黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷 Word版含解析


黑龙江省双鸭山一中 2014-2015 学年高一下学期第一次月考数学 试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题四个选项中只有一项符合要求. ) 1.已知数列 , , , ,…,则 5 是数列的() A.第 18 项 B.第 19 项 C.第 17 项 D.第 20 项 2.在△ ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=() A. B. C. D.

3.在△ ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于() A. B. C. D.

4.由 a1=1,d=3 确定的等差数列{an}中,当 an=298 时,序号 n 等于() A.99 B.100 C.96 D.101 5.已知 a,b,c,d 成等比数列,且抛物线 y=x ﹣2x+3 的顶点为(b,c)则 ad=() A.3 B. 2 C. 1 D.﹣2 6.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=() A.138 B.135 C.95 D.23 7.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=() A.64 B.81 C.128
2

D.243

8.在△ ABC 中,若 2cosB?sinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是() A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等边三角形 9.等比数列{an}的各项均为正数且 a4a7+a5a6=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 10.在等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,a1=﹣2010, A.﹣2009 B.2009 C.﹣2010 =2,则 S2010=() D.2010

11.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树尖的仰 角为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60m,则树的高度为()

A.

B.

C.
3

D.
3

12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知(a4﹣1) +2013(a4﹣1)=1, (a2010﹣1) +2013 (a2010﹣1)=﹣1,则下列结论中正确的是() A.S2013=2013,a2010<a4 B. S2013=2013,a2010>a4 C. S2013=2012,a2010≤a4 D.S2013=2012,a2010≥a4

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,若 a +c ﹣b = 是.
2 2 2

ac,则角 B 的值

14.已知数列{an}为等差数列,若 a1=﹣3,11a5=5a8,则使前 n 项和 Sn 取最小值的 n=. 15.在△ ABC 中,已知 a=2,b=x,B=30°.如果△ ABC 有两解,那么 x 的取值范围. 16.给定 81 个数排成如图所示的数表,若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成等差数 列,且表中正中间一个数 a55=5,则表中所有数之和为. a11 a12 … a19 a21 a22 … a29 … … … … a91 a92 … a99

三、解答题(共 70 分) 17. (1)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cos B= ,b=4,求 sinA 的值; (2)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81,求等比数列{an}的通项公式. 18.在△ ABC 中, , .

(Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)设 BC=5,求△ ABC 的面积. 19.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1,证明{a + }是等比数列,并求{an}的通项公式.

20.数列{an}首项 a1=1,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 (1)求证:数列 是等差数列

(2)求数列{an}的通项公式. 21.已知向量 =(sinA, )与 =(3,sinA+ )共线,其中 A 是△ ABC 的内角.

(1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ ABC 的形状. 22.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 b ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意 n∈N ,都有
* 2

T



黑龙江省双鸭山一中 2014-2015 学年高一下学期第一次月 考数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题四个选项中只有一项符合要求. ) 1.已知数列 , , , ,…,则 5 是数列的() A.第 18 项 B.第 19 项 C.第 17 项 D.第 20 项 考点: 数列的概念及简单表示法. 分析: 本题通过观察可知: 原数列每一项的平方组成等差数列, 且公差为 4, 即 an ﹣an﹣1 =4 2 从而利用等差数列通项公式 an =3+(n﹣1)×4=4n﹣1=75,得解,n=19 解答: 解:∵7﹣3=11﹣7=15﹣11=4, 即 an ﹣an﹣1 =4, 2 ∴an =3+(n﹣1)×4=4n﹣1, 令 4n﹣1=75,则 n=19. 故选 B. 2 点评: 本题通过观察并利用构造法,构造了新数列{an }为等差数列,从而得解,构造法在 数列中经常出现,我们要熟练掌握.
2 2 2 2

2.在△ ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=() A. B. C. D.

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cos∠BAC, 把三角形三边长代入即可求出∠BAC 的余弦值, 求 解即可. 解答: 解:∵c=AB=5,b=AC=3,a=BC=7, ∴根据余弦定理得: cos∠BAC= ∠BAC= . = =﹣ .

故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,余弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定 理是解本题的关键. 3.在△ ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理;余弦定理. 计算题;解三角形. 求出 C,利用正弦定理直接求出 c 即可. 解:由题意,在△ ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,所以 C=180°﹣75°﹣60°=45°.

根据正弦定理得:

,即 c=

=



故选 C. 点评: 此题考查了正弦定理的应用,考查了特殊角的三角函数值,是一道基础题. 4.由 a1=1,d=3 确定的等差数列{an}中,当 an=298 时,序号 n 等于() A.99 B.100 C.96 D.101 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 先根据 a1=1,d=3 确定的等差数列的通项,再求项数. 解答: 解:由题意,an=3n﹣2,故有 3n﹣2=298,∴n=100, 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式及其运用,属于基础题.

5.已知 a,b,c,d 成等比数列,且抛物线 y=x ﹣2x+3 的顶点为(b,c)则 ad=() A.3 B. 2 C. 1 D.﹣2 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 通过配方,可得抛物线 y=x ﹣2x+3 的顶点为(1,2) ,即 b=1,c=2,由等比数列的 性质可得 ad=bc,故问题可求. 2 2 解答: 解:∵y=x ﹣2x+3=(x﹣1) +2, 2 ∴抛物线 y=x ﹣2x+3 的顶点为(1,2) , ∴b=1,c=2, 又∵a,b,c,d 成等比数列, ∴ad=bc=2, 故选 B. 点评: 本题综合考查了二次函数的顶点和等比数列的性质,比较简单. 6.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=() A.138 B.135 C.95 D.23 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是等差数列的性质, 及等差数列前 n 项和, 根据 a2+a4=4, a3+a5=10 我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差) ,进而代 入前 n 项和公式,即可求解. 解答: 解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6, ∴d=3,a1=﹣4, ∴S10=10a1+ =95.
2

2

故选 C 点评: 在求一个数列的通项公式或前 n 项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等 比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写 出该数列的通项公式, 如果未知这个数列的类型, 则可以判断它是否与某个等差或等比数列有 关,间接求其通项公式. 7.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=() A.64 B.81 C.128

D.243

考点: 等比数列. 分析: 由 a1+a2=3,a2+a3=6 的关系求得 q,进而求得 a1,再由等比数列通项公式求解. 解答: 解:由 a2+a3=q(a1+a2)=3q=6, ∴q=2, ∴a1(1+q)=3, ∴a1=1, 6 ∴a7=2 =64.

故选 A. 点评: 本题主要考查了等比数列的通项及整体运算. 8.在△ ABC 中,若 2cosB?sinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是() A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等边三角形 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 在△ ABC 中, 总有 A+B+C=π, 利用此关系式将题中: “2cosB?sinA=sinC, ”化去角 C, 最后得到关系另外两个角的关系,从而解决问题. 解答: 解析:∵2cosB?sinA=sinC=sin(A+B)?sin(A﹣B)=0, 又 B、A 为三角形的内角, ∴A=B. 答案:C 点评: 本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数,属于基础题,在判定三角形形状 时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,另一个方向是角,走三角 变换之路. 9.等比数列{an}的各项均为正数且 a4a7+a5a6=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 考点: 等比数列的通项公式;对数的运算性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a4a7+a5a6=18,利用等比数列的性质可得:a4a7=a5a6=9=an?a11﹣n,再利用对数的运 算法则即可得出. 解答: 解:∵a4a7+a5a6=18,由等比数列的性质可得:a4a7=a5a6=9=an?a11﹣n(n∈N ,n≤10) , ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2?…a10)= =10.
*

故选:B. 点评: 本题考查了等比数列的性质、对数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题.

10.在等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,a1=﹣2010, A.﹣2009 B.2009 C.﹣2010

=2,则 S2010=() D.2010

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差中项可知 结论. 解答: 解:记等差数列{an}的公差为 d, = (a1005﹣a1003) ,进而可知公差 d=2,计算即得

依题意, = = ( [ a1+a2008) + (a2+a2007) +…+ (a1004+a1005) ]﹣ (a1004+a1005)﹣ (a1003+a1004) ( [ a1+a2006) + (a2+a2005) +… (a1003+a1004) ]

= (a1005﹣a1003) =d =2, 又∵a1=﹣2010, ∴数列{an}是以﹣2010 为首项、2 为公差的等差数列, ∴S2010=2010?(﹣2010)+ ?2

=﹣2010, 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 11.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树尖的仰 角为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60m,则树的高度为()

A.

B.

C.

D.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题. 分析: 要求树的高度,需求 PB 长度,要求 PB 的长度,在△ PAB 由正弦定理可得. 解答: 解:在△ PAB,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60, sin15°=sin(45°﹣30°)=sin45°cos30°﹣cos45°sin30 °= × ﹣ × =

由正弦定理得:

,∴PB=

=30(

+

) ,

∴树的高度为 PBsin45°=30( 答:树的高度为(30+30 故选 A

+

)×

=(30+30

)m,

)m.

点评: 此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值,正弦定理在解三角形时, 用于下面两种情况:一是知两边一对角,二是知两角和一边. 12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知(a4﹣1) +2013(a4﹣1)=1, (a2010﹣1) +2013 (a2010﹣1)=﹣1,则下列结论中正确的是() A.S2013=2013,a2010<a4 B. S2013=2013,a2010>a4 C. S2013=2012,a2010≤a4 D.S2013=2012,a2010≥a4 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 3 分析: 由题意构造函数 f(x)=x +2013x,求出 f′(x) ,判断出函数 f(x)为单调递增函数 且为奇函数,由已知的两等式得到 f(a4﹣1)=1 及 f(a2010﹣1)=﹣1,由 f(x)为奇函数得 到 f(1﹣a2010)=1,由函数的单调性得到 a4﹣1 与 1﹣a2010 相等即 a4+a2010=2,然后根据等差 数列的前 n 项和的公式表示出 S2013,根据等差数列的性质化简后,将 a4+a2010=2 代入即可求 出值,再根据单调性判断出 a4>a2010. 3 2 解答: 解:令 f(x)=x +2013x,则 f′(x)=3x +2013>0, 得到 f(x)在 R 上单调递增,且 f(x)为奇函数. 由条件,有 f(a4﹣1)=1,f(a2010﹣1)=﹣1,即 f(1﹣a2010)=1. ∴a4﹣1=1﹣a2010,从而 a4+a2010=2, 则 = =2013,
3 3

∵f(a4﹣1)=1,f(a2010﹣1)=﹣1,f(x)在 R 上单调递增, ∴a4﹣1>a2010﹣1,即 a4>a2010, 故选:A. 点评: 本题考查灵活运用等差数列的性质及前 n 项和的公式化简求值,函数的单调性与导 数的关系,考查了构造函数、利用函数思想解决实际问题的能力,是一道中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 2 2 2 13.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,若 a +c ﹣b = 是 .

ac,则角 B 的值

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理. 计算题. 直接利用余弦定理求出 B 的余弦值,推出 B 的值即可. 2 2 2 解:在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,若 a +c ﹣b = = ,因为 B 是三角形内角,所以 B= .

ac,

由余弦定理可知 cosB= 故答案为: .

点评: 本题考查余弦定理的应用,基本知识的考查.

14.已知数列{an}为等差数列,若 a1=﹣3,11a5=5a8,则使前 n 项和 Sn 取最小值的 n=2. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的通项公式求出公差,结合数列前 n 项和公式的性质进行求解. 解答: 解:∵a1=﹣3,11a5=5a8, ∴11(﹣3+4d)=5(﹣3+7d) , 即﹣33+44d=﹣15+35d, 即 9d=18, 则 d=2, 则 an=﹣3+2(n﹣1)=2n﹣5, 则由 an=2n﹣5≤0 得 n ,

即当 n=1,2 时,an<0, 当 n≥3 时 an=2n﹣5>0, 则当 n=2 时,前 n 项和 Sn 取最小值, 则 n=2, 故答案为:2 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用,根据条件求出数列的通项公式是解 决本题的关键. 15.在△ ABC 中,已知 a=2,b=x,B=30°.如果△ ABC 有两解,那么 x 的取值范围 1<x<2. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理列出关系式,表示出 x,根据 sinA 的范围及三角形有两解即可求出 x 的 范围. 解答: 解:由正弦定理知 ∴ = , = ,

∴x=

, ,三角形只有一个解,

当 sinA=1 时,A=

∴sinA<1, ∴x>1, ∵△ABC 有两解, ∴a>b,即 x<2, 综合可知 1<x<2, 故答案为:1<x<2. 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.

16.给定 81 个数排成如图所示的数表,若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成等差数 列,且表中正中间一个数 a55=5,则表中所有数之和为 405. a11 a12 … a19 a21 a22 … a29 … … … … a91 a92 … a99 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得每一行的和,相加后再由等差数列的性质可化为 a55,计算可 得. 解答: 解:首先看每一行,根据等差数列的性质可得: a11+a12+a13+…+a19=9a15, a21+a22+a23+…+a29=9a25, … a91+a92+a93+…+a99=9a95, ∴所有项的和为 9(a15+a25+a35+…+a95)=9×9a55=405. 故答案为:405 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和,涉及等差数列的性质,属基础题. 三、解答题(共 70 分) 17. (1)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cos B= ,b=4,求 sinA 的值; (2)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81,求等比数列{an}的通项公式. 考点: 正弦定理的应用;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列;解三角形. 分析: (1)利用正弦定理进行求解即可求 sinA 的值; (2)求出等比数列的首项和公比即可. 解答: 解: (1)∵cosB= , ∴sinB= = ,

由正弦定理 (2)∵a2=3,a5=81, ∴ 则 an=q
n﹣1

得 sinA=

=

= ;

,解得 .



点评: 本题主要考查正弦定理的应用以及等比数列的通项公式的求解,根据公式进行求解 是解决本题的关键.考查学生的计算能力. 18.在△ ABC 中,





(Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)设 BC=5,求△ ABC 的面积. 考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)先利用同角三角函数的基本关系求得 sinA 和 sinB 的值,进而根据 sinC=sin (A+B)利用正弦的两角和公式求得答案. (Ⅱ)先利用正弦定理求得 AC,进而利用三角形面积公式求得三角形的面积. 解答: 解: (Ⅰ)由 由 所以 ,得 . . ,得 ,

(Ⅱ)由正弦定理得



所以△ ABC 的面积

=

= .

点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和正弦的两角和公式的应用.考查 了学生对三角函数基础知识的理解和灵活运用.

19.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1,证明{a

+ }是等比数列,并求{an}的通项公式.

考点: 数列递推式;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 通过数列的递推式,把递推式变形,变为熟悉的等比数列,求出新数列的通项公式 后再求原数列的通项. 解答: 证明:由 an+1=3an+1,得:an+1+ =3(an+ ) ,

可得:

=3.

∵a1+ = ≠0,

∴{a

+ }是以 为首项,以 3 为公比的等比数列,
n﹣1

∴an+ = ?3 ∴an=
n

= ?3 ,

n

3﹣ .
n

故答案为: (3 ﹣1) . 点评: 本题考查了给出递推式求数列通项公式的方法,对于 an+1=pan+q 型的递推式,一般 能够造成{an+x}型的等比数列,属常见题.

20.数列{an}首项 a1=1,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 (1)求证:数列 是等差数列

(2)求数列{an}的通项公式. 考点: 数列递推式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的定义,将条件求 列 是等差数列 是等差数列 即可求数列{an}的通项公式. 进行转化即可证明数

(2)根据

解答: 解: (1)∵当 n≥2 时, 整理得:Sn﹣1﹣Sn=2Sn? Sn﹣1, 由题意知 Sn≠0, ∴ 即 (2)∵ ∴ ∴ 当 n≥2 时, . , 是以 是以 , 为首项,公差 d=2 的等差数列.



为首项,公差 d=2 的等差数列. ,



当 n=1 时,a1=S1=1 不满足 an, ∴ .

点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和等差数判断,要求熟练掌握等差数列的通项公 式,考查学生的计算能力. )共线,其中 A 是△ ABC 的内角.

21.已知向量 =(sinA, )与 =(3,sinA+

(1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ ABC 的形状. 考点: 向量的共线定理;基本不等式;两角和与差的正弦函数;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)根据向量平行得出角 2A 的等式,然后根据两角和差的正弦公式和 A 为三角形 内角这个条件得到 A. (2)根据余弦定理代入三角形的面积公式,判断等号成立的条件. 解答: 解: (1)因为 ∥ ,所以 所以 即 即 . . ;
2 2



, ,

因为 A∈(0,π) ,所以 故 ,

(2)由余弦定理,得 4=b +c ﹣bc. 又
2 2



而 b +c ≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4, (当且仅当 b=c 时等号成立) 所以 当△ ABC 的面积取最大值时,b=c.又 ; ;

故此时△ ABC 为等边三角形. 点评: 本题为三角函数公式的应用题目,属于中档题 22.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn (1)求数列{an}的通项公式 an;
2

(2)令 b

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意 n∈N ,都有

*

T



考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列. 分析: (I)由 Sn an=sn﹣sn﹣1 可求 an (II)由 b 求 Tn,利用放缩法即可证明 解答: 解: (I)由 Sn 可得,[
2 2

可求 sn,然后利用 a1=s1,n≥2 时,

=

=

,利用裂项求和可

](Sn+1)=0

∵正项数列{an},Sn>0 2 ∴Sn=n +n 于是 a1=S1=2 2 2 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +n﹣(n﹣1) ﹣(n﹣1)=2n,而 n=1 时也适合 ∴an=2n (II)证明:由 b = =



]

=

点评: 本题主要考查了递推公式 a1=s1,n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1 在求解数列的通项公式中的应 用及数列的裂项求和方法的应用.


相关文档

2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高一(下)期末数学试卷与解析word(文科)
2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高一(下)期末数学试卷与解析word(理科)
黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析
黑龙江省双鸭山市第一中学2014-2015学年高一下学期第一次月考历史试题 Word版含答案
[精品]2014-2015年黑龙江省双鸭山一中高一下学期期末数学试卷及解析答案word版(文科)
[精品]2014-2015年黑龙江省双鸭山一中高一下学期期末数学试卷及解析答案word版(理科)
黑龙江省双鸭山市第一中学2014-2015学年高一下学期第一次月考政治试题 Word版含答案
2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析
黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷
黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析
电脑版