丰润区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

丰润区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若该程序运行后输出的结果不大于 20,则输入的整数 i 的 最大值为( )

姓名__________

分数__________

A.3

B.4

C.5

D.6

2. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

D1 A1

C1 B1 P

D A
A.直线

C B
B.圆 C.双曲线 D.抛物线 个单位,所得函

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力. 3. 将函数 y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 数图象的一条对称轴方程是( A.x=π B. C. ) D.

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精选高中模拟试卷

4. 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中 恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6, 7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 431 257 393 027 556 488 730 据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为( A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 5. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知在 Sn 中有 S17<0,S18>0,那么 Sn 中最小的是( A.S10 B.S9 C.S8 D.S7 ) 6. 不等式 x(x﹣1)<2 的解集是( 7. 两个随机变量 x,y 的取值表为 x y A.x 与 y 是正相关 B.当 y 的估计值为 8.3 时,x=6 C.随机误差 e 的均值为 0 D.样本点(3,4.8)的残差为 0.65 8. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定 正确的是( ) B.f(x)为偶函数 ) C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 A.f(x)为奇函数 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ) ) 458 113 ) 569 537 683 989

A.{x|﹣2<x<1} B.{x|﹣1<x<2} C.{x|x>1 或 x<﹣2} D.{x|x>2 或 x<﹣1}

^ 若 x,y 具有线性相关关系,且y=bx+2.6,则下列四个结论错误的是(

9. 函数 y=2|x|的图象是(

A.

B.

C.

D.

10.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.akm B. akm ) D. akm C.2akm

11.设集合 A={1,2,3}, B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为(

)。

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A3 B4 C5 D6
12.如图所示,网格纸表示边长为 1 的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( ) B. 6 10 +3 5 +14 D. 4 10 + 3 5 +15 A. 6 10 + 3 5 +15 C. 6 10 + 3 5 +15

【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识,意在考查空间想象能力和基本运算能力.

二、填空题
13.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=( )t﹣a(a 为常数),

如图所示,据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开 始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

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14.对于集合 M,定义函数

对于两个集合 A,B,定义集合 A△ B={x|fA(x)fB(x) .

=﹣1}.已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合 A△ B 的结果为

15.已知 sin ? ? cos ? ?

1 sin ? ? cos ? , ? ? (0, ? ) ,则 的值为 7? 3 sin 12




16.椭圆

+

=1 上的点到直线 l:x﹣2y﹣12=0 的最大距离为

17.函数 f(x)=x2ex 在区间(a,a+1)上存在极值点,则实数 a 的取值范围为 18 . 已 知 函 数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ?
2



1 ? 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x ? , 则 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为 2 6

___________. 【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想.

三、解答题
19.某游乐场有 A、B 两种闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自独立进行游戏 A,丙丁两 人各自独立进行游戏 B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为 ,丙、丁两人各自闯关成功的概率均为 . (1)求游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关成功的人数的概率; (2)记游戏 A、B 被闯关总人数为 ξ,求 ξ 的分布列和期望.

20. CE=1, CE 为边向 Rt△ BEC 外作正△ EBA ∠EBC=30°, ∠BEC=90°, 如图, 在 Rt△ ABC 中, 现在分别以 BE, 和正△ CED. (Ⅰ)求线段 AD 的长; (Ⅱ)比较∠ADC 和∠ABC 的大小.

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21.已知函数 f(x)=e﹣x(x2+ax)在点(0,f(0))处的切线斜率为 2. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g(x)=﹣x(x﹣t﹣ )(t∈R),若 g(x)≥f(x)对 x∈[0,1]恒成立,求 t 的取值范围; (Ⅲ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=(1+ )an, 求证:当 n≥2,n∈N 时 f( )+f( )+L+f( )<n?( )(e 为自然对数的底数,e≈2.71828).

22. 记函数 f (x) =log2 (2x﹣3) 的定义域为集合 M, 函数 g ( x) = (Ⅰ)集合 M,N; (Ⅱ)集合 M∩N,?R(M∪N).

的定义域为集合 N. 求:

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23.(选做题)已知 f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|.

24.在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2csinA= (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2,a2+b2=6,求△ABC 的面积.

a.

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丰润区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 s=0,n=0 满足条件 n<i,s=2,n=1 满足条件 n<i,s=5,n=2 满足条件 n<i,s=10,n=3 满足条件 n<i,s=19,n=4 满足条件 n<i,s=36,n=5 所以,若该程序运行后输出的结果不大于 20,则输入的整数 i 的最大值为 4, 有 n=4 时,不满足条件 n<i,退出循环,输出 s 的值为 19. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题. 2. 【答案】D.

第Ⅱ卷(共 110 分) 3. 【答案】B 【解析】解:将函数 y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到 y=cos x,再向右平移 由 (x )=kπ,得 x 个单位得到 y=cos[ (x =2kπ, )],

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+2kπ,k∈Z, , ,

当 k=0 时,

即函数的一条对称轴为 故选:B

【点评】 本题主要考查三角函数的对称轴的求解, 利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关 键. 4. 【答案】B 【解析】解:由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191、271、932、812、393,共 5 组随机数, ∴所求概率为 故选 B. 5. 【答案】C 【解析】解:∵S16<0,S17>0, ∴ ∴a8<0,a9>0, ∴公差 d>0. ∴Sn 中最小的是 S8. 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 6. 【答案】B 【解析】解:∵x(x﹣1)<2, ∴x ﹣x﹣2<0, 即(x﹣2)(x+1)<0, ∴﹣1<x<2, 即不等式的解集为{x|﹣1<x<2}. 故选:B 7. 【答案】
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2



=8(a8+a9)<0,

=17a9>0,

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^ ^ 【解析】选 D.由数据表知 A 是正确的,其样本中心为(2,4.5),代入y=bx+2.6 得 b=0.95,即y=0.95x+ ^ 2.6,当y=8.3 时,则有 8.3=0.95x+2.6,∴x=6,∴B 正确.根据性质,随机误差e的均值为 0,∴C 正确.样 ^ 本点(3,4.8)的残差e=4.8-(0.95×3+2.6)=-0.65,∴D 错误,故选 D. 8. 【答案】C 【解析】解:∵对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, ∴令 x1=x2=0,得 f(0)=﹣1 ∴令 x1=x,x2=﹣x,得 f(0)=f(x)+f(﹣x)+1, ∴f(x)+1=﹣f(﹣x)﹣1=﹣[f(﹣x)+1], ∴f(x)+1 为奇函数. 故选 C 【点评】本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 9. 【答案】B
| x| |x| 【解析】解:∵f(﹣x)=2 ﹣ =2 =f(x) |x| ∴y=2 是偶函数, |x| 又∵函数 y=2 在[0,+∞)上单调递增,故 C 错误.

且当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=2,故 A,D 错误 故选 B 【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换,其中根据函数的解析式,分析出函数的性质,进而得到函 数的形状是解答本题的关键. 10.【答案】D 【解析】解:根据题意, △ABC 中,∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°, ∵AC=BC=akm, ∴由余弦定理,得 cos120°= 解之得 AB= 故选:D. akm, akm, ,

即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为

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【点评】本题给出实际应用问题,求海洋上灯塔 A 与灯塔 B 的距离.着重考查了三角形内角和定理和运用余 弦定理解三角形等知识,属于基础题. 11.【答案】B 【解析】由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4 个元素,故选 B 12.【答案】C 【解析】还原几何体,由三视图可知该几何体是四棱锥,且底面为长 6 ,宽 2 的矩形,高为 3,且 VE ^ 平面

1 1 1 ABCD , 如 图 所 示 , 所 以 此 四 棱 锥 表 面 积 为 S = 2 创 6 ? 10 + 创 2 3+ 创 2 2 2 2

45 + 2 ? 6

= 6 10 + 3 5 +15 ,故选 C.
V 46 C 46 2 6 B

10

10 3 D E 1 1

A

二、填空题
13.【答案】0.6 【解析】解:当 t>0.1 时,可得 1=( ∴0.1﹣a=0 a=0.1 由题意可得 y≤0.25= , 即( )t﹣0.1≤ , )0.1﹣a

即 t﹣0.1≥

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解得 t≥0.6, 由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. 故答案为:0.6 【点评】本题考查函数、不等式的实际应用,以及识图和理解能力.易错点:只单纯解不等式,而忽略题意, 得到其他错误答案. 14.【答案】 {1,6,10,12} .

【解析】解:要使 fA(x)fB(x)=﹣1, 必有 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈B 且 x?A} ={6,10}∪{1,12}={1,6,10,12,}, 所以 A△B={1,6,10,12}. 故答案为{1,6,10,12}. 【点评】本题是新定义题,考查了交、并、补集的混合运算,解答的关键是对新定义的理解,是基础题.

15.【答案】 【解析】

17( 6 ? 2) 3

sin

2? 6 7? ? ? ? ? ?? ? ? , ? sin ? ? ? ? sin cos ? cos sin ? 4 12 4 3 4 3 ?4 3?

?

17 sin ? ? cos ? 17 4 ? ? ? 7? 3 2? 6 sin 12


?

6? 2 3

? , 故答案为

17( 6 ? 2) . 3

考点:1、同角三角函数之间的关系;2、两角和的正弦公式. 16.【答案】 4

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【解析】解:由题意,设 P(4cosθ,2 则 P 到直线的距离为 d= 当 sin(θ﹣ 故答案为:4

sinθ) = , ,

)=1 时,d 取得最大值为 4 .

17.【答案】 (﹣3,﹣2)∪(﹣1,0) .

2 x x 2 x x 【解析】解:函数 f(x)=x e 的导数为 y′=2xe +x e =xe (x+2),

令 y′=0,则 x=0 或﹣2, ﹣2<x<0 上单调递减,(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上单调递增, ∴0 或﹣2 是函数的极值点,
2 x ∵函数 f(x)=x e 在区间(a,a+1)上存在极值点,

∴a<﹣2<a+1 或 a<0<a+1, ∴﹣3<a<﹣2 或﹣1<a<0. 故答案为:(﹣3,﹣2)∪(﹣1,0). 18.【答案】1 【 解 析 】

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1) (2)ξ 可取 0,1,2,3,4, P(ξ=0)=(1﹣ )2(1﹣ )2= P(ξ=1)= ( )(1﹣ ) ; (1﹣ )
2



( )2+

=



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P(ξ=2) = ; P(ξ=3)= P(ξ=4)= ∴ξ 的分布列为: 0 1 2 ξ P Eξ=0× +1× +2× 3 4 = . = ; + + =

+3×

+4×

= .

【点评】本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率,等可能事件的概率,体现了分类讨论的数学 思想,属于中档题. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)在 Rt△BEC 中,CE=1,∠EBC=30°,∴BE= 在△ADE 中,AE=BE= 由余弦定理可得 AD= (Ⅱ)∵∠ADC=∠ADE+60°,∠ABC=∠EBC+60°, ∴问题转化为比较∠ADE 与∠EBC 的大小. 在△ADE 中,由正弦定理可得 ∴sin∠ADE= ∴∠ADE<30° ∴∠ADC<∠ABC. 【点评】本题考查余弦定理的运用,考查正弦定理,考查学生分析解决问题的能力,正确运用正弦、余弦定理 是关键. 21.【答案】
x 2 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)=e﹣ (x +ax), x 2 x x 2 ∴f′(x)=﹣e﹣ (x +ax)+e﹣ (2x+a)=﹣e﹣ (x +ax﹣2x﹣a);



,DE=CE=1,∠AED=150°, = ;



< =sin30°,

则由题意得 f′(0)=﹣(﹣a)=2, 故 a=2.

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x 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=e﹣ (x +2x),

由 g(x)≥f(x)得,
x 2 ﹣x(x﹣t﹣ )≥e﹣ (x +2x),x∈[0,1];

当 x=0 时,该不等式成立;
x 当 x∈(0,1]时,不等式﹣x+t+ ≥e﹣ (x+2)在(0,1]上恒成立, x 即 t≥[e﹣ (x+2)+x﹣ ]max.

设 h(x)=e﹣ (x+2)+x﹣ ,x∈(0,1], h′(x)=﹣e﹣x(x+1)+1, h″(x)=x?e﹣x>0, ∴h′(x)在(0,1]单调递增, ∴h′(x)>h′(0)=0, ∴h(x)在(0,1]单调递增, ∴h(x)max=h(1)=1, ∴t≥1. (Ⅲ)证明:∵an+1=(1+ )an, ∴ = ,又 a1=1, ?…? =1? ?…? =n;

x

∴n≥2 时,an=a1? 对 n=1 也成立, ∴an=n.

∵当 x∈(0,1]时,f′(x)=﹣e﹣ (x ﹣2)>0, ∴f(x)在[0,1]上单调递增,且 f(x)≥f(0)=0. 又∵ f( )(1≤i≤n﹣1,i∈N)表示长为 f( ),宽为 的小矩形的面积, ∴ f( )< ∴ < [f( )+f( f(x)dx,(1≤i≤n﹣1,i∈N), )+…+f( )]= [f( )+f( )+…+f( )]

x

2

f(x)dx.

2 又由(Ⅱ),取 t=1 得 f(x)≤g(x)=﹣x +(1+ )x,

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∴ ∴

f(x)dx≤

g(x)dx= +

, , ).

[f( )+f( )+…+f( )+f( )+…+f(

)]< + )<n( +

∴f(

【点评】本题考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归 与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力. 22.【答案】 【解析】解:(1)由 2x﹣3>0 得 x> ,∴M={x|x> }. 由(x﹣3)(x﹣1)>0 得 x<1 或 x>3,∴N={x|x<1,或 x>3}. (2)M∩N=(3,+∞),M∪N={x|x<1,或 x>3}, ∴CR(M∪N)=. 【点评】本题主要考查求函数的定义域,两个集合的交集、并集、补集的定义和运算,属于基础题. 23.【答案】

【解析】(Ⅰ)解:f(x)=|x+1|+|x﹣1|= 当 x<﹣1 时,由﹣2x<4,得﹣2<x<﹣1; 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(﹣2,2).… (Ⅱ)证明:当 a,b∈M,即﹣2<a,b<2,
2 2 2 2 2 2 2 2 ∵4(a+b) ﹣(4+ab) =4(a +2ab+b )﹣(16+8ab+a b )=(a ﹣4)(4﹣b )<0, 2 2 ∴4(a+b) <(4+ab) ,

∴2|a+b|<|4+ab|.… 【点评】本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式写成分段函数,利 用作差法证明不等式. 24.【答案】 【解析】(本小题满分 10 分) 解:(1)∵ ∴ , ,…2 分

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在锐角△ABC 中, 故 sinA≠0, ∴ (2)∵ ∴ ∴ , .…5 分 ,…6 分 ,即 ab=2,…8 分

,…3 分

.…10 分

【点评】 本题主要考查了正弦定理, 特殊角的三角函数值, 余弦定理, 三角形的面积公式在解三角形中的应用, 考查了转化思想,属于基础题.

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