辽宁省沈阳二中-高一数学上学期期末考试

辽宁省沈阳二中 08-09 学年高一上学期期末考试试题
数 学
一.选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,计 60 分) 1.经过点 A(1,2),并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 )

2 * 2.集合 A x | x ? n , n ? N ,定义一种运算 ? : 若m ? A, n ? A, 则m ? n ? A ,那么运

?

?

算 ? 可以是( ) A.加法

B.减法

C.乘法

D.除法

2 2 3.已知:P(z,y)是圆 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 上任意一点,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最大值是

A. 26 ? 2

B. 26

C.5

D.6

4.已知集合 L={四棱柱}M=(平行六面体}N={直平行六面体}P={正四棱住}Q={长 方体}R=(直四棱柱}S={正方体},则下列关系中不正确的是( ) A. S ? P ? Q ? R C. (M B. S ? Q ? N ? M D. (M

R) ? Q

R) ? L

5.已知函数 f ( x) ? ? x ? x3 , ? , ? , ? ? R, 且? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 则

f (a) ? f ( ? ) ? f (? ) 的值(
A.恒为正数 C.恒等于零 6.已知 f ( x) ? ? A. (1, ??) C. [ , 3)

) B.恒为负数 D.可能大于零,也可能小于零

?(3 ? a) x ? 4a( x ? 1) 是(??, ??) 上的增函数,那么 a 值范围是 log x ( x ? 1) ? a
B. [ , ??) D.(1,3) )

3 5

3 5

7.将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方俸,则表面积增加了( A. 6 a
2

B. 12a

2

C. 18a
2 2 2

2

D. 24a

2

8.已知直线 l:2x+3y+1=0 被圆 C: x ? y ? r 所截得的弦长为 d,则下列直线中被圆 C 截得的弦长同样为 d 的直线是( A.2x+4y-1=0 C.2x-3y-l=0 ) B.4x+3y-l=0 D.3x+2y=0 )

9.将函数 f ( x) ? log2 x 的图像绕原点逆时针旋转 90°得到 g(x),则 9(-2)=(

A.4

B.

1 4

C.- 2

D.

1 2

10.设集合 A ? ?( x, y | y ? ax ? 1)? , B ? ( x, y | y ? x ) , 若A a 的取值范围是( A.a≠±l ) B.a≠0 C.-l≤a≤1

?

?

B 的子集恰有 2 个,则实数

D.a≤一 l 或 a≥l

11.已知动点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上移动时,则它与定点 B(3,0)连线的中点 M 的轨迹方程 是( ) A. ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 C. (2x ? 3)2 ? 4 y 2 ? 1 B. ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1
2 2 D. ( x ? ) ? y ?

3 2

1 2

12.如图,E、F 分别是正方形 SD1DD2 的边 D1D 、 DD2 的中点,沿 SE、SF、EF 将它折成一个几何体,使 D1 、D、 D2 重合,记作 D,给出 下列位置 关系: ①SD ? 面 EFD: ②SE ? 面 EFD; ③DF ? SE; ④EF ? 面 SED. 其 中成立的有( ) A.①与② B.①与③ C.②与③ D.③与④;

二、填空题(共 4 小题.每小题 4 分.共 16 分) 13 . 如 图 所 示 , 侧 棱 长 为 2 3 的 正 三 棱 锥 v — ABC 中 ,

?AVB ? ?BVC ? ?CVA ? 40 ,过 A 作截面 AEF,则截面三角形 AEF
周长的最小值是______________。

14.直线 y ? 3x ? 2m 和圆x 2 ? y 2 ? n2相切,其中m、n ? N * , m ? n ? 5 ;试写出所有 满足条件的有序实数对(m,n)_________________。

15.如图:开始时桶 1 中有 a 升水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线

y1 ? ae?nt ,那么桶 2 中水就是 y2 ? a ? ae?nt 。过 5 分钟后桶 1 和桶 2 的
水相等,则再过________分钟桶 1 中的水只有

8 。 a

16.给出下列命题: (1)已知直线 a // 平面 ? ,直线 b // 平面 ? ,则 a // b; (2)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,并且这些直线都在同一个平面 内。 (3)如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与这个平面内的任意一.条直线都 不垂直; (4)平行于同一平面的两条直线平行; (5)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱拄。 其中正确的是____________________. 三、解答题(共 6 道大题.其中 17—21 每道题 12 分,22 题 14 分) 17.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0和直线l2 : x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0 (1)判断直线 l1 与 l2 是否能平行;

(2)当 l1 ? l2 时,求 a 的值.

18.已知图 l 是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图,它的正视图和侧视图见图 2 和图 3; (1)在正视图下面,按照画三视图的要求.画出该多面体的俯视图;

(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积

19.函数 y ? f ( x)满足 lg(lg y) ? lg3x ? lg(3 ? x) (1)求 f ( x ) ;

(2)求 f ( x ) 的值域;

(3)求 f ( x ) 的递减区间。

20. 二次函数 y ? x2 ? x ? 6与坐标轴交于A、B、C三点( xA ? xB ? xC ) , 圆 M 为 ?ABC 的 外接圆,斜率为 1 的直线 l 与圆 M 相交于不同两点 E、F,EF 的中点为 N,O 为坐标原点,且

ON ?

1 EF . 2

(1)求圆的方程;

(2)求直线方程。

21.已知:如图在四棱锥 P- ABCD 中 PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,E 是 AP 的中点, (1)求证:PC//平面 EBD;

(2)若点 D 在 PC 上的射影为 F,求证:平面 DEF⊥平面 PCB;

(3)若 PD=AD=1,问 P、A、B、C、D 五点能否在同一球面上,如果在,请指出球心 的位置;并求出此球的球面面积;如果不能,请说明理由。

22.已知函数 f ( x) ? 3 , f (a ? 2) ? 18, g ( x) ? ? ? 3 ? 4 定义域[0,1];
x ax x

(1)求 a 的值;

(2)若函数 g ( x) 在 [0,1] 上是单调递减函数,求实数 ? 的取值范围;

(3)若函数 g ( x) 的最大值为

1 ,求实数 ? 的值。 2

辽宁省沈阳二中 08-09 学年高一上学期期末考试试题
数学参考答案
一、选择题 1.C 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A l0.D 11.C l2.B 二、填空题 13.6 14.(1,1),(2,2),(3,4) , (4,8) 15.10 分钟 l6.(2) 三、解答题 17.解:(1)由 A 1B2 ? A 2B 1 ? 0, 得a(a ? 1) ? 1? 2 ? 0
2 由 AC 1 2 ?A 2C1 ? 0, 得a(a ?1) ?1? 6 ? 0 …… (3 分)

?a(a ? 1) ? 1? 2 ? 0 l1 // l2 ? ? 2 ? a ? ?1 …………(5 分) ?a(a ? 1) ? 1? 6 ? 0
解得:a ? ?1 ∴ a ? ?1 l1 // l2
……………(6 分)

(2)由 A1 B2 ? A2 B1 ? 0, 得a ? 2(a ? 1) ? 0 ? a ? 18.(1)

2 ……(12 分) 3

…………(6 分) (2) V ? 19.

284 ……………………(12 分) 3

?lg y ? 3x(3 ? x) ? y ? 103 x (3? x ) ?3x ? 0 ? ? 解:(1)由题设知 ? ? ?x ? 0 ?3 ? x ? 0 ?x ? 3 ? ? ?lg y ? 0
(4 分)

∴ f ( x) ? 103 x(3? x) (0 ? x ? 3) ……

3x ? ? ) x ?3 (2 ? ( 2 ) ∵ u ? 3x ( ?
∴ f ( x) ? 10 ? (1,10 4 ]
u 27

3 2

2 7 ) 又 ∵ 0? x?3 4
27

∴ 0?u?

27 4

∴ f ( x)的值域为(1,10 4 ] …………(8 分)

( , 3) (3)减区间为 …………(12 分)

3 2

20 . (1) 解 : 令 x ? 0得xC ? ? 6令 ,y? 得 0 xA ? ?

2 xB ? 3

由 题 设 知 :

A(? 2 , 0B) ,

(C 3 ,?0 ) ,

设圆心为 ( 0 , 6M ) ( x0 , y0 )由圆的性质知:x0 ?

1 ……(2 分) 2

∵ K BC ? 2, 弦BC的中点为D( , ?3)

3 2

∴ 弦 BC 的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为 :

1 3 y ? 3 ? ? (x ? ) 2 2

1 3 ? y ? 3 ? ? (x ? ) ? 1 5 ? 2 2 由? 得圆心M ( , ? ) 2 2 ?x ? 1 ? ? 2
2 2 圆的方程为: ( x ? ) ? ( y ? ) ?

1 2 5 2 5 半径R ? (3- ) ? (0+ ) ? 2 2 2 2
(6 分)

1 2

5 2

50 …… 4

(2)设 E( x1 y1 ), F ( x2 y2 ), 直线l : y ? x ?b

∵ ON ?

1 EF ? OE ? OF 2

x1 ? x2 ? y1 y2 ? 0

∴ 2x1 ? x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0

?y ? x ?b 由? 2 2 ?x ? y ? x ? 5y ? 6 ? 0

2x2 ? (2b ? 4) x ? b2 ? 5b ? 6 ? 0

? x1 ? x2 ? ?(b ? 2) ? 2 ∴? b 2 ? 5b ? 6 …………(9 分) 代入(1)中得: b ? 3b ? 6 ? 0 , ? x1 ? x2 ? ? 2
∴b ?

?3 ? 33 2

直线方程为: y ? x ?

?3 ? 33 …………(12 分) 2

21. (1)设 AC 交 BD 与 O,连接 EO,可证明 EO//PC ? PC//平面 EBD……(4 分) (2)由 PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥BC 又 BC⊥DC 且 DC BC=C,∴BC⊥平面 PDC ∴ BC ⊥ DF 又 DF ⊥ PC ∴ DF ⊥平面 PCB 又 DF ? 平面 DEF , ∴平面 DEF ⊥平面 PCD………………(8 分) (3)在以 PB 为直径的球面上;球心是 PB 的中点,…………(10 分) ∵PD = AD = DC = 1 , ∴PB =

3

∴球的半径 R=

3 2

∴ S球 ? 4? R 2 ? 4? (

3 2 ) ? 3? …………(12 分) 2
a ∴3 ? 2

22.解:(1)∵ 18 ? 3

a?2

? 9 ? 3a

∴ a ? log3 2 …………(3 分)

(2)∵ g ( x) ? ? ? 3

x ?log3 2

? (2x )2 ? ? ? 2x ? (2x )2
∴ ?x ? x2 ? x1 ? 0

任取 0 ? x1 ? x2 ? 1

∵ g ( x) 在 [0,1] 上是减函数, ∴ ?y ? 0 …………(6 分) ∴ ?y ? g ( x2 ) ? g ( x) ? ? ? 2x2 ? (2x2 )2 ? [? ? 2x1 ? (2x1 )2 ] = (2 2 ? 2 1 )[? ? (2 2 ? 2 1 )2 ] ? 0,对于x ?[0,1] 恒成立
x x x x

∵2 2 ?2 1 ? 0
x x

∴ ? ? (2 2 ? 2 1 ) ? 0对于x ?[0,1] 恒成立
x x

∵2 2 ?2 1 ? 2
x x
x (3)设 t ? 2

∴? ? 2

∴ ? 的取值范围是 (??, 2] ……(10 分) ∴1 ? 2 ? 2
x

∵0 ? x ?1

∴1 ? t ? 2

y ? ?t 2 ? ?t ? ?(t ? )2 ? ,1 ? t ? 2 2 4


?

?2

? ?1 , ∴? ? 2 2

∴ ymax ? ? ? 1 ?

1 2

∴? ?

3 2
∴ ? ? ? 2 ?[2, 4] 舍

②1 ?

?
2

?2

∴2 ? ? ? 4

∴ ymax ?

?2
4

?

1 2



?
2

?2?? ?4 3 2

∴ ymax ? ?4 ? 2? ?

1 2

∴? ?

9 ?4舍 4

综上: ? ?


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