四川省雅安市重点中学2015届高三下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案

四川省雅安重点中学 2015 届高三下学期 3 月月考数学(理)试题 (高三备课组集体)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷第 2 至 4 页。满 分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,把每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的选项选出来) 1. M ? x | x 2 ? x ? 0 , N ? y | y 2 ? y ? 0 , 则M ? N ? ______ A. ?- 1,0,1? B. ?- 1,1? C. ?0? D. ?

?

?

?

?

2.已知 tan? ? 2, 求7 sin 2 ? ? 3 cos2 ? ? _______ A.

1 5

B.

11 5

C.

21 5

D.

31 5

3.并排的 5 个房间,安排给 5 个工作人员临时休息,假设每个人可以进入任一房间,且进入每 个房间是等可能的,问每个房间恰好进入一人的概率是_______ A.

24 625

B

48 625
0

C.

24 125
0

D.

48 125
0 0

4.已知 a ? (cos70 , sin 70 ), b ? (cos10 , sin 10 ),则 a ? b ? ____ A.0 B.1 C.2 D.3

5. 已 知 曲 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 F , 曲 线 上 三 点 A,B,C 满 足 FA ? FB ? FC ? 0 , 则

FA ? FB ? FC ? _____。
A.2 B.4 C.6 D.8 6.若 P 为棱长为 1 的正四面体内的任一点,则它到这个正四面体各面的距离之和为______. A.

3 2

B.

3 3

C.

6 2

D.

6 3

7.若等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且S 4 ? S18 ,则 S 22 ? ____ A.0 B.12 C. ? 1 D. ? 12

8.“函数 y ? f ( x) 在区间(a,b)上有零点”是“ f (a) ? f (b) ? 0 ”的________条件 A.充分不必要 B.必要不充分
x

C.充分必要
x

D.非充分非必要

9.在同一直角坐标系下作 y ? a 和y ? loga (a ? 0且a ? 1) 的图象,有下面四种判断: ①两支图象可能无公共点。 ②若两支图象有公共点,则公共点一定在直线 y=x 上
第 -1- 页 共 9 页

③若两支图象有公共点,则公共点个数可能 1 个,不可能 2 个 ④若两支图象有公共点,则公共点个数最多可能有 3 个。 以上这四种判断中,错误的判断共有______个 A.1 B.2 C.3 D.4 10..已知平面上的点 p ? ( x, y) | ( x ? 2 cos? ) 2 ? ( y ? 2 sin ? ) 2 ? 16, ? ? R ,则满足条件的 点在平面上组成的图形的面积为_______ A. 12? B. 42? C. 22? D. 32?

?

?

第Ⅱ卷(非选择题
二.填空题(每小题 5 分,共 25 分)

共 100 分)

11.平面内与两定点距离之比为定值 m(m ? 1) 的点的轨迹是_________________. 12.如果直线 AB 与平面 ? 相交于 B,且与 ? 内过点 B 的三条直线 BC,BD,BE 所成的角相同,则 直线 AB 与 CD 所成的角=_________. 13.等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n 和Tn , 若

Sn a 2n ,则 lim n ? ___ ? Tn 3n ? 1 n?? bn

14.有两个等差数列 2,6,10,?,190 及 2,8,14,?,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为

.

2 15. 命题 1)若 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,其定义域是 ?a ? 1,2a ?,则 f ( x) 在区间

? 2 1? ? ? ,? ? 是减函数。 ? 3 3?
2)如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? abn ? c, (a ? 0, b ? 1, c ? 1) 则此数列是等比数列的充 要条件是 a ? c ? 0
3 3)曲线 y ? x ? x ? 1 过点(1,3)处的切线方程为: 4 x ? y ? 1 ? 0 。

4 )已知集合 P ? ?( x, y) | y ? k? , Q ? ( x, y) | y ? a ? 1, a ? 0且a ? 1 , 若P ? Q 只有一个子
x

?

?

集。则 k ? 1 以上四个命题中,正确命题的序号是__________

C1 D A1 C B1

第 -2- 页 共 9 页

A

B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题 12 分) 在锐角△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 m ? 2 sin(A ? C), 3 . ,

?

?

B ? ? n ? ? cos 2 B,2 cos2 ? 1? ,且 m ∥ n 2 ? ?
①求角 B 的大小 ②若 b=1,求△ABC 面积的最大值。

17.(本小题 12 分)在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面三角形 ABC 的边长为 a ,侧棱的长为

2 a ,D 为棱 A1C1 的中点。 2

①求证: BC1 ∥平面 AB1 D ②求二面角 A1 ? AB1 ? D 的大小 ③求点 C1 到平面 AB1 D 的距离。

18.(本小题 12 分)六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只 有一次补考机会,补考不合格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰),若每个学生身体体能 考核合格的概率是

1 2 ,外语考核合格的概率是 ,假设每一次考试是否合格互不影响。 2 3

[]

①求某个学生不被淘汰的概率。 ②求 6 名学生至多有两名被淘汰的概率 ③假设某学生不放弃每一次考核的机会,用 ? 表示其参加补考的次数,求随机变量 ? 的分布 列和数学期望。

第 -3- 页 共 9 页

19 (本小题 12 分) 已知数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列,?bn ? 是公比为 2 的等比数列,S n , Tn 分别是数列 ?an ? 和 ?bn ? 前 n 项和,且 a6 ? b3 , S10 ? T4 ? 45 ①分别求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式。 ②若 S n ? b6 ,求 n 的范围 ③令 cn ? (an ? 2)bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn 。

20.1) (本小题 6 分)在平面直角坐标系中,已知某点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 . 求证:点 P 到直线 l 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

2)(本小题 7 分)已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F,点 P(2,0) ,O 为坐标原点,过 P 的直 线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点, 若向量 求直线 l 的方程。

AB AB

在向量 OF 上的投影为 n,且 (OA ? OB)n 2 ? ?2 ,

21(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 , a ? R ①求函数 f ( x) 的单调区间。

第 -4- 页 共 9 页

②若函数 f ( x) 的图象在点( 2, f ( 2) )处的切线的倾斜角为 45 ,对任意的 t ? ?1,2? , 函数
0

m? ? g ( x) ? x 3 ? x 2 ? f ' ( x) ? ? 在区间 ?t ,3? 上总不是单调函数,求 m 取值范围 2? ?
③求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ??? ? , (n ? N , n ? 2) 2 3 4 n n

[来源:]

第 -5- 页 共 9 页

雅安重点中学 2014-2015 学年下期高三 3 月试题 数
一. 选择题: CDABCDADBD 二. 填空题: 11.圆 12. 900 13.
2 14.1472 15.①② 3





题(理科)参考答案

三.解答题 16.解:1)? m ∥ n ,? 2 sin( A ? C )( 2 cos 2
B ? 1) ? 3 cos 2 B 2

2 sin B cos B ? 3 cos2B sin 2B ? 3 cos2B , cos 2 B ? 0

? tan2B ? 3 , 0 ? B ?
2) ? b ? a ? c ? 3ac
2 2 2

?
2

, ? B=

? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 6

? a 2 ? c 2 ? 1 ? 3ac ,? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 1 ? 3ac ? 2ac ,? ac ?
1 2? 3 ? 2 ? 3 ,当且仅当 a ? c 取等

?S ?

1 1 2? 3 ac sin B ? ac ? 2 4 4

17.向量解法 1)略 2)
? 4
3)

6 a 6
1 2 1 ? ? 2 3 3

18.解:1)正面:

①两个项目都不补考能通过概率: P 1 ?

第 -6- 页 共 9 页

② 两 个 项 目 中 有 一 个 项 目 要 补 考 才 能 通 过 的 概 率 :

1 1 2 1 2 2 5 P2 ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 3 2 3 3 18
③ 两 个 项 目 都 要 补 考 才 能 通 过 的 概 率 :

1 1 2 2 1 P3 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 3 3 18 1 5 1 12 2 ? ? P ? P1 ? P2 ? P3 ? ? ? ? 3 18 18 18 3 1 1 1 1 2 1 1 1 ? ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )2 ? 反面 (间接法) 被淘汰的概率:P 1 ? 2 2 2 3 2 3 3 2 ? P ? 1 ? P1 ? 3 1 2 1 2 496 0 0 6 1 1 5 2 1 2 2 4 2) P ? C 6 ( ) ( ) ? C 6 ( ) ( ) ? C 6 ( ) ( ) ? 3 3 3 3 3 3 729 1 2 1 3) P (? ? 0) ? ? ? 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 7 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 2 2 3 12 1 1 1 P(? ? 2) ? ( ) 2 ? ? 1 ? 2 3 12

?
P

0

1

2

1 3

7 12

1 12

1 7 1 3 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 12 12 4
19.解:1)联立方程可得: an ? n ? 2 , bn ? 2 n 2)? an ? n ? 2 , bn ? 2 n ? S n ?

n(n ? 5) , b6 ? 26 ? 64 2

?

n(n ? 5) ? 64 ,? n ? 10, n ? N * 2
n?1

3)错位相减: Rn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 20.1)见教材 2)法一: ? ? 90 时,与已知矛盾
0

A ( x1 , y1 )

?
B ( x1 , y2 )

设直线方程: y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 2) 2 ?? ? y 2 ? 4 x ? ky ? 4 y ? 8k ? 0 ?
第 -7- 页 共 9 页

?

y1 y 2 ? ?8, y1 ? y 2 ?

4 k
2


2









线











( y1 y 2 ) 2 y ? y2 x1 x2 ? ? 4, x1 ? x2 ? 1 16 4

? (OA ? OB)n 2 ? ?2 ,? cos2 ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) ? ?2 ?
1 ? (?4) ? ?2 , k ? ?1 sec 2 ?

?l : x? y?2 ? 0

法二:设直线 l 的倾斜角为 ?

? n ? cos ? ,设直线方程: x ? m y ? 2 ? n 2 ? cos2 ? ?
1 1 ? ? 2 sec ? 1 ? tan2 ? 1 1? 1 m2 ? m2 1 ? m2

?

m2 ( x1 x2 ? y1 y 2 ) ? ?2 , 1 ? m2

?x ? my ? 2 ?? 2 ? y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,? y1 y2 ? ?8, y1 ? y2 ? 4m ? y ? 4x

? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 ? 4m 2 ? 4 ,? x1 x2 ? 4
?
m2 (4 ? 8) ? ?2 , m2 ? 1,? m ? ?1 2 1? m

?l : x? y?2 ? 0
' 21.解:1)? x ? 0 ,? f ( x ) ?

a a (1 ? x) ?a ? x x

0,1 ) ? ,( 1 , ? ?) ? ? 当 a ? 0 时, f ( x)在(
当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3,函数无单调区间 当 a ? 0 时, f ( x)在( 0,1 ) ? ,( 1 , ? ?) ?

a 2)? f ' (2) ? 1,? ? a ? 1,? a ? ?2,? f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 2 2 m m g ( x) ? x 3 ? x 2 (? ? 2 ? ) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x x 2 2
第 -8- 页 共 9 页

? g ' ( x) ? 3x 2 ? (m ? 4) x ? 2 ,
令 g ' ( x) ? 0,? 3x 2 ? (m ? 2) x ? 2 ? 0, ? ? (m ? 4) 2 ? 24 ? 0

? x1 x 2 ? ?

2 ? 0,? g ' ( x) ? 0有一正一负的两个实根 。 又 t ? ?1,2?, x ? (t ,3) 3

? g ' ( x) ? 0在(t ,3)上只有一个正实根。 ? g ( x)在(t ,3)上不单调,

? g ' (t ) ? 0 ? 3t 2 ? (m ? 4)t ? 2 ? 0 ? g ( x) ? 3x ? (m ? 4) x ? 2 ,? ? ' ?? ? g (3) ? 0 ?27 ? (m ? 4) ? 3 ? 2 ? 0
' 2

2 ? ?(m ? 4)t ? 2 ? 3t 2 m ? 4 ? ? 3t ? ? t ?? , 又 ? t ? ?1,2?恒成立, ?? 37 37 m ? ? ? ? m?? 3 ? 3 ? 2 2 令h(t ) ? ? 3t ,可证 h(t ) ? ? 3t , 在t ? ?1,2? ? ,? h(t ) min ? h(2) ? ?5 t t ?5 ? 37 ?m ? 4 ?37 ?? ? m ? ?9 ?m?? 3 ? 3 ?

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