[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第1讲 函数与映射的概念[配套课件]_图文

第二章
第1讲

函 数

函数与映射的概念

考情风向标 从近两年的高考试题看,函数的概念、 求函数的定义域为高考的热点,题型 既有选择题、填空题,也有解答题, 1.了解构成函数的要素. 2.会求一些简单函数的定义 难度中等. 域和值域. 预计 2015 年高考仍将以函数的概念和 定义域为主要考点,形式上主要考查 3.了解映射的概念. 判断函数是否相同、与集合相结合求 具体函数或抽象函数的定义域.

考纲要求

1.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A,B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关 任意一个数 x , 在集合B 中都有 系 f , 使 对 于 集 合 A 中 的 ____________ 唯一确定 的数和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集 __________

y=f(x),x∈A . 合 B 的一个函数,通常记为________________

(2)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数 y=f(x)的________ 定义域 ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 函数值的集合{f(x)|x∈A} 称为函数 y=f(x)的值域. 值,__________________________ 定义域 、 __________ 值域 (3) 函 数 的 三 个 要 素 : __________ 和

对应关系 f . __________
2.映射的概念 设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于 任意 元素,在集合 B 中都有__________ 唯一确定 的元素 集合 A 中的________ 与之对应,那么这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射,

f:A→B . 通常记为__________

1.设 f:x→|x|是集合 A 到集合 B 的映射,若A={-2,0,2}, 则 A∩B=( A.{0} C ) B.{2} C.{0,2} D.{-2,0}

2.下列函数中与函数 y=x 相同的是( B )
A.y=( x)2 C.y= x2 B.y= 3 x3 x2 D.y= x

3.(2013 年江西)函数 y= xln(1-x)的定义域为( B ) A.(0,1) B.[0,1)
C.(0,1] D.[0,1]

? ?x≥0, 解析:由题意,得自变量满足? ? ?1-x>0

解得 0≤x<1,即函

数 y= xln(1-x)的定义域为[0,1).故选 B.

4 . (2012 年 四 川 ) 函 数 f(x) = ? 1? ?-∞, ? 2? ? _____________( 用区间表示).

1 的定义域是 1-2x

5.设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},给出如图 2-1-1 所示的四个图象,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的 ②③ 填序号). 是_______(

图2-1-1

考点 1 有关映射与函数的概念
例 1:给定 k∈N*,设函数 f:N*→N*满足:对于任意大于

k 的正整数 n,f(n)=n-k.
(1) 设 k = 1 , 则 其 中 一 个 函 数 f 在 n = 1 处的函数值为 ________________; (2)设 k=4,且当 n≤4 时,2≤f(n)≤3,则不同的函数 f 的 个数为________.

解析:(1)由法则 f 是正整数到正整数的映射,因为k=1, 所以从 2 开始都是一一对应的,而 1 可以和任何一个正整数对 应,故 f 在 n=1 处的函数值为任意的a(a 为正整数). (2)因为2≤f(n)≤3,所以根据映射的概念可得到:1,2,3,4 只能是和 2 或者 3 对应,1 可以和 2 对应,也可以和 3 对应, 有 2 种对应方法,同理 2,3,4 都有两种对应方法,由乘法原理, 得不同函数 f 的个数等于 16. 答案:(1)a(a 为正整数) (2)16

【方法与技巧】理解映射的概念,应注意以下几点:①集
合 A,B 及对应法则 f 是确定的,是一个整体系统;②对应法则

有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从集合

B 到集合 A 的对应关系一般是不同的;③集合 A 中每一个元素,
在集合 B 中都有象,并且象是唯一的,这是映射区别于一般对 应的本质特征;④集合 A 中不同元素,在集合 B 中对应的象可 以是同一个;⑤不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有 原象.

【互动探究】
1.已知 f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,又 A=B=R, 对应法则 f:y=x2+2x-3,k∈B,且 k 在 A 中没有元素与之对 应,则 k 的取值范围为( A ) A.k<-4 C.k≥-4 B.-1<k<3 D.k<-1 或 k>3

解析:y=x2+2x-3=(x+1)2-4≥-4,k∈B,且 k 在 A 中没有元素与之对应,则 k 的取值范围为 k<-4.故选 A.

考点 2 判断两函数是否为同一个函数

例 2:试判断以下各组函数是否表示同一个函数?
(1)f(x)= x2,g(x)= 3 x3 ;
? ?1 |x| (2)f(x)= x ,g(x)=? ? ?-1

?x≥0?, ?x<0?;

(3)f(x)= 2 n?1 x 2 n?1 ,g(x)= 2 n?1 x 2 n?1 (n∈N*); (4)f(x)= x· x+1,g(x)= x2+x; (5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.

解题思路:要判断两个函数是否为同一个函数,只需判断
其定义域和对应关系是否相同即可.
解:(1)由于 f(x)= x2=|x|,g(x)= 3 x3 =x, 故它们的对应关系不相同,∴它们不是同一个函数. |x| (2)由于函数 f(x)= x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而
? ?1 g(x)=? ? ?-1

?x≥0?, 的定义域为 R, ?x<0?

∴它们不是同一个函数.

(3)由于当 n∈N*时,2n± 1 为奇数, ∴f(x)= 2 n?1 x 2 n?1 =x,g(x)= 2 n?1 x 2 n?1 =x. 它们的定义域、对应关系都相同,∴它们是同一个函数. (4)由于函数 f(x)= x· x+1的定义域为{x|x≥0}, 而 g(x)= x2+x的定义域为{x|x≥0 或 x≤-1}, 它们的定义域不同,∴它们不是同一个函数. (5)函数的定义域和对应关系都相同, ∴它们是同一个函数.

【互动探究】 2.(2012 年广东广州调研)定义:若函数 f(x)的图象经过变 换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值域相同,则称变换 T 是 f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中

T 不属于 f(x)的同值变换的是( B )
A.f(x)=(x-1)2,T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 B.f(x)=2x-1-1,T将函数f(x)的图象关于x轴对称 C.f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(-1,1)对称
? π? D.f(x)=sin?x+3?,T ? ?

将函数 f(x)的图象关于点(-1,0)对称

考点 3 求函数的定义域
例 3 : (2012 年江苏 ) 函数 f(x) = 1-2log6x 的定义域为 ________.
解析:根据二次根式和对数函数有意义的条件,
? ?x>0, 得? ? ?1-2log6x≥0

x>0, ? x?0 ? ? ? ?? ?0<x≤ 6. 1 ?? 1 log x≤ ? 2 ? ? 6 2 ?x ? 6 ? 6

答案:(0, 6]

【方法与技巧】求一些具体函数的定义域,有分母的要保 证分母不为零;有开偶次方根的要保证被开方数为非负数;有 对数函数的要保证真数大于零,底数大于零且不等于 1.在求函 数定义域的过程中,往往需要解不等式?组?或利用函数的单调 性.

【互动探究】
lg?x+1? 3.(2013 年广东)函数 f(x)= 的定义域是( C ) x-1

A.(-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞)
? ?x+1>0, 解析:? ? ?x-1≠0,

B.[-1,+∞)
D.[-1,1)∪(1,+∞)

即 x>-1 且 x≠1.故选 C.

1 4.若函数 f(x)= ,求函数 y=f[f(x)]的定义域. x+1 1 解:∵f(x)= , x+1 1 ∴f[f(x)]= 1 . +1 x+1
?x+1≠0, ? 要使函数有意义,应满足? 1 +1≠0, ? x + 1 ? 即 x≠-1,且 x≠-2. 故函数的定义域是{x|x≠-1,且 x≠-2}.

易错、易混、易漏 ⊙对复合函数的定义域理解不透彻 例题:(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3],则 f(x-1)的定义域 为__________;

(2) 若 函 数 f(x - 1) 的 定 义 域 为 [2,3] , 则 f(x)的定义域为 __________,f(2x+1)的定义域为__________;
(3) 若 函 数 f(x) 的 值 域 为 [2,3] , 则 f(x - 1) 的 值 域 为 __________;f(x)-1 的值域为__________.

解析:(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3], 则 f(x-1)有 2≤x-1≤3,解得 3≤x≤4. 即 f(x-1)的定义域为[3,4].

(2)若函数 f(x-1)的定义域为[2,3],
即 2≤x≤3,有 1≤x-1≤2,则 f(x)的定义域为[1,2].

1 而 f(2x+1)有 1≤2x+1≤2,解得 0≤x≤2. 即
? 1? f(2x+1)的定义域为?0,2?. ? ?

(3)f(x-1)的图象是将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得 到的,不改变值域.f(x)-1 的图象是将 f(x)的图象向下平移 1 个单位长度得到的.故 f(x-1)的值域为[2,3],f(x)-1 的值域为 [1,2].

答案:(1)[3,4] (2)[1,2]

? 1? ?0, ? 2? ?

(3)[2,3] [1,2]

【失误与防范】对于求抽象的复合函数的定义域,主要理 解三种情形:①已知f(x)的定义域为[a,b],求f[u(x)]的定义域, 只需求不等式a≤u(x)≤b 的解集即可;②已知f[u(x)]的定义域 为[a,b],求 f(x)的定义域,只需求u(x)的值域;③已知f[u(x)] 的定义域为[a,b],求 f[g(x)]的定义域,必须先利用②的方法求

f(x)的定义域然后利用①的方法求解.


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