值,在 x ? e 处取得极小值;

④函数 f ? x? 的最小值为 f ?d ? .

A. ③

C. ③④

D. ④

二、填空题(本题有 4 小题,每小题 5 分,共 2 0 分。)

13.命题 p : ?x0 ? 1,使得 x02 ? 2x0 ? 1,则 ?p 是__________.

B. ①②

14. 已 知 集 合

,集合

,集合

,若

A? B? C,则实数 m 的取值范围是______________.

15.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 g(x)=f(x+1)+5,g′(x)为 g(x)的导函

数,对? x∈R,总有 g′(x)>2x,则 g(x)<x2+4 的解集为________.

-3-

16.函数 f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数 F(x)= 下列命题:

①F(x)=|f(x);

②函数 F(x)是偶函数;

③当 a<0 时,若 0<m<n<1,则有 F(m)﹣F(n)<0 成立;

④当 a>0 时,函数 y=F(x)﹣2 有 4 个零点.

其中正确命题的序号为



,给出

三、解答题(本题有 6 小题,共 70 分。) 17. (10 分)(1)已知 p :关于 x 的方程 x2 ? ax ? 4 ? 0 有实根; q :关于 x 的函数

y ? 2x2 ? ax ? 4 在区间?3, ??? 上是增函数,若“ p 或 q ”是真命题,“ p 或 q ”是真命题,

“ p 且 q ”是假命题,求实数 a 的取值范围;

(2)已知 p : ?4x ? 3?2 ?1;q : x2 ? ?2a ?1? x ? a ?a ?1? ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分

条件,求实数 a 的取值范围.

18.

(12

分)集合

A

?

? ?x ?

|

? ??

x

?

1 2

? ??

?

x

?

3?

?

? 0?,
?

B

? ?x ?

|

ln

? ??

x2

?

ax

?

a

?

9 4

? ??

?

? 0?
?

.

(1)若集合 B 只有一个元素,求实数 a 的值;

(2)若 B 是 A 的真子集,求实数 a 的取值范围.

19. (12 分)若二次函数满足 f ?x ?1? ? f ?x? ? 2x ? 3,且 f ?0? ? 3

(1)求 f ? x? 的解析式;

(2 )设 g ?x? ? f ?x? ? kx ,求 g ? x? 在?0,2?的最小值? ?k ? 的表达式.

20. (12 分)已知函数 f ? x? ? 22x?7 ? a4x?1 ?a ? 0且a ? 1? .

(1)当 a ? 2 时,求 不等式 f ? x? ? 0 的解集;
2
(2)当 x ??0,1? 时, f ? x? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. (12 分)已知函数

.

(1)求函数 的单调递增区间;

-4-

(2)讨论函数 零点的个数.
22. (12 分)设函数 f ? x? ? x ? 1 ? alnx ?a ? R?.
x
(1)讨论函数 f ? x? 的单调性;
(2)若 f ? x? 有两个极值点 x1, x2 ,记过点 A? x1, f ? x1 ??, B? x2, f ? x2 ?? 的直线的斜
率为 k ,问:是否存在实数 a ,使得 k ? 2 ? a?,若存在,求出 a 的值;若不存在, 请说明理由.
-5-

定远重点中学 2019 届上学期第一次月考 高三理科数学参考答案
一.选择题(本题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。) 1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 9.D 10.A 11.A 12.A 二、填空题(本题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13. ?x ? 1, x2 ? 2x ? 1

14.

????

1 2

,1???

15.(-∞,-1)

16.②③④

三、解答题(本题有 6 小题,共 70 分。)

17. (10 分)解:(1)若 p 真,则 ? ? a2 ? 4? 4 ? 0,

∴ a ? ?4或 a ? 4 ,若 q 真,则 ? a ? 3,∴ a ? ?12, 4
由“ p 或 q ”是真命题,“ p 且 q ” 是假命题,

知 p 、 q 一真一假,当 p 真 q 假时: a ? ?12;

当 p 假 q 真时: ?4 ? a ? 4.

综上,实数 a 的取值范围为 ???,?12? ???4,4? ;

(2) p : 1 ? x ? 1, q : a ? x ? a ?1 ,∴{

a?1 2



2

a ?1?1



0

?

a

?

1 2

,∴实数

a

的取值范围为

???0,

1 2

? ??

.

18. (12 分)解:(1)根据集合 B 有 x2 ? ax ? a ? 5 ? 0 有两个相等的实数根,所以 4

?

?

a2

?

4

? ??

a

?

5 4

? ??

?

0

?

a

?

5



?1;

(2)根据条件,

A

?

? ? ?

1 2

,

3?? ?



B 是 A 的真子集,所以当 B ? ? 时,

-6-

?

?

a2

?

4

? ??

a

?

5 4

? ??

?

0

?

?1

?

a

?

5



当 B ? ? 时,根据(1)将 a ? 5, ?1分别代入集合 B 检验,当 a ? 5 ,

B

?

??? ?

5 2

? ? ?



不满足条件,舍去;当 a ? ?1,

B

?

? ? ?

1 2

? ? ?

,满足条件;

综上,实数 a 的取值范围是??1,5? .

19. (12 分)解:(1)设 f ?x? ? ax2 ? bx ? c ,

由 f ?0? ? 3得 c ? 3,

故 f ?x? ? ax2 ? bx ? 3 .

因为 f ?x ?1? ? f ?x? ? 2x ? 3,

? ? 所以 a ? x ?1?2 ? b? x ?1? ? 3? ax2 ? bx ? 3 ? 2x ? 3 ,

整理得 2ax ? a ? b ? 2x ? 3, 所以{ 2a ? 2 ,
a?b ? 3

解得{ a ? 1 。 b?2

所以 f ? x? ? x2 ? 2x ? 3。

(2)由(1)得 g ?x? ? f ?x? ? kx ? x2 ? ?2 ? k ? x ? 3,

故函数 g ? x? 的图象是开口朝上、以 x ? k ? 2 为对称轴的抛物线,
2

①当 k ? 2 ? 0 ,即 k ? 2 时,则当 x ? 0 时, g ? x? 取最小值 3;
2

②当 0 ? k ? 2 ? 2 ,即 2 ? k ? 6 时,则当 x ? k ? 2 时, g ? x? 取最小值 ?k 2 ? 4k ? 8 ;

2

2

4

③当 k ? 2 ? 2 ,即 k ? 6 时,则当 x ? 2 时, g ? x? 取最小值11? 2k 。
2

-7-

3, k ? 2
综上? ?k ? ? { ?k 2 ? 4k ? 8 , 2 ? k ? 6 .
4 11? 2k, k ? 6

20. (12 分)解:(1)由于 a ?

2

?

?
2

1 2



2

? ? 于是不等式 f

x

?

0

即为 22x?7

?

? 1?4 x?1?
22

所以 2x ? 7 ? ? 1 ?4x ?1? ,解得 x ? 15

2

8

即原不等式的解集为

? ??

??,

15 8

? ??

(2)由 22x?2 ? a4x?1 ? ?2x ? 7? lg 2 ? ?4x ?1? lga ? x lg 4 ? lg a ? 0
a 128



f

?

x?

?

x

lg

4 a2

?

lg

a 128

,则

f

?

x?

为一次函数或常数函数,由 x ??0,1? 时,

f ? x? ? 0 恒成立得:

?? ? ??

f f

?1? ? 0 ?0? ? 0 ?

???lg ?
? ??

4

a

a4

? lg 128

?

lg a ? 0 128

0 ?

??lg ?

1 32a

2

?0 ?

??0 ? a ? 128

? 32a2 ? 1

?

?

?0 ? a ? 128

32 4

?

a

? 128 ,



a

?

0



a

?

1 ,∴

a

? ? ???

32 4

? ,1???

?1,128?

21. (12 分)解:(1)当 时, 的定义域为



,令

得:





∴ 的单调递增区间为

.

当 时, 的定义域为







即 时, 的单调增区间为



当 ,即

时,

.

-8-

的单调递增区间为

和.

(2)由(1)知当 时, 在

内单调递增,



故 只有一个零点 ,



时, 在 处取极大值, 处取极小值.



知 ,而

,则





∵ ,∴

,∴



∴当 时,函数 只有一个零点 ,

当 时,





, 在 单调递减,在

单调递增,

,∴

(当且仅当 时,等号成立),

i) 时,







由(1)函数单调性知,

∴在

有两个零点.

ii)

时,

,所以函数在

存在零点,







同理可得函数在

存在零点,

∴在

有两个零点.

iii) 时,

,函数在 综上所述:

有一个零点.

-9-

当 或 时,函数有一个零点, 当 且 时,函数有两个零点.
22. (12 分)解:(Ⅰ) f ? x? 定义域为 ?0, ???,

f

'?x?

?1?

1 x2

?

a x

?

x2

? ax ?1 , x2

令 g ?x? ? x2 ? ax ?1, ? ? a2 ? 4 ,

①当 ?2 ? a ? 2时, ? ? 0 , f '?x? ? 0 ,故 f ? x? 在 ?0, ???上单调递增,

②当 a ? ?2时, ? ? 0, g ? x? ? 0 的两根都小于零,在 ?0, ???上, f '?x? ? 0 ,

故 f ? x? 在 ?0, ???上单调递增,

③当 a ? 2 时,

? ?0,

g ? x? ? 0 的两根为 x1 ? a ?

a2 ? 4

a?

2

, x2 ?

a2 ? 4 , 2

当 0 ? x ? x1 时, f '? x? ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f '? x? ? 0 ;当 x ? x2 时, f '? x? ? 0 ;

故 f ? x? 分别在 ?0, x1?,? x2, ???上单调递增,在 ? x1, x2 ? 上单调递减.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, a ? 2 ,

因为

f

? x1 ? ?

f

? x2 ?

?

? x1

?

x2 ? ?

x1 ? x2 x1x2

? a ?lnx1

? lnx2 ? .

所以 k ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1? 1 ? a lnx1 ? lnx2 ,

x1 ? x2

x1x2

x1 ? x2

又由(1)知,

x1x2

? 1 ,于是 k

?

2 ? a lnx1 x1

? lnx2 ? x2



若存在 a ,使得 k

? 2 ? a ,则 lnx1 x1

? lnx2 ? x2

? 1 ,即 lnx1

? lnx2

?

x1 ? x2 ,

亦即

x2

?

1 x2

?

2lnx2

?

0( x2

? 1)

(*)

再由(Ⅰ)知,函数 h?t ? ? t ? 1 ? 2lnt 在 ?0, ???上 单调递增,
t



x2

? 1,所以

x2

?

1 x2

? 2lnx2

?1?1?

2ln1 ?

0

,这与( * )式矛盾,

故不存在 a ,使得 k ? 2 ? a .

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