2017-2018学年甘肃省白银市高二上期末数学试卷有答案

2017-2018 学年甘肃省白银市高二(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的 4 个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)在等差数列 51、47、43,…中,第一个负数项为( A.第 13 项 B.第 14 项 C.第 15 项 D.第 16 项 ) )

2. (5 分)在△ABC 中,已知 a2=b2+c2+bc,则角 A 为( A. B. C. D. 或

3. (5 分) 已知命题 p: ??{0}, q: {1}∈{1, 2}, 由它们组成的“p∨q”, “p∧q”和“?p” 形式的复合命题中,真命题有( A.0 B.1 C.2 D.3 =﹣1 的渐近线方程是( ) )个.

4. (5 分)双曲线 A.y=± x

B.y=± x C.y=± x D.y=± x )

5. (5 分)在△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,则 b=( A. B. C. D. 是 3a 与 3b 的等比中项,则

6. (5 分)设 a>0,b>0.若 A.8 B.4 C.1 D.

的最小值为(



7. (5 分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( A.14 B.21 C.28 D.35 )



8. (5 分)准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是( A.y2=﹣2x B.y2=﹣4x C.y2=2x D.y2=4x +

9. (5 分)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4

=1 的右焦点重合,则 p 的值为(



10. (5 分)”m>n>0”是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



11. (5 分)已知函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,那么函数 f(x)的图象
1

最有可能的是(



A.

B.

C.

D. ,则目标函数 z=4x+2y 的最大值为( )

12. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 A.12 B.10 C.8 D.2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)数列{an}的通项公式是 an= 14. (5 分)求 y=x3+3x2+6x﹣10 的导数 y′= 15. (5 分)若在△ABC 中,∠A=60°,b=1,S△ABC= 16. (5 分) 有下列命题: ① (logax) 其中是真命题的有: (n∈N*) ,则 a3= . ,则 = . ; .

; ② (cosx) ′=﹣sinx; ③ ( )

. (把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 7 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 (1)求 sinC 的值; (2)求△ABC 的面积. 18. (12 分)命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的正实数根;命题 q:方程 4x2+4(m+2) x+1=0 无实数根,若“p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)=ax3﹣3x2+x+b,其中 a,b∈R,a≠0,又 y=f(x)在 x=1 处 的切线方程为 2x+y+1=0,求函数 f(x)的解析式. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x3﹣3x,求函数 f(x)在[﹣3, ]上的最大值和最小值.
2



21. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2an﹣2n(n∈N+) ,令 bn= (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 22. (12 分)已知椭圆 +



=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在此椭圆上, .

且 PF1⊥F1F2,|PF1|= ,|PF2|= (1)求椭圆的方程;

(2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x﹣2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称, 求直线 l 的方程. 23. (理科)如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的 斜边,且 AD= ,BD=CD=1,另一个侧面 ABC 是正三角形.

(1)求证:AD⊥BC; (2)求二面角 B﹣AC﹣D 的余弦值.

2017-2018 学年甘肃省白银市高二(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的 4 个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)在等差数列 51、47、43,…中,第一个负数项为( A.第 13 项 B.第 14 项 C.第 15 项 D.第 16 项 )

【解答】解:因为数列 51、47、43,…为等差数列,
3

所以公差 d=47﹣51=﹣4,首项为 51, 所以通项 an=51+(n﹣1)×(﹣4)=55﹣4n 所以令 55﹣4n<0 解得 n> ,

因为 n 为正整数,所以最小的正整数解为 14, 所以第一个负数项为第 14 项 故选 B

2. (5 分)在△ABC 中,已知 a2=b2+c2+bc,则角 A 为( A. B. C. D. 或



【解答】解:由 a2=b2+c2+bc, 则根据余弦定理得: cosA= = =﹣ , .

因为 A∈(0,π) ,所以 A= 故选 C

3. (5 分) 已知命题 p: ??{0}, q: {1}∈{1, 2}, 由它们组成的“p∨q”, “p∧q”和“?p” 形式的复合命题中,真命题有( A.0 B.1 C.2 D.3 )个.

【解答】解:因为??{0},所以命题 p 为真. 因为:{1}? {1,2},所以命题 q 为假. 所以 p∨q 为真,p∧q 为假,?p 为假. 故真命题的个数为 1 个. 故选 B.

4. (5 分)双曲线 A.y=± x

=﹣1 的渐近线方程是(



B.y=± x C.y=± x D.y=± x

4

【解答】解:化已知双曲线的方程为标准方程 可知焦点在 y 轴,且 a=3,b=2, 故渐近线方程为 y= 故选 A =



5. (5 分)在△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,则 b=( A. B. C. D.



【解答】解:由内角和定理得:A=180°﹣60°﹣75°=45°, 根据正弦定理得: = ,又 a=8,sinA= ,sinB= ,

则 b=

=

=4



故选 C

6. (5 分)设 a>0,b>0.若 A.8 B.4 C.1 D.

是 3a 与 3b 的等比中项,则

的最小值为(



【解答】解:因为 3a?3b=3,所以 a+b=1, , 当且仅当 故选择 B. 即 时“=”成立,

7. (5 分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( A.14 B.21 C.28 D.35



【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4, ∴a1+a2+…+a7= 故选 C
5

=7a4=28

8. (5 分)准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是( A.y2=﹣2x B.y2=﹣4x C.y2=2x D.y2=4x



【解答】解:由题意可知: =1,∴p=2 且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的负半轴上 故可设抛物线的标准方程为:y2=﹣2px 将 p 代入可得 y2=﹣4x. 故选:B.

9. (5 分)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4 ,b=

2

+

=1 的右焦点重合,则 p 的值为(



【解答】解:由椭圆 a=

,c2=a2﹣c2=4,则椭圆的焦点右焦点 F(2,0) ,

由抛物线 y2=2px 的焦点 ,则 =2,则 p=4, 故选:D.

10. (5 分)”m>n>0”是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2



【解答】解:将方程 mx +ny =1 转化为



根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足 反之,当 m>n>0,可得出

,且

,即 m>n>0

>0,此时方程对应的轨迹是椭圆

综上证之,”m>n>0”是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件 故选 C.

11. (5 分)已知函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,那么函数 f(x)的图象

6

最有可能的是(



A.

B.

C.

D.

【解答】解:由导函数图象可知, f(x)在(﹣∞,﹣2) , (0,+∞)上单调递减, 在(﹣2,0)上单调递增, 故选 A.

12. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 A.12 B.10 C.8 D.2

,则目标函数 z=4x+2y 的最大值为(



【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=4x+2y 得 y=﹣2x+ z, 平移直线 y=﹣2x+ z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+ z 经过点 C 时,直线 y=﹣2x+ 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 C(2,1) ,

代入目标函数 z=4x+2y 得 z=4×2+2×1=10. 即目标函数 z=4x+2y 的最大值为 10. 故选:B

7

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)数列{an}的通项公式是 an= 【解答】解:∵an= ∴a3= = , . (n∈N*) , (n∈N*) ,则 a3= .

故答案为:

14. (5 分)求 y=x3+3x2+6x﹣10 的导数 y′= 【解答】解:函数的导数为 y′=3x2+6x+6, 故答案为:3x2+6x+6,

3x2+6x+6,



15. (5 分)若在△ABC 中,∠A=60°,b=1,S△ABC= 【解答】解:由∠A=60°,得到 sinA= 又 b=1,S△ABC= , = ,

,则

=



,cosA= ,

∴ bcsinA= ×1×c× 解得 c=4,

根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13, 解得 a= , = = = = ,

根据正弦定理

8

则 故答案为:

=



16. (5 分) 有下列命题: ① (logax) 其中是真命题的有: ②

; ② (cosx) ′=﹣sinx; ③ ( )



. (把你认为正确命题的序号都填上) ;故①错误,

【解答】解:①(logax)′=

②(cosx)′=﹣sinx;故②正确, ③( )′= 故真命题为②, 故答案为:② ,故③错误,

三、解答题(本大题共 7 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 (1)求 sinC 的值; (2)求△ABC 的面积. 【解答】解: (1)在△ABC 中,cosA= .B= 则:sinA= , .

所以:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, = (2)利用正弦定理得: 由于:B= ,b= ,sinA= , . ,

解得:a= , 所以: ,

9

=



18. (12 分)命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的正实数根;命题 q:方程 4x2+4(m+2) x+1=0 无实数根,若“p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围. 【解答】解:∵“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题,

当 p 为真命题时,则

,解得 m<﹣2,

当 q 为真命题时,则△=16(m+2)2﹣16<0,得﹣3<m<﹣1. 当 p 真 q 假时,得 m≤﹣3. 当 q 真 p 假时,得﹣2≤m<﹣1. 当 p 真 q 真时,﹣3<m<﹣2 综上,m<﹣1. ∴m 的取值范围是(﹣∞,﹣1) .

19. (12 分)已知函数 f(x)=ax3﹣3x2+x+b,其中 a,b∈R,a≠0,又 y=f(x)在 x=1 处 的切线方程为 2x+y+1=0,求函数 f(x)的解析式. 【解答】解:函数 f(x)=ax3﹣3x2+x+b, 则:f′(x)=3ax2﹣6x+1, 由于:y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 2x+y+1=0, 则:f′(1)=﹣2, 即:3a﹣6+1=﹣2, 解得:a=1. 又:当 x=1 时,y=﹣3, 则(1,﹣3)满足函数 f(x)=x3﹣3x2+x+b, 解得:b=﹣2. 故函数的解析式为:f(x)=x3﹣3x2+x﹣2.

20. (12 分)已知函数 f(x)=x3﹣3x,求函数 f(x)在[﹣3, ]上的最大值和最小值.

10

【解答】解:f′(x)=3x2﹣3=3(x+1) (x﹣1) , 令 f′(x)>0,解得:x>1 或 x<﹣1, 令 f′(x)<0,解得:﹣1<x<1, 故 f(x)在[﹣3,﹣1)递增,在(﹣1,1)递减,在(1, ]递增, 而 f(﹣3)=﹣27+9=﹣18,f(﹣1)=2,f(1)=﹣2,f( )=﹣ , 故函数的最大值是 2,最小值是﹣18.

21. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2an﹣2n(n∈N+) ,令 bn= (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.



【解答】 (1)证明:由 Sn=2an﹣2n(n∈N+) ,n=1 时,a1=S1=2a1﹣2,解得 a1=2. n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2n﹣( 化为: ﹣ = .令 bn= . ) ,化为:an﹣2an﹣1=2n﹣1,

则 bn﹣bn﹣1= ,b1=

=1.

∴数列{bn}为等差数列,首项为 1,公差为 . (2)解:由(1)可得:bn=1+ (n﹣1)= ∴an=(n+1)?2n﹣1. = .

22. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在此椭圆上, .

且 PF1⊥F1F2,|PF1|= ,|PF2|= (1)求椭圆的方程;

(2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x﹣2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称, 求直线 l 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.

11

在 Rt△PF1F2 中, 故椭圆的半焦距 c= 从而 b2=a2﹣c2=4, 所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)解法一: 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) . 已知圆的方程为(x+2)2+(y﹣1)2=5, 所以圆心 M 的坐标为(﹣2,1) . 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以 解得 , , . =1. ,



所以直线 l 的方程为 即 8x﹣9y+25=0.

(经检验,所求直线方程符合题意) (Ⅱ)解法二: 已知圆的方程为(x+2)2+(y﹣1)2=5, 所以圆心 M 的坐标为(﹣2,1) . 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) . 由题意 x1≠x2 且 由①﹣②得 因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+x2=﹣4,y1+y2=2,
12

,①

,② .③

代入③得

= ,

即直线 l 的斜率为 , 所以直线 l 的方程为 y﹣1= (x+2) , 即 8x﹣9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意. )

23. (理科)如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的 斜边,且 AD= ,BD=CD=1,另一个侧面 ABC 是正三角形.

(1)求证:AD⊥BC; (2)求二面角 B﹣AC﹣D 的余弦值.

【解答】证明: (1)方法一:作 AH⊥面 BCD 于 H,连 DH. AB⊥BD,HB⊥BD,又 AD= ∴AB= ,BD=1,

=BC=AC,∴BD⊥DC,

又 BD=CD,则 BHCD 是正方形, 则 DH⊥BC,∴AD⊥BC. 方法二:取 BC 的中点 O,连 AO、DO, 则有 AO⊥BC,DO⊥BC,∴BC⊥面 AOD, ∴BC⊥AD (2)作 BM⊥AC 于 M,作 MN⊥AC 交 AD 于 N, 则∠BMN 就是二面角 B﹣AC﹣D 的平面角, 因为 AB=AC=BC= , ,MN= CD= ,

∵M 是 AC 的中点,则 BM= BN= AD= ,

13

由余弦定理可求得 cos∠BMN= ∴二面角 B﹣AC﹣D 的余弦值为

, .

14


相关文档

2017-2018学年甘肃省白银市高二上期末数学试卷((附答案解析))
2017-2018学年甘肃省白银市阳光高级中学高二(上)期末数学试卷及参考答案与解析
2017-2018学年甘肃省白银市阳光高级中学高二(上)期末数学试卷
2017-2018学年甘肃省白银市会宁四中高二(上)期末数学试卷及参考答案与解析
2017-2018年甘肃省白银市会宁高二上期末数学试卷(附答案解析)
2017-2018学年甘肃省白银市景泰县高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年甘肃省白银市景泰县高二(上)期末数学试卷(理科)及参考答案与解析
2017-2018年甘肃省白银市会宁高二上期末数学试卷有答案
2017-2018学年甘肃省兰州高二上期末数学试卷理科有答案
2017-2018学年甘肃省张掖市高二上期末数学试卷理有答案
电脑版