丰台区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

丰台区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 在区域 A.0
2 2 内任意取一点 P(x,y),则 x +y <1 的概率是(

姓名__________

分数__________



B.

C.

D. )

2. 过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=10,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( A.1 3. 设实数 B.2 C.3 D.4 )

,则 a、b、c 的大小关系为(

A.a<c<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c 4. 已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b,则下列 不等式中成立的是( A.a<1<b 5. 若椭圆 A.1 + ) B.a<b<1 =1 的离心率 e= B. 或 C.1<a<b ,则 m 的值为( C. ) D.3 或 D.b<1<a

6. 已知函数 f(x)= x3+(1﹣b)x2﹣a(b﹣3)x+b﹣2 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是﹣3,则不 等式组 A. B.
2 2 所确定的平面区域在 x +y =4 内的面积为(



C.π

D.2π ) B. C.

7. 函数 y=x3﹣x2﹣x 的单调递增区间为( A. D.

8. 经过点 M ?1,1? 且在两轴上截距相等的直线是( A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 1 或 y ? 1 ( )



B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 0

9. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为

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A.

B.

C.

D.

10.设 f(x)是定义在 R 上的恒不为零的函数,对任意实数 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y),若 a1= , an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( A.[ ,2) B.[ ,2] C.[ ,1) D.[ ,1] )

11.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 0<x≤1 时,f(x)=2x,则 f (2015)=( A.2 B.﹣2 C.﹣ D.



12.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为(



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A.1

B.

C.

D.

二、填空题
13.给出下列命题: ①存在实数 α,使 ②函数 ③ 是函数 是偶函数 的一条对称轴方程

④若 α、β 是第一象限的角,且 α<β,则 sinα<sinβ 其中正确命题的序号是 .

14.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(? UA)∪B=
2

. .

15.抛物线 y =6x,过点 P(4,1)引一条弦,使它恰好被 P 点平分,则该弦所在的直线方程为 16.不等式 . 17.若命题“? x∈R,x2﹣2x+m≤0”是假命题,则 m 的取值范围是 18.已知 f(x)=x(ex+ae-x)为偶函数,则 a=________. . 的解集为 R,则实数 m 的范围是

三、解答题
19.已知向量 , 满足| |=1,| |=2, 与 的夹角为 120°. (1)求 及| + |; (2)设向量 + 与 ﹣ 的夹角为 θ,求 cosθ 的值.

20.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <2π )一个周期内的一系列对应值如表: x 0

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y

1

0

﹣1

(1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x)+ sin2x 的单调递增区间.

21.如图,A 地到火车站共有两条路径



,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所

用时间落在个时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望 。

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22.(1)已知 f(x)的定义域为[﹣2,1],求函数 f(3x﹣1)的定义域; (2)已知 f(2x+5)的定义域为[﹣1,4],求函数 f(x)的定义域.

23.(本小题满分 12 分) 数列 {bn } 满足: bn?1 ? 2bn ? 2 , bn ? an?1 ? an ,且 a1 ? 2, a2 ? 4 . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前项和 Sn .

24.已知函数 f(x)=4 (Ⅰ)当 x∈[0,

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3.

]时,求函数 f(x)的值域; , =2+2cos(A+C),

(Ⅱ)若△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = 求 f(B)的值.

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丰台区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:根据题意,如图,设 O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1), 分析可得区域 表示的区域为以正方形 OABC 的内部及边界,其面积为 1; = ,

x2+y2<1 表示圆心在原点,半径为 1 的圆,在正方形 OABC 的内部的面积为
2 2 由几何概型的计算公式,可得点 P(x,y)满足 x +y <1 的概率是

=



故选 C.

【点评】本题考查几何概型的计算,解题的关键是将不等式(组)转化为平面直角坐标系下的图形的面积,进 而由其公式计算. 2. 【答案】D
2 【解析】解:抛物线 y =4x 焦点(1,0),准线为 l:x=﹣1,

设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为 C、G、D,EF 交纵轴于点 H,如图所示: 则由 EG 为直角梯形的中位线知, EG= = = =5,

∴EH=EG﹣1=4, 则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 4. 故选 D.

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【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想.

3. 【答案】A 【解析】解:∵ ∴a<c<b. 故选:A. 4. 【答案】A 【解析】解:由 f(x)=ex+x﹣2=0 得 ex=2﹣x, 由 g(x)=lnx+x﹣2=0 得 lnx=2﹣x, 作出计算 y=ex,y=lnx,y=2﹣x 的图象如图: ∵函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b, ∴y=ex 与 y=2﹣x 的交点的横坐标为 a,y=lnx 与 y=2﹣x 交点的横坐标为 b, 由图象知 a<1<b, 故选:A.
0.1 0 ,b=2 >2 =1,0< 0 <0.9 =1.

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【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用函数转化为两个图象的交点问题,结合数形结合是解决本题的 关键. 5. 【答案】D 【解析】解:当椭圆 由 e= 当椭圆 由 e= 即 m= 故选 D 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.解题时要对椭圆的焦点在 x 轴和 y 轴进行分类讨论. ,得 + = + =1 的焦点在 x 轴上时,a= ,即 m=3 ,b= ,c= ,b= ,c=

=1 的焦点在 y 轴上时,a= = ,

,得 .

6. 【答案】 B 【解析】解:因为函数 f(x)的图象过原点,所以 f(0)=0,即 b=2. 则 f(x)= x3﹣x2+ax,

2 函数的导数 f′(x)=x ﹣2x+a,

因为原点处的切线斜率是﹣3, 即 f′(0)=﹣3, 所以 f′(0)=a=﹣3, 故 a=﹣3,b=2, 所以不等式组 则不等式组 如图阴影部分表示, 所以圆内的阴影部分扇形即为所求. ∵kOB=﹣ ,kOA= , 为
2 2 确定的平面区域在圆 x +y =4 内的面积,

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∴tan∠BOA=

=1, , ,扇形的面积是圆的面积的八分之一, ×4×π = ,

∴∠BOA=

∴扇形的圆心角为

2 2 ∴圆 x +y =4 在区域 D 内的面积为

故选:B

【点评】本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数 a,b 的是值,然后借助不等式 区域求解面积是解决本题的关键. 7. 【答案】A 【解析】解:∵y=x ﹣x ﹣x,
2 ∴y′=3x ﹣2x﹣1, 3 2

令 y′≥0
2 即 3x ﹣2x﹣1=(3x+1)(x﹣1)≥0

解得:x≤﹣ 或 x≥1 故函数单调递增区间为 故选:A. 【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系.属基础题. 8. 【答案】D 【解析】 ,

考 点:直线的方程.

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9. 【答案】C 【解析】 解: 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向, 从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.

10.【答案】C 【解析】解:∵对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y), ∴令 x=n,y=1,得 f(n)?f(1)=f(n+1), 即 = =f(1)= ,

∴数列{an}是以 为首项,以 为等比的等比数列,
n ∴an=f(n)=( ) ,

∴Sn= 故选 C.

=1﹣( )n∈[ ,1).

【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题,解题的关键是根据对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y) 得到数列{an}是等比数列,属中档题. 11.【答案】B 【解析】解:因为 f(x+3)=f(x),函数 f(x)的周期是 3, 所以 f(2015)=f(3×672﹣1)=f(﹣1); 又因为函数 f(x)是定义 R 上的奇函数,当 0<x≤1 时,f(x)=2 , 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 即 f(2015)=﹣2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用,属于基础题,解答此题的关键是分析出 f(2015)=f (3×672﹣1)=f(﹣1).
x

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12.【答案】 C

【解析】解:第一次循环 第四次循环得到的结果 …

第二次循环得到的结果

第三次循环得到的结果

所以 S 是以 4 为周期的,而由框图知当 k=2011 时输出 S ∵2011=502×4+3 所以输出的 S 是 故选 C

二、填空题
13.【答案】 ②③ . 【解析】解:①∵sinαcosα= sin2α∈[ 错误, ②函数 ③当 时, =cosx 是偶函数,故②正确, =cos(2× + )=cosπ=﹣1 是函数的最小值,则 是函数 , ],∵ > ,∴存在实数 α,使 错误,故①

的一条对称轴方程,故③正确, ④ 当 α= ,β= ,满足 α、β 是第一象限的角,且 α<β,但 sinα=sinβ,即 sinα<sinβ 不成立,故④错误,

故答案为:②③. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及三角函数的图象和性质,考查学生的运算和推理能力.

14.【答案】 {2,3,4} . 【解析】解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2}, ∴CUA={3,4}, 又 B={2,3}, ∴(CUA)∪B={2,3,4}, 故答案为:{2,3,4}

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15.【答案】 3x﹣y﹣11=0 . 【解析】解:设过点 P(4,1)的直线与抛物线的交点 为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 即有 y1 =6x1,y2 =6x2,

相减可得,(y1﹣y2)(y1+y2)=6(x1﹣x2), 即有 kAB= = = =3,

则直线方程为 y﹣1=3(x﹣4), 即为 3x﹣y﹣11=0. 将直线 y=3x﹣11 代入抛物线的方程,可得 9x2﹣72x+121=0,判别式为 722﹣4×9×121>0, 故所求直线为 3x﹣y﹣11=0. 故答案为:3x﹣y﹣11=0. 16.【答案】 .

【解析】解:不等式 x2﹣8x+20>0 恒成立



2 可得知:mx +2(m+1)x+9x+4<0 在 x∈R 上恒成立.

显然 m<0 时只需△=4(m+1) ﹣4m(9m+4)<0, 解得:m<﹣ 或 m> 所以 m<﹣ 故答案为: 17.【答案】 m>1 .
2 【解析】解:若命题“?x∈R,x ﹣2x+m≤0”是假命题, 2 则命题“?x∈R,x ﹣2x+m>0”是真命题,

2

即判别式△=4﹣4m<0, 解得 m>1,

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故答案为:m>1 18.【答案】 【解析】解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立, 即(-x)(e-x+aex)=x(ex+ae-x), ∴a(ex+e-x)=-(ex+e-x),∴a=-1. 答案:-1

三、解答题
19.【答案】

【解析】解:(1) ∴ ∴ ; ; =

=

; ;

(2)同理可求得

; . 求 的方法,以及向量夹角



=

【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式,根据 余弦的计算公式. 20.【答案】 【解析】(本题满分 12 分) 解:(1)由表格给出的信息知,函数 f(x)的周期为 T=2( 所以 ω =

﹣0)=π . .

=2,由 sin(2×0+φ )=1,且 0<φ <2π ,所以 φ = )=cos2x…6 分 sin2x+cos2x=2sin(2x+ ),

所以函数的解析式为 f(x)=sin(2x+ (2)g(x)=f(x)+ 令 2k ≤2x+ sin2x= ≤2k

,k∈Z 则得 kπ ﹣

≤x≤kπ +

,k∈Z

故函数 g(x)=f(x)+ 用,属于基本知识的考查.

sin2x 的单调递增区间是:,k∈Z…12 分

【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性,周期公式的应

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21.【答案】 【解析】(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2,用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0。1+0。2+0。3=0。6,P(A2)=0。1+0。4=0。5, P(A1) >P(A2), P(B2) >P(B1), 甲应选择 Li 乙应选择 L2。 P(B1)=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8,P(B2)=0。1+0。4+0。4=0。9, (2)A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ)知 ,又由题意知,A,B 独立,

22.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 y=f(x)的定义域为[﹣2,1], 由﹣2≤3x﹣1≤1 得:x∈[﹣ , ], 故函数 y=f(3x﹣1)的定义域为[﹣ , ];’ (2)∵函数 f(2x+5)的定义域为[﹣1,4], ∴x∈[﹣1,4], ∴2x+5∈[3,13], 故函数 f(x)的定义域为:[3,13]. 23.【答案】(1) bn ? 2n?1 ? 2 ;(2) Sn ? 2n?2 ? (n2 ? n ? 4) . 【解析】 试题分析:(1)已知递推公式 bn?1 ? 2bn ? 2 ,求通项公式,一般把它进行变形构造出一个等比数列,由等比 数列的通项公式可得 bn ,变形形式为 bn?1 ? x ? 2(bn ? x) ;(2)由(1)可知 an ? an?1 ? bn ? 2n ? 2(n ? 2) , 这是数列 {an } 的后项与前项的差,要求通项公式可用累加法,即由 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

?(a2 ? a1 ) ? a1 求得.
试题解析:(1) bn?1 ? 2bn ? 2 ? bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) ,∵ 又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 2 ? 4 ,

bn?1 ? 2 ? 2, bn ? 2

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∴ an ? (2 ? 2 ? 2 ?
2 3

? 2 n ) ? 2n ? 2 ?

2(2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2n?1 ? 2n . 2 ?1

4(1 ? 2n ) n(2 ? 2n) ? ? 2n? 2 ? (n2 ? n ? 4) . ∴ Sn ? 1? 2 2
考点:数列的递推公式,等比数列的通项公式,等比数列的前项和.累加法求通项公式. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)=4 +3=2 ∵x∈[0, ∴2x+ ∈[ ], , ], sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2 sin2x+2cos2x=4sin(2x+ ). sin2x﹣

∴f(x)∈[﹣2,4]. (Ⅱ)由条件得 sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C), ∴sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C), 化简得 sinC=2sinA, 由正弦定理得:c=2a, 又 b= , a2cosA,解得:cosA= ,

由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4 故解得:A= ,B= ,C= ,

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∴f(B)=f(

)=4sin

=2.

【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理,考查了推 理能力和计算能力,属于中档题.

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