标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5:课时跟踪检测(十九) 基本不等式

课时跟踪检测(十九) 基本不等式: ab≤ a+ b 2 层级一 1.下列结论正确的是( ) 1 ≥2 lg x 学业水平达标 A.当 x>0 且 x≠1 时,lg x+ B.当 x>0 时, x+ 1 ≥2 x 1 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2 x 1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值 x 1 解析:选 B A 中,当 0<x<1 时,lg x<0,lg x+ ≥2 不成立;由基本不等式知 B 正 lg x 1 5 1 确;C 中,由对勾函数的单调性,知 x+ 的最小值为 ;D 中,由函数 f(x)=x- 在区间(0,2] x x 2 1 3 上单调递增,知 x-x的最大值为 ,故选 B. 2 2.下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( A.lg(x2+1)≥lg(2x) 1 C. 2 ≤1 x +1 B.x2+1>2x 1 D.x+x≥2 ) 解析:选 C 对于 A,当 x≤0 时,无意义,故 A 不恒成立;对于 B,当 x=1 时,x2 +1=2x, 故 B 不成立; 对于 D, 当 x<0 时, 不成立. 对于 C, x2+1≥1, ∴ 选 C. 3.设 a,b 为正数,且 a+b≤4,则下列各式中正确的一个是( 1 1 A.a+b<1 1 1 C.a+b<2 1 1 B.a+b≥1 1 1 D.a+b≥2 1 ab≥2 ) 1 =1. 4 ) 1 ≤1 成立. 故 x2+1 a+b?2 ?4?2 1 1 解析:选 B 因为 ab≤? ? 2 ? ≤?2? =4,所以a+b≥2 4.四个不相等的正数 a,b,c,d 成等差数列,则( a+d A. > bc 2 a+d C. = bc 2 a+d B. < bc 2 a+d D. ≤ bc 2 解析:选 A 因为 a,b,c,d 成等差数列,则 a+d=b+c,又因为 a,b,c,d 均大 a+d 于 0 且不相等,所以 b+c>2 bc,故 > bc. 2 2 8 5.若 x>0,y>0,且x+y =1,则 xy 有( A.最大值 64 C.最小值 1 2 ) 1 64 B.最小值 D.最小值 64 2 8? 解析:选 D 由题意 xy=? 8x=8 xy,∴ xy≥8,即 xy 有最 ?x+y?xy=2y+8x≥2 2y· 小值 64,等号成立的条件是 x=4,y=16. 1 1 6.若 a>0,b>0,且 + = ab,则 a3+b3 的最小值为________. a b 1 1 解析:∵a>0,b>0,∴ ab=a+b≥2 1 ab,即 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时取等号, ∴a3+b3≥2 ?ab?3≥2 23=4 2,当且仅当 a=b= 2时取等号,则 a3+b3 的最小值为 4 2. 答案:4 2 7.已知正数 x,y 满足 x2+2xy-3=0,则 2x+y 的最小值是________. 3-x2 解析:由题意得,y= , 2x 3-x2 3x2+3 3? 1? ∴2x+y=2x+ = = ?x+x?≥3, 2x 2x 2 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. 答案:3 8.若对任意 x>0, x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x2+3x+1 1 解析:因为 x>0,所以 x+x≥2.当且仅当 x=1 时取等号, 所以有 x 1 1 1 = ≤ = , 1 x +3x+1 2+3 5 x+x+3 2 即 x 1 1 的最大值为 ,故 a≥ . 5 5 x2+3x+1 1 ? 答案:? ?5,+∞? 9.(1)已知 x<3,求 f(x)= 4 +x 的最大值; x-3 1 3 (2)已知 x,y 是正实数,且 x+y=4,求x+y 的最小值. 解:(1)∵x<3, ∴x-3<0, ∴f(x)= 4 4 +x= +(x-3)+3 x-3 x-3 4 =-?3-x+?3-x??+3≤-2 ? ? 4 · ?3-x?+3=-1, 3-x 4 当且仅当 =3-x, 3-x 即 x=1 时取等号, ∴f(x)的最大值为-1. (2)∵x,y 是正实数, 1 3? ?y 3x? ∴(x+y)? ?x+y ?=4+?x+ y ?≥4+2 3. y 3x 当且仅当x= y , 即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号. 又 x+y=4, 1 3 3 ∴x+y ≥1+ , 2 1 3 3 故x+y 的最小值为 1+ . 2 b+c c+a a+b 10.设 a,b,c 都是正数,试证明不等式: + + ≥6. a b c 证明:因为 a>0,b>0,c>0, b a c a b c 所以 + ≥2, + ≥2, + ≥2, a b a c c b b a? ?c a? ?b c? 所以? ?a+b?+?a+c?+?c+b?≥6, b a c a c b 当且仅当a=b,a=c ,b=c , 即 a=b=c 时,等号成立. b+c c+a a+b 所以 a + b + c ≥6. 层级二 2 2 应试能力达标 ) 2 1.a,b∈R,则 a +b 与 2|ab|的大小关系是( A.a +b ≥2|ab| C.a2+b2≤2|ab| 2 2 2 B.a +b =2|ab| D.a2+b2>2|ab| 解析:选 A ∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号 成立). 1 1 1 2.已知实数 a,b,c 满足条件 a>b>c 且 a+b+c=0,abc>0,则 + + 的值( a b c A.一定是正数 C.可能是 0 B.一定是负数 D.正负不确定 ) 解析:选 B 因为 a>b>c 且 a+b+c=0,abc>0,所以 a>0,b<0,c<0,且 a=-(b+ c), 1 1 1 1 1 1 所以a+b+c=- +b+c , b+c 因为 b<0,c<

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