2013辽宁省高考数学(文)卷真题Word版_图文

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)



学(供文科考生使用)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? {0,1, 2,3, 4} , B ? {x || x |? 2} ,则 A ? B ? ( (A) {0} (B) {0,1} (C) {0, 2} (D) {0,1, 2} )

(2)复数 z

?

1 的模为( 1? i
(B)



(A)

1 2

2 2

(C)

2
??? ?

(D) 2 )

(3)已知点 A ? (1,3), B ? (4, ?1) ,则与向量 AB 同方向的单位向量为( (A) (

3 4 ,? ) 5 5

(B) (

4 3 ,? ) 5 5

(C) ( ?

3 4 , ) 5 5

(D) ( ?

4 3 , ) 5 5

(4)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 {an } 的四个命题:

p1 :数列 {an } 是递增数列; p3 :数列 {

p2 :数列 {nan } 是递增数列; p4 :数列{an ? 3nd}是递增数列。

an }是递增数列; n
) (B) p3 , p4

其中的真命题为( (A) p1 , p2

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4

(5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分 布直方图如图,数据的分组依次为: [20, 40),

频率 组距

[40,60),[60,80),[80,100]. 若低于 60 分的人数是 15.
则该班的学生人数是 (A)45 (B)50 (C)55 (D)60

0.02 0.015 0.01 0.005 O 20 40 60 80 100 0 成绩/分

(6)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 开始

1 若 a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? ( 2 ? ? 2? 5? (A) (B) (C) (D) 3 6 6 3
(7)已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 , 则 f (lg 2) ? f (lg ) ? (

) 输入 n

S=0,i=2 否 i≤n 是 输出 S

(A) ?1 (B) 0 (C)1 (D) 2 (8)执行如图所示的程序框图,若输入 n ? 8 , 则输出 s ? ( ) (A)

1 2



S?S?

4 9

(B)

6 7

(C)

8 9

(D)

10 11

1 i ?1
2

结束 i=i+2 )

(9)已知点 O(0,0), A(0, b), B(a, a3 ) 。若 ?OAB 为直角三角形,则必有( (A) b ? a
3

(B) b ? a ?
3 3

1 a
3

(C) (b ? a )(b ? a ? ) ? 0
3

1 a

(D) | b ? a | ? | b ? a ?
3

1 |? 0 a

(10)已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上。若 AB ? 3, AC ? 4 , AB ? AC ,

AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为(
(A)



3 17 2

(B) 2 10

(C)

13 2

(D) 3 10

x2 y 2 (11)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交与 A,B 两点,连接 AF, a b
BF。若 | AB |? 10,| BF |? 8, cos ?ABF ? (A)

3 5

(B)

5 7

4 ,则 C 的离心率为( 5 4 6 (C) (D) 5 7



(12)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 , g ( x) ? ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? 8 。设

H1 ( x) ? max{ f ( x), g ( x)}, H 2 ( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ( max{ p, q} 表示 p, q 中的较大值, min{ p, q} 表
示 p, q 中的较小值) 。记 H1 ( x) 的最小值为 A, H 2 ( x) 的最大值为 B,则 A ? B ? ( (A) a ? 2a ? 16
2



(B) a ? 2a ? 16
2

(C) ?16

(D)16

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 1 2 1 2 1 1 (13)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为

4

(14)已知等比数列 {an } 是递增数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和。若 a1, a3 是方程 x ? 5x ? 4 ? 0 的两个根,
2

则 S6 ?

.

x2 y 2 (15)已知 F 为双曲线 C : ? ? 1 的左焦点, P, Q 为 C 上的点。若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍, 9 16
点 A(5, 0) 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为 。

(16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的 人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值 为 。

三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 设向量 a ? ( 3sin x,sin x), b ? (cos x,sin x) , x ? [0, (I)若 | a |?| b | ,求 x 的值; (II)设函数 f ( x) ? a ? b ,求

?
2

].

f ( x) 的最大值。

(18) (本小题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点。 (I)证明: BC ? 平面PAC ; (II)设 Q 为 PA 的中点, G 为 ?AOC 的重心,求证: QG / /平面PBC 。

P

Q O A G C
(19) (本小题满分 12 分) 现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答。试求: (Ⅰ)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (Ⅱ)所取的 2 道题不是同一类题的概率。 (20) (本小题满分 12 分) 如图,抛物线

B

C1 : x 2 ? 4 y, C2 : x2 ? ?2 py( p ? 0).



M ( x0 , y0 ) 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原
点 O 时, A, B 重合于 O) 。当 x0 ? 1 ? 2 时,切线 MA 的斜率为 ? (I)求 p 的值; (II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程( A, B 重合于 O 时,中点为 O) 。

1 。 2

(21) (本小题满分 12 分) (I)证明:当 x?[0,1] 时,

2 x ? sin x ? x ; 2

(II)若不等式 ax ? x 2 ?

x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 对 x ? [0,1] 恒成立,求 a 的取值范围。 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为⊙O 直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE,BE。证明: (I) ?FEB ? ?CEB ; (II) EF ? AD ? BC.
2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程 分别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ? 4 ) ? 2 2. (I)求 C1与C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1与C2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为

?

? x ? t3 ? a ? ,求 ? b 3 ( t ? R 为参数) a , b 的值。 ? y ? t ?1 ? 2
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ? a ,其中 a ? 1 。 (I)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 4? | x ? 4 | 的解集; (II)已知关于 x 的不等式 | f (2 x ? a) ? 2 f ( x) |? 2 的解集为 {x |1 ? x ? 2} ,求 a 的值。


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