山东省实验中学2007—2008学年度第二次诊断性考试高三数学试题(理科)

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
2007— 学年度第二次诊断性考试高三数学试题(理科) 山东省实验中学 2007—2008 学年度第二次诊断性考试高三数学试题(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 2.考生一律不准使用计算器. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 P={1,2,3,4,5},集合 Q = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5} ,那么下列结论正确的是( A. P ∩ Q = P B. P ∩ Q Q C. P ∩ Q P D. P ∩ Q = Q ( ) )

2. 或 q"为真命题, 且 q 为真命题"的 "p "p A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 3.下列不等式中解集为实数集 R 的是 A. x x + 1 > 0
2

(

)

B. x > 0
2

C.

1 1 1 < x x

D. x + 4 x + 4 > 0
2

4.已知两点 M(-2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 PM PN = 0 ,则点 P 的轨迹方程为(

)

A.

x2 + y2 = 1 16

B. x 2 + y 2 = 4

C. y 2 x 2 = 8

D. x 2 + y 2 = 8 ( )

5.设 b > a > 0, 且a ≠ b = 1, 则此四个数 A.b B. a + b
2 2

1 ,2ab, a 2 + b 2 , b 中最大的是 2
C.2ab D.

1 2
)

6. 已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长, 则这段弧所对圆心角的度数为 ( A. 2 3 B.

3 3

C. 3

D.

3 2
)

7. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f ( 2) > 0, f ( 2) = 若 A. a <

3 4

4a 3 , a 的取值范围是 则 ( a +1 3 3 3 B. a < 且 a ≠ 1 C. a > 且 a < 1 D.-1< a < 4 4 4

8.若函数 f (x ) 是定义在(0,+ ∞ )上的增函数,且对一切 x>0,y>0 满足 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) , 则不等式 f ( x + 6) + f ( x ) < 2 f ( 4) 的解集为 A. (-8,2) B. (2,+ ∞ ) C. (0,2) D. (0,+ ∞ )
2

(

)

9.已知三个互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,那么关于 x 的方程 ax + 2bx + c = 0 (

)

http://www.ltjiajiao.com

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
A.一定有两个不相等的实数根 C.一定没有实数根 B.一定有两个相等的实数根 D.一定有实数根

10.已知函数 f (x ) 的导数 f ′( x) = a ( x + 1)( x a ), 若f ( x)在x = a 处取到极大值,则 a 的取值范 围是 A. (- ∞ ,-1) ( B. (-1,0) C. (0,1) D. (0,+ ∞ ) ) )

11.设 O 是△ABC 内部一点,且 OA + OC = 2OB, 则AOB与AOC 的面积之比为( A.2 B.

1 2

C.1

D.

2 5

12.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 An,等差数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn,且

An 3n + 39 a = (n ∈ N *) ,则使 n 为整数的所有 n 的值的个数为 Bn n+5 bn
A.1 B.2 C.3 D.4

(

)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.若直线 ax + 2 y + 6 = 0 和直线 x + a ( a + 1) y + ( a 2 1) = 0 垂直,则 a 的值是 .

y ≤ x, 14.已知实数 x,y 满足不等式组 x + y ≤ 2, 那么目标函数 z = x + 3 y 的最大值是 y ≥ 0

.

15.在数列中,已知 a1 = 1, a n = 2( a n 1 + a n 2 + + a 2 + a1 )( n ≥ 2) ,这个数列的通项公式是

an =

. .

16.设 x,y ∈ R + 且xy ( x + y ) = 1, 则x + y 的最小值为

三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知集合 A = {x | x 2 6 x + 8 > 0}, B = {x | ( x a )( x 3a ) < 0} (1)若 A B ,求 a 的取值范围; (2)若 A ∩ B = {x | 3 < x < 4} ,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = x 3 + 3 x 2 + 9 x + a.

http://www.ltjiajiao.com

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
(1)求 f (x ) 的单调递减区间; (2)若 f (x ) 在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

19. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 2

3x

2 x < m( 2 x 2 x )

20. (本小题满分 12 分)已知函数 {a n } 的前项 a1=1,其前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n,有 n,

a n , s n 成等差数列.
(1)求证:数列 {S n + n + 2} 成等比数列; (2)求数列 {a n } 的通项公式.

21. (本小题满分 14 分)已知⊙ O : x 2 + y 2 = 1和定点A(2,1), 由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切 线 PQ,切点为 Q,且满足 | PQ |=| PA | . (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径最小值时⊙P 的方程.

22. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) = x 2 ax + a )( x ∈ R ) 同时满足: ①不等式 f ( x) ≤ 0 的解集有且只有一个元素; ②在定义域内存在 0 < x1 < x 2 , 使得不等式 f ( x1 ) > f ( x 2 ) 成立. 设数列 {a n } 的前 n 项和 S n = f (n) .

http://www.ltjiajiao.com

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
(1)求函数 f (x ) 的表达式; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)设各项均不为零的数列 {c n } 中,所有满足 ci ci +1 < 0 的整数 I 的个数称为这个数列 {c n } 的变号数.令 c n = 1

a (n 为正整数) ,求数列 {c n } 的变号数. an

http://www.ltjiajiao.com

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
山东省实验中学 2007—2008 学年度高三第二次诊断性考试

数学试题(理科)参考答案
一,选择题 1—6 CBABA 二,填空题 13.0 或 7—12 ADCDBCD

3 ; 2

14.4;

15. a n =

1,

n =1

n2 2 3 , n ≥ 2

16. 2 + 2 2

三,解答题 17. (本小题满分 10 分) 解: A = {x | 2 < x < 4} (1) a > 0时, B = {x | a < x < 3a},

a ≤ 2 4 ∴ 应满足 ≤a≤2 3 3a ≥ 4
a<0 时,

3a ≤ 2 B = {x | 3a < x < a}应满足 无解 a ≥ 4
a=0 时 B = Φ, 显然不符合条件.



4 ≤ a ≤ 2时, A B ……………………6 分 3

(2)要满足 A ∩ B = {x | 3 < x < 4}显然a > 0, a = 3 时成立 ∵此时 B = {x | 3 < x < 9}, 而A ∩ B = {x | 3 < x < 4} 故所求的 a 值为 3.…………………………10 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x + 9 令 f ′( x) < 0, 解得x < 1或x > 3 ……………………4 分 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为(- ∞ ,-1)和(3,+ ∞ )………………5 分 (2)因为 f ( 2) = 8 + 12 18 + a = 2 + a

f (2) = 8 + 12 + 18 + a = 22 + a

http://www.ltjiajiao.com

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
所以 f ( 2) > f (2). …………………………7 分 因为在(-1,3)上 f ′(x ) >0,所以 f (x ) 在[-1,2]上单调递增, 又由于 f (x ) 在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f (x ) 在区间[-2,2]上的最大值和最小值…………10 分 于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f ( x) = x 3 + 3x 2 + 9 x 2 因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f (x) 在区间[-2,2]上的最小值为-7.……………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:原不等式可化为 2
4x

(1 + m) x x + m < 0,

即 (2 2 x 1)( 2 2 x m) < 0 …………………………4 分 当 m>1 时, 1 < 2
2x

<m

∴0 < x <

1 log 2 m ……………………6 分 2

当 m=1 时, (2 2 x 1) 2 < 0

∴ x ∈ φ …………………………8 分
当 0<m<1 时, m < 2
2x

<1

1 ∴ log 2 m < x < 0 ……………………10 分 2
当 m≤0 时,…………………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ n, a n , S n 为等差数列

∴ 2a n = n + S n …………………………2 分
又 a n = S n S n 1 ( n ≥ 2)

∴ 2( S n S n 1 ) = n + S n …………………………4 分
即 S n = 2 S n 1 + n

http://www.ltjiajiao.com

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
∴ S n + n + 2 = 2 S n 1 + 2n + 2 ∴ S n + n + 2 = 2[ S n 1 + (n 1) + 2] …………………………6 分


Sn + b + 2 =2 S n 1 + (n 1) + 2

∴{S n + n + 2} 成等比数列……………………8 分
(2)由(1)知 {S n + n + 2} 是以 S1 + 3 = a1 + 3 = 4 为首项,2 为公比的等比数列.

∴ S n + n + 2 = 4 2 n 1 = 2 n +1 …………………………10 分
又 2a n = n + S n

∴ 2a n + 2 = 2 n+1

∴ a n = 2 n 1 ………………………………12 分
21. (本小题满分 12 分) 解: (1)连 OP,

∵ Q 为切点,PQ⊥OQ,由勾股定理有

| PQ | 2 =| OP | 2 | OQ | 2
又由已知 | PQ |=| PA |, 故 | PQ | 2 =| PA | 2 即: ( a 2 + b 2 ) 12 = ( a 2) 2 + (b 1) 2 化简得实数 a,b 间满足的等量关系为: 2a + b 3 = 0 …………………………5 分 (2)由 2a + b 3 = 0 ,得 b=-2a+3 .

| PQ |= a 2 + b 2 1 = a 2 + (2a + 3) 2 1 = 5a 2 12a + 8

6 4 = 5(a ) 2 + . 5 5
故当 a =

6 2 2 时, | PQ | min = 5 ,即线段 PQ 长的最小值为 5 ………………10 分 5 5 5

(3)设⊙P 的半径为 R, OP 设⊙O 有公共点,⊙O 的半径为 1,

∴| R 1 |≤| OP |≤ R + 1,即R ≥| OP | 1 | 且R ≤| OP | +1.
而 | OP |=

a 2 + b 2 = a 2 + (2a + 3) 2

http://www.ltjiajiao.com

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
6 9 = 5(a ) 2 + . 5 5
故当 a =

6 3 3 3 5 , 此时b = 2a + 3 = , Rmin = 时, | PQ | min = 5 1. 5 5 5 5

得半径取最小值⊙P 的方程为

6 3 3 ( x ) 2 + ( y ) 2 = ( 5 1) 2 ……………………14 分 5 5 5
本题其它解法参照以上标准酌情给分. 22.解(1)∵ f ( x ) ≤ 0 的解集有且只有一个元素,

∴ = a 2 4a = 0 a = 0或a = 4,
2 当 a=4 时,函数 f ( x) = x 4 x + 4在(0,2) 上递减

故存在 0 < x1 < x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) > f ( x 2 ) 成立 当 a=0 时,函数 f ( x) = x 2 在(0,+∞ ) 上递增 故不存在 0 < x1 < x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) > f ( x 2 ) 成立 综上,得 a=4, f ( x) = x 2 4 x + 4 …………………………5 分 (2)由(1)可知 S n = n 4n + 4
2

当 n=1 时, a1 = s1 = 1 当 n ≥ 2 时, a n = s n s n 1

= (n 2 4n + 4) [(n 1) 2 4(n 1) + 4] = 2n 5 n =1 1, ∴ a n = s n s n 1 = …………………………10 分 n≥2 2 n 5

3, n = 1 (3)由题设 c n = , 4 1 2n 5 , n ≥ 2
∵ n ≥ 3时, c n +1 c n =

4 4 2 n 5 2n 3

=

8 > 0, (2n 5)(2n 3)

http://www.ltjiajiao.com

蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长
∴ n ≥ 3时, 数列{c n } 递增,
1 4 ∵ c 4 = < 0,由1 > 0 n ≥ 5, 可知c 4 c5 < 0, 3 2n 5 即 n ≥ 3 时,有且只有 1 个变号数;
又∵ c1 = 3, c 2 = 5, c 3 = 3, 即c1 c 2 < 0, c 2 c 3 < 0 ∴此处变号数有 2 个. 综上得数列 {c n } 的变号数为 3.………………14 分

http://www.ltjiajiao.com


相关文档

山东省实验中学2007— 2008学年度第二次诊断性考试高三数学(理科)
山东省实验中学2007-2008学年度高三化学第二次诊断性考试试题
山东省实验中学2007—2008学年度高三第二次诊断性考试化学试题
山东省实验中学2007—2008学年度高三第二次诊断性考试数学(理)试题
2007-2008学年度山东省实验中学高三第二次诊断性考试(理)
山东省实验中学2007—2008学年度高三第二次诊断性考试
山东省实验中学2007— 2008学年度第二次诊断性考试高三数学
山东省实验中学2007—2008学年度高三第二次诊断性考试政治试题全国通用
山东省实验中学2007-2008学年度第二次诊断性考试高三数学(文科)
山东省实验中学2007—2008学年度高三第二次诊断性考试试题(化学)
电脑版