北京市2018届高三数学文一轮复习 2.10 导数的概念及其运算课件 精品_图文

高三一轮复习 第二章 2.10导数的概念及其运算 考纲再现 要求层次 考试内容 导数的概念 导数的几何意义 根据导数定义求函数y=c,y=x, y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的导数 导数的四则运算 导数公式表 了解 √ √ √ √ √ 理解 掌握 导数是高考的热点,一般不单独出题,往往和导数的几何意义结 合,既有选择题,填空题,又有解答题,难度中档左右,解答题作 为把关题存在.导数重点考查一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,与三角函数等的求导公式,导数运算重点 是高次多项式函数,分式函数,指数型,对数型函数,以及初等 基本函数的和、差、积、商的运算方法,试题的命制往往与导数 的应用结合,解决单调性,极值,最值,切线,方程的根,参数 的范围等问题. 真题再现 2. 【2016高考北京数学】(本小题13分)设函数 f ( x) ? xe 点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (e ? 1) x ? 4. (1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间. a? x ? bx ,曲线 y ? f ( x)在 知识梳理 1.函数的平均变化率 f x2 -f x1 Δy (1)概念:对于函数 y = f(x) , = ,叫做函数 y Δx x2-x1 =f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率. (2)几何意义:函数 y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率. (3)物理意义:函数 y= f(x) 表示变速运动的质点的运动方 程,就是该质点在[x1,x2]上的平均速度. 2.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 ①定义 Δy 称 函 数 y = f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化 率 lim = lim Δx→0 Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0? 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 Δx f?x0+Δx?-f?x0? Δy y′|x=x0,即 f′(x0)=lim ) =lim . Δx→0 Δx Δx→0 Δx ②几何意义 函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t) 对时间 t 的导数). 相应地, 切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)函数 f(x)的导函数 f?x+Δx?-f?x? 称函数 f′(x)=lim 为 f(x)的导函数. Δx→0 Δx 3.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xa(a∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 导函数 f′(x)=0 f′(x)=axa-1 f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=axln a f′(x)=ex 1 f′(x)=xln a 1 f′(x)=x 4.导数的运算法则和复合函数的导数 (1)导数的运算法则 ①[ f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); ②[ f(x)· g(x)] ′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); ? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? ③? (g(x)≠0). ?′= [g?x?]2 ?g?x?? 题型一 导数的概念 例 1、用导数的定义求函数 y= 1 在 x=1 处的导数. x 解析 设 f(x)= 1 , x 1 则Δy=f(1+Δx)-f(1)= -1 1+Δx 1- 1+Δx 1- 1+Δx 1+ 1+Δx = = 1+Δx 1+Δx 1+ 1+Δx -Δx 1 Δy = , =- , Δ x 1+Δx 1+ 1+Δx 1+Δx 1+ 1+Δx Δy ∴lim =lim Δx →0 Δx Δx→0 1 ∴y′|x=1=- . 2 -1 1 =- . 2 1+Δx 1+ 1+Δx 跟踪训练 已知 f(x)在 x=x0 处的导数为 4, f?x0+2Δx?-f?x0? 则lim =________. Δx→0 Δx 解析 f x0+2Δx -f x0 lim Δx →0 Δx f x0+2Δx -f x0 ×2 =lim 2Δx Δx →0 =2lim Δx →0 f x0+2Δx -f x0 2Δx =2f′(x0)=2×4=8. 答案 8 思维升华 根据导数的定义,求函数 y=f(x)在 x=x0 处导数的步骤 (1)求函数值的增量 Δy=f(x0+Δx)=f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率Δx= ; Δx Δy (3)计算导数 f′(x0)=lim . Δx→0 Δx 题型二 导数几何意义 导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选 择题、填空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度偏小,属 中低档题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)求切线方程; (2)求切点坐标; (3)求参数的值 角度一 求切线方程 1.已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线 过点(2,7),则 a=________. [ 解析] ∵ f′(x) =3ax2 +1 ,∴f′(1) =3a+1,又 f(1) =a +2,所以切线的方程为 y-(a+2)=(3a+1)·(x-1),又切线过 点(2,7),所以 7-(a+2)=3a+1.即 a=1. [ 答案] 1 角度二 求切点坐标 1 2. 设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P x 处的切线垂直,则 P 的坐标为________. [ 答案] (1,1) 角

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