《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-6_图文

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第六节
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对数与对数函数

1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数
转化为自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2. 理 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司 解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过

的特殊点.

3.知道对数函数是一类重要的函数模型.

4.了解指数函

数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1).

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一、对数及对数运算

1.对数的定义
一般地,如果ax= N(a>0,且a≠1) ,那么数 x叫作以a 为底N的对数, loga N 山 真数 底数 记作x= ,其中 a叫作对数的 ,N叫作 . 东 2.对数的性质 金 太 1 0 (1)loga1= ,loga a= ; 阳 书 (2)alogaN= N ,loga aN= N ; 业 有 (3) 负数 和 零 没有对数. 限 公 司
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3.对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M >0,N>0,那么 (1)loga (MN)= M (2)loga N = (3)loga Mn=

loga M+loga N loga M-loga N nloga M
(n∈R);

; ;

logmb (4)换底公式 logab=log a(a>0 且 a≠1,b>0,m>0,且 m≠1).
m

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二、对数函数定义、图象与性质

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1.指数式与对数式互化:ax=N?x=loga N. 2.对数运算的一些结论: n ①logambn=mlogab.②logab· logba=1.③logab· logbc· logcd=logad. 3. 底数的大小决定了图象相对位置的高低: 不论是 a>1 还是 0<a<1, 山 东 在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. 金 太 4. 对数函数 y=loga x(a>0, 且 a≠1)的图象过定点(1,0), 且过点(a,1), 阳 书 ?1 ? ? ? 业 ? ,-1?,函数图象只在第一、四象限. 有 ?a ? 限 公 司
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1.lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=( A .1 C.3 =2lg 5+lg 2(1+lg 5+lg 2) B.2 D.4

)

解析:原式=2lg 5+lg 2·(1+lg 5)+(lg 2)2

=2lg 5+2lg 2=2.
答案:B

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2.函数f(x)=loga(x+2)-2(a>0,a≠1)的图象必过定点(
A.(1,0) C.(-1,-2) B.(1,-2) D.(-1,-1)

)

解析:由x+2=1得x=-1,f(-1)=-2.
即f(x)的图象过定点(-1,-2). 故选C. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

答案:C

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4 2 2 3.lg 7 -lg 83+lg 7 5=________.
1 2 1 1 解析:原式=lg 4+2lg 2-lg 7-3lg 8+lg 7+2lg 5=2lg 2+2(lg 2+ 1 lg 5)-2lg 2=2.
1 答案:2

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? ? 1 ?2 4.函数 y=log2(3x-a)的定义域是?3,+∞? ?,则 a=________. ? ? a 解析:由 3x-a>0 得 x>3,

?a ? 1 ? 因此,函数 y=log2(3x-a)的定义域为?3,+∞? ?, ? ?

a 2 所以3=3, ∴a=2.

答案:2

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对数运算(自主探究)
例 1 (1)( 3+ 2)2log( A.1 1 C.4
3- 2)

5=(

)

1 B.2 1 D.5

?lg 3?2-lg 9+1?lg 27+lg 8-lg 1 000? (2) =________. lg 0.3· lg 1.2 (3)若 log147=a,14b=5,则 a,b 表示 log3528=________.

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解析

(1)原式=( 3+ 2)log(
3+

3-

2)5

=( 3+ 2)log( 1 =5.

1 2) 5

3 3? ?lg 3? -2lg 3+1 2lg 3+3lg 2-2? ? ? (2)原式= ?lg 3-1?· ?lg 3+2lg 2-1?
2

? ? ? ?

3 ?1-lg 3?· 2?lg 3+2lg 2-1? = ?lg 3-1?· ?lg 3+2lg 2-1? 3 =-2.

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(3)∵14b=5,∴log145=b, 又 log147=a, log1428 ∴log3528=log 35 14 142 log14 7 = log145+log147 = 2-a . a+b

2-a 3 答案 (1)D (2)-2 (3) a+b

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规律方法 对数式的化简与求值的常用思路: (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形 式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算,然后逆用 对数的运算法则,转化为同底数真数的积、商、幂再运算. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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对数函数的图象及应用(师生共研) 例2 (1)(2015年日照一模)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )

山 东 金 x (2)(2014年石家庄二模 )设方程10 =|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2, 太 阳 则( ) 书 业 A.x1x2<0 B.x1x2=0 有 限 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1 公 司
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解析 (1)解法一 易知f(x)为偶函数,
当x>0时,f(x)=lg(x-1),将函数y=lg x图象向右平移一个单位得 到f(x)=lg(x-1)的图象,再根据对称性可知应选B.

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解法二 由|x|-1>0得x<-1或x>1,
可排除C,D; 又x>1时f(x)=lg(x-1)在(1,+∞)上是增函数,故排除A选B.

(2)作出y=10x,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.

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显然x1<0,x2<0. 不妨设x1<x2,

则x1<-1,-1<x2<0,
所以10x1=lg(-x1), 10x2=-lg(-x2),

此时10x1<10x2,
即lg(-x1)<-lg(-x2), 由此得lg(x1x2)<0,

所以0<x1x2<1,
故选D. 答案 (1)B (2)D

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规律方法

在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函
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数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要 求的选项.在研究方程的根时,可把方程的根看作两个函数图象交点

的横坐标,通过研究两个函数图象得出方程根的关系.

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1.(2014年高考福建卷)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所
示,则下列函数图象正确的是( )

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解析:由题图可知 y=logax 过点(3,1), ∴loga3=1,即 a=3. 1? x A 项,y= 3? ? 在 R 上为减函数,错误; ? B 项,y=x3 符合; C 项,y=-x3 在 R 上为减函数,错误; D 项,y=log3(-x)在(-∞,0)上为减函数,错误.
? ? ? ?

答案:B

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对数函数的性质及应用(师生共研)
1 例 3 (2015 年银川调研)对于函数 f(x)=log2(x2-2ax+3), 解答下列 问题: (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围;

山 (3)若函数 f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数 a 的取值范围. 东 金 解析 设 u=g(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2. 太 阳 (1)∵u>0 对 x∈R 恒成立,∴umin=3-a2>0, 书 业 ∴- 3<a< 3(或由 x2-2ax+3>0 的解集为 R 得 Δ=4a2-12<0 求出 有 限 - 3<a< 3). 公 司
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(2)∵f(x)的值域为 R,∴u=g(x)的值域应包含(0,+∞), ∴Δ=4a2-12≥0,即 a≥ 3或 a≤- 3. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞). (3)命题等价于
?g?x?在?-∞,1]上为减函数, ? ?g?x?>0对 x∈?-∞,1]时恒成立, ?a≥1, ?a≥1, ? ? ?? ?a<2. ?g?1?>0

即所求 a 的取值范围是[1,2).

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规律方法 意两点:

对数函数性质的考查多与复合函数联系在一起.要注

(1)要认清复合函数的构成,判断出单调性. (2)不要忽略定义域.

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2.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.

(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若
不存在,说明理由. 解析:(1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1, 这时f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0得-1<x<3,函数f(x)的定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3, 则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).
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(2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, a>0, ? ? 1 因此应有?3a-1 解得 a=2. ? ? a =1, 1 故存在实数 a=2使 f(x)的最小值为 0.

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