四川省2017中考数学专题突破复习题型专项四方程不等式函数的实际应用题试题

题型专项(四)

方程、不等式、函数的实际应用题

类型 1 方程(组)的实际应用 1. (2016·柳州)小陈妈妈做儿童服装生意, 在“六一”这一天上午的销售中, 某规格童装每件以 60 元的价格卖出, 盈利 20%,求这种规格童装每件的进价. 解:设这种规格童装每件的进价为 x 元.根据题意,得 (1+20%)x=60. 解得 x=50. 答:这种规格童装每件的进价为 50 元.

2.(2016·淮安)王师傅检修一条长 600 米的自来水管道,计划用若干小时完成,在实际检修过程中,每小时检修 的管道长度是原计划的 1.2 倍,结果提前 2 小时完成任务,王师傅原计划每小时检修管道多少米? 解:设王师傅原计划每小时检修管道 x 米.由题意,得 600 600 - =2. x 1.2x 解得 x=50. 经检验,x=50 是原方程的解,且符合题意. 答:王师傅原计划每小时检修管道 50 米.

3.(2016·百色)在直角墙角 AOB(OA⊥OB,且 OA,OB 长度不限)中,要砌 20 m 长的墙,与直角墙角 AOB 围成地面为 矩形的储仓,且地面矩形 AOBC 的面积为 96 m2. (1)求这地面矩形的长; (2)有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价为 55 元/块和 80 元/块,若只选其中一种地板砖都 恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少?

解:(1)设这地面矩形的长是 x m.依题意,得 x(20-x)=96. 解得 x1=12,x2=8(舍去). 答:这地面矩形的长是 12 米. (2)规格为 0.80×0.80 所需的费用为 96÷(0.80×0.80)×55=8 250(元). 规格为 1.00×1.00 所需的费用为 96÷(1.00×1.00)×80=7 680(元). ∵8 250>7 680, ∴采用规格为 1.00×1.00 所需的费用较少.

4.(2016·西宁)青海新闻网讯:2016 年 2 月 21 日,西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用.市政府今 年投资了 112 万元,建成 40 个公共自行车站点、配置 720 辆公共自行车.今后将逐年增加投资,用于建设新站点、 配置公共自行车.预计 2018 年将投资 340.5 万元,新建 120 个公共自行车站点、配置 2 205 辆公共自行车. (1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元? (2)请你求出 2016 年到 2018 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率. 解:(1)设每个站点造价 x 万元,自行车单价为 y 万元.根据题意,得
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x=1, 解得 120x+2 205y=340.5. y=0.1. 答:每个站点造价为 1 万元,自行车单价为 0.1 万元. (2)设 2016 年到 2018 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为 a.根据题意,得 720(1+a)2=2 205. 3 33 解得 a1= =75%,a2=- (不符合题意,舍去). 4 12 答:2016 年到 2018 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为 75%. 类型 2 不等式(组)的实际应用 5.(2016·成都二诊)某电器超市销售甲、乙两种型号的电风扇,两种型号的电风扇每台进价与售价长期保持不变, 下表是近两周的销售情况:

40x+720y=112,

(1)求甲、乙两种型号的电风扇的销售单价; (2)若甲型号电风扇每台进价 150 元,乙型号电风扇每台进价 120 元,现超市决定购进甲、乙两种型号的电风扇共 100 台,要使这 100 台电风扇全部售完的总利润不少于 4 200 元,那么该超市应至少购进甲种电风扇多少台?(利润 =售价-进价) 解:(1)设甲、乙两种型号电风扇销售单价分别为 x 元/台,y 元/台. 10x+8y=3 200, x=200, 由题意,得 解得 8x+10y=3 100. y=150. 答:甲种型号的电风扇销售单价为 200 元/台,乙种型号的电风扇销售单价为 150 元/台. (2)设该超市购进甲种电风扇 m 台,则购进乙种型号电风扇为(100-m)台(m 为正整数,且 m≤100).依题意,得 20m+3 000≥4 200.解得 m≥60. 答:该超市应至少购进甲种型号的电风扇 60 台.

6.(2016·常德)某服装店用 4 500 元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用 2 100 元购进第二批该款式的衬 衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了 10 元. (1)这两次各购进这种衬衫多少件? (2)若第一批衬衫的售价是 200 元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于 1 950 元,则第二批衬衫每件至 少要售多少元? 解:(1)设第一批衬衫每件进价是 x 元,则第二批每件进价是(x-10)元.根据题意,得 1 4 500 2 100 × = .解得 x=150. 2 x x-10 经检验,x=150 是原方程的解,且符合题意. 1 4 500÷150=30(件),30× =15(件). 2 答:第一批购进这种衬衫 30 件,第二批购进这种衬衫 15 件 . (2)设第二批衬衫每件售价 y 元.根据题意,可得 30×(200-150)+15(y-140)≥1 950. 解得 y≥170. 答:第二批衬衫每件至少要售 170 元. 7.(2016·德阳旌阳区一模)为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买 A,B 两种型号的污水处理设备共 10
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台.已知用 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同,每台设 备价格及月处理污水量如下表所示: 污水处理设备 价格(万元/台) 月处理污水量(吨/台) A型 m 220 B型 m-3 180

(1)求 m 的值; (2)由于受资金限制,指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元,问有多少种购买方案?并求出每月最 多处理污水量的吨数. 解:(1)由 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同,则 90 75 = .解得 m=18. m m-3 经检验,m=18 是原方程的解,即 m=18. (2)设买 A 型污水处理设备 x 台,则 B 型(10-x)台.根据题意得 18x+15(10-x)≤165.解得 x≤5. ∵x 是整数,∴有 6 种方案. 当 x=0 时,10-x=10,月处理污水量为 1 800 吨; 当 x=1 时,10-x=9,月处理污水量为 220+180×9=1 840(吨); 当 x=2 时,10-x=8,月处理污水量为 220×2+180×8=1 880(吨); 当 x=3 时,10-x=7,月处理污水量为 220×3+180×7=1 920(吨); 当 x=4 时,10-x=6,月处理污水量为 220×4+180×6=1 960( 吨); 当 x=5 时,10-x=5,月处理污水量为 220×5+180×5=2 000(吨). 答:有 6 种购买方案,每月最多处理污水量的吨数为 2 000 吨. 8.(2016·广安岳池县一诊)随着人们生活质量的提高,净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭,某电器公司销售每 台进价分别为 2 000 元,1 700 元的 A,B 两种型号的净水 器,下表是近两周的销售情况:

(1)求 A,B 两种型号的净水器的销售单价; (2)若电器公司准备用不多于 54 000 元的金额在采购这两种型号的净水器共 30 台,求 A 种型号的净水器最多能采 购多少台? (3)在(2)的条件下,公司销售完这 30 台净水器能否实现利润为 12 800 元的目标?若能,请给出相应的采购方案; 若不能,请说 明理由. 解:(1)设 A,B 两种净水器的销售单价分别为 x 元,y 元.依题意,得 3x+5y=18 000, x=2 500, 解得 4x+10y=31 000. y=2 100. 答:A,B 两种净水器的销售单价分别为 2 500 元,2 100 元.
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(2)设采购 A 种型号净水器 a 台,则采购 B 种净水器(30-a)台.依题意,得 2 000a+1 700(30-a)≤5 4 000.解得 a≤10. 答:超市最多采购 A 种型号净水器 10 台时,采购金额不多于 54 000 元. (3)由题意,得(2 500-2 000)a+(2 100-1 700)(30-a)=12 800. 解得 a=8. 答:采购 A 种型号净水器 8 台,采购 B 种型号净水器 22 台,公司能实现利润 12 800 元的目标. 类型 3 函数的实际 应用 9.(2015·乐山)“六一”期间,小张购进 100 只两种型号的文具进行销售,其进价和售价之间的关系如下表: 型号 A型 B型 进价(元/只) 10 15 售价(元/只) 12 23

(1)小张如何进货,使进货款恰好为 1 300 元? (2)要使销售文具所获利润最大,且所获利润不超过进货价格的 40%,请你帮小张设计一个进货方案,并求出其所获 利润的最大值. 解:(1)设 A 文具为 x 只,则 B 文具为(100-x)只,则 10x+15(100-x)=1 300.解得 x=40. 则 100-40=60(只). 答:A 文具为 40 只,B 文具为 60 只. (2)由题意,得(12-10)x+(23-15)(100-x)≤40%[10x+15(100-x)]. 解得 x≥50. 设利润为 y,则 y=(12-10)x+(23-15)(100-x) =2x+800-8x =-6x+800. 当 x=50 时,利润最大,最大利润为-50×6+800=500 元.

10.(2016·眉山青神县一诊)为满足市场需求,某超市在“端午”节前购进一种品牌粽子,每盒进价 40 元,超市 规定每盒售价不得低于 40 元.根据以往销售经验,当售价定为每盒 45 元时,预计每天可以卖出 700 盒,每盒售价 每提高 1 元,每天要少卖出 20 盒. (1)试求每天的销售量(盒)与售价(元)之间的函数关系式; (2)当每盒定价为多少元时,每天销售的利润 P(元)最大?最大利润是多少? (3)如果要保证超市每天的利润不少于 6 000 元,又要尽量减少库存,超市每天最多可以销售出多少盒粽子? 解:(1)y=700-20(x-45)=-20x+1 600(x≥45). 2 2 (2)P=(x-40)(-20x+1 600)=-20x +2 400x-64 000=-20(x-60) +8 000. ∵x≥45,a=-20<0, ∴当 x=60 时,P 最大=8 000. 即当每盒售价定为 60 元时,每天销售的利润最大,最大利润是 8 000 元. 2 (3)由题意,得-20(x-60) +8 000=6 000, 解得 x1=50,x2=70. ∵定价高于 45 元时,价格增加,销量减少,为了尽量减少库存, ∴定价为 50 元. ∴700-20×(50-45)=600(盒). 答:要保证超市每天的利润不少于 6 000 元,又要尽量减少库存,超市每天最多可以销售出 600 盒粽子. 11.(2 016·南充模拟)如图 1,为美化校园环境,某校计划在一块长为 60 米,宽为 40 米的长方形空地上修建一个 长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为 a 米.
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(1)用含 a 的式子表示花圃的面积; 3 (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,求出此时通道的宽; 8 (3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y1(元),y2(元)与修建面积 x(m2)之间的函数关系如图 2 所示,如果学校 决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米,那么通道宽为多少时,修建的通 道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?

解:(1)花圃的面积为(40-2a)(60-2a)平方米. 3 (2)依题意,得 60×40-(40-2a)(60-2a)= ×60×40. 8 解得 a1=5,a2=45(舍去). 答:所以通道的宽为 5 米. (3)设修建的道路和花圃的总造价为 y,通道修建面积为 x1,花圃修建面积为 x 2. ∵2≤a<10,∴384≤x1<1 600. 由已知,得 y1=40x1(384≤x1<1 600). ∵x1+x2=2 400,∴x2=2 400-x1, 800<x2≤2 016. ∴y2=35x2+20 000 =35(2 400-x1)+20 000 =-35x1+104 000. ∴y=y1+y2=5x1+104 000(384≤x1<1 600). 当 x1=384 时,y 取最小值,y 最小=5×384+104 000=105 920. ∴当通道宽为 2 米时,修建的通道和花圃的总造价最低为 105 920 元.

12.(2016·达州)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如表: 原进价(元/张) 餐桌 餐椅 a a﹣110 零售价(元/张) 270 70 成套售价(元/套) 500 元

500 元已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同. (1)求表中 a 的值; (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张,且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张.该商场计划将一 半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售.请问怎样进货,才能获得最 大利润?最大利润是多少? (3)由于原材料价格上涨,每张餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元,按照(2)中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅, 在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下,实际全部售出后,所得利润比(2)中的最大利润少了 2 250 元.请 问本次成套的销售量为多少? 600 160 解:(1)由题意得 = .解得 a=150. a a-110 经检验,a=150 是原分式方程的解. ∴a=150. (2)设购进餐桌 x 张,则购进餐椅(5x+20)张,销售利润为 W 元. 由题意,得 x+5x+20≤200.解得 x≤30 . ∵a=150,
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∴餐桌的进价为 150 元/张,餐椅的进价为 40 元/张. 依题意知: 1 1 1 W= x×(270-150)+ x×(500-150-40×4)+(5x+20- x·4)×(70-40)=245x+600. 2 2 2 ∵k=245>0, ∴W 随 x 的增大而增大. ∴当 x=30 时,W 取最大值,最大值为 7 950. 故购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时,才能获得最大利润,最大利润是 7 950 元 . (3)涨价后每张餐桌的进价为 160 元,每张餐椅的进价为 50 元, 设本次成套销售量为 m 套.依题意,得 m×(500-160-50×4)+(30-m)×(270-160)+(170-4m)×(70-50)=7 950-2 250. 解得 m=20. 答 :本次成套的销售量为 20 套.

13.(2016·南充营山县一模)某粮油超市平时每天都将一定数量的某些品种的粮食进行包装以便出售,已知每天包 5 装大黄米的质量是包装江米的质量的 倍,且每天包装大黄米和江米的质量之和为 45 千克. 4 (1)求平时每天包装大黄米和江米的质量各是多少千克? (2)为迎接今年 6 月 20 日的“端午节”,该超市决定在前 20 天增加每天包装大黄米和江米的质量,二者的包装质 量与天数的变化情况如图所示,节日后又恢复到原来每天的包装质量.分别求出在这 20 天内每天包装大黄米和江 米的质量随天数变化的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (3)假设该超市每天都会将当天包装后的大黄米和江米全部售出,已知大黄米成本价为每千克 7.9 元,江米成本价 为每千克 9.5 元,二者包装费用平均每千克均为 0.5 元,大黄米售价为每千克 10 元,江米售价为每千克 12 元,那 么在这 20 天中有哪几天销售大黄米和江米的利润之和大于 120 元?[总利润=售价额-成本-包装费用]

解:(1)设平时每天包装大黄米 5m 千克,则每天包装江米 4m 千克,根据题意,得 5m+4m=45. 解得 m=5. 则 5m=5×5=25,4m=4×5=20. 答:平时每天包装大黄米 25 千克,每天包装江米 20 千克. (2)设这 20 天内每天包装大黄米的质量随天数变化的函数关系式为 y1=k1x+b1,每天包装江米的质量随天数变化的 函数关系式为 y2=k2x+b2, 当 0≤x<15 时,有 25=b1, 20=b2, 40=15k1+b1, 38=15k2+b2. k1=1, k2=1.2, 解得 b1=25, b2=20. ∴y1=x+25,y2=1.2x+20; 当 15≤x≤20 时,有 40=15k1+b1, 38=15k2+b2, 25=20k1+b1, 20=20k2+b2. k1=-3, k2=-3.6, 解得 b1=85, b2=92.
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∴y1=-3x+85,y2=-3.6x+92. 综上可知:每天包装大黄米的质量随天数变化的函数关系式为 y1= 每天包装江米的质量随天数变化的函数关系式为 y2= x+25(0≤x<15) , -3x+85(15≤x≤20) , 1.2x+20(0≤x<15) ,

-3.6x+92(15≤x≤20). (3)大黄米每千克的利润为 10-0.5-7.9=1.6(元),江米每千克的利润为 12-9.5-0.5=2(元). 当 0≤x<15 时,每天销售大黄米和江米的利润之和为 1.6(x+25)+2(1.2x+20)=4x+80. 令 4x+80>120,解得 10<x<15; 当 15≤x≤20 时,每天销售大黄米和江米的利润之和为 1.6(-3x+85)+2(-3.6x+92)=-12x+320. 令-12x+320>120,解得 15≤x≤16. 故在这 20 天中从第 11 天到第 16 天销售大黄米和江米的利润之和大于 120 元.

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