【数学】上海市吴淞中学2013-2014学年高一下学期期中考试

一、填空题: 1、如果幂函数 f ? x ? ? x? 的图象经过点 (2, 1 2 ) ,则 f (4) 的值等于_____________. ( ) 2 2 2、函数 f ( x) ? a lg(3x ? 2) ? 2 恒过定点.(1,2) 3、若关于 x 的方程 5 ? x a?3 有负根,则实数 a 的取值范围是____________. a ? ?3 a?3 4 、 当 x ? 0 时 , 函 数 y ? (a 2 ? 8) x 的 值 恒 大 于 1 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ______. a ? ?3ora ? 3 5、函数 y ? 4 x ? 2 x?1 ? 1的值域是 . (1,??) 6、若 tanα = 1 ? ,则 tan(α + )=.3 2 4 15 3 4 7、在 ?ABC 中,若 A ? 120 ? ,AB=5,BC=7,则 ?ABC 的面积 S=__________. 8、函数 y ? 2 sin( ? ? 5? ? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是. [ , ] 6 3 6 , tan 9、已知 0 ? ? ? ? 2 ? 2 ? cot ? 5 ? 4?3 3 ? , 则 sin(? ? )的值是 . 2 2 3 10 10、已知 f ( x) ? ? ? 1? x .若 ? ? ( , ? ) ,则 f (? cos ? ) =______. cot 2 2 1? x ? ? ? ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减,则 3 3 2 11、若函数 f ( x) ? sin ?x (ω >0)在区间 [0, ω ? _________. ?3? ? ? ?2? 12、 函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ?的图像与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是__________. 1 ? k ? 3 二、选择题: 13、函数 y ? sin2 2 x 是一个( A.周期为 ? 的奇函数 )D B.周期为 ? 的偶函数 1 C.周期为 ? 2 的奇函数 D.周期为 ? 2 的偶函数 14、已知函数 f ? x? 1 9 ?log x, x ? 0 ? ? 1 ?? , 则 f ? f ? ? ? 的值是( ? ? x 2 ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0 1 9 )B A. 9 B. C. ?9 D. ? 15、若幂函数 y ? m2 ? 3m ? 3 x m ( )A B. m ? ?1 ? ? 2 ?2m?3 的图像不过原点,且关于原点对称,则 m 的取值是 A. m ? ?2 C. m ? ?2或m ? ?1 D. ? 3 ? m ? ?1 16、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2),当x ?[3,5]时,f ( x) ? 2? | x ? 4 | ,则 ( )D A. f (sin ? 6 ) ? f (cos ? 6 ) B. f (sin1) ? f (cos1) C. f (cos 2? 2? ) ? f (sin ) D. f (cos2) ? f (sin 2) . 3 3 三、解答题: 18、设函数 f ( x) ? log2 (4 x) ? log 2 (2 x) , (1)若 t ? log2 x ,求 t 取值范围; 1 ? x ? 4, 4 (2)求 f ( x) 的最值,并给出最值时对应的 x 的值. 解: (1)? t ? log 2 x, 1 ?x?4 4 ? log 2 1 ? t ? log 2 4 4 即? 2 ? t ? 2 2 当 t ? 2即x ? 4时, f ?x?max ? 12 19、在 ?ABC 中,角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c, 且 cos A ? 1 , 3 (1) 求 sin (2)若 a ? (1) ? 2 B?C ? cos 2 A 的值; 2 3 ,求 bc 的最大值. 9 1 ; (2) 9 4 (1) 当 a ? ?1 时, f ( x) ? log2 (? x2 ? 2x ? 3) 2 令 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 所以函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, 3) . 令 t ? ? x2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ?1)2 ? 4 ,则 0 ? t ? 4 所以 f ( x) ? log2 t ? log 2 4 ? 2 3 因此函数 f ( x ) 的值域为 (??, 2] (2) f ( x) ? 1 在区间 [2, 3] 上恒成立等价于 ax2 ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 在区间 [2, 3] 上恒成立 令 g ( x) ? ax2 ? 2x ? 3a ? 2 当 a ? 0 时, g ( x) ? 2 x ? 2 ? 0 ,所以 a ? 0 满足题意. 当 a ? 0 时, g ( x) 是二次函数,对称轴为 x ? ? 当 a ? 0 时,? 解得 a ? ?2 ; 当? 1 , a 1 ?0?2, 函数 g ( x) 在区间 [2, 3] 上是增函数,g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 , a 2 1 5 ? a ? 0 时, ? ? , g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 a 2 5 2 1 5 2 时, 0 ? ? ? , g ( x)min ? g (3) ? 6a ? 4 ? 0 ,解得 a ? ? 5 3 a 2 当a ? ? 综上, a 的取值范围是 [ ? , ? ? ) 2 3 4

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