辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期期末考试 数学(文)

辽宁省沈阳二中 2014-2015 学年高二上学期期末考试 数学(文)
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷

(60 分)

一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知命题 p : ?x ? R , | x | ? 0 ,那么命题 ? p 为( A. ? x ? R , | x | ? 0 C. ? x ? R , | x | ? 0 B. ?x ? R , | x | ? 0 D. ?x ? R , | x | ? 0 ) )

2 2. 已知质点按规律 s ? 2t ? 4t(距离单位:m , 时间单位:s ) 运动, 则其在 t ? 3s 时的瞬时速度为 (

(单位: m / s ) 。 A. 30 B.

28

C.

24

D.

16

3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是( ) A. y ? ?8 x
2

B. y ? ?4x
2

C.

y 2 ? 8x

D. ) D.

y2 ? 4x

4. a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是 ( A. a ? b
2 2

B. a b ? ab
2

2

C.

1 1 ? 2 2 ab ab

b a ? a b

5.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 S4 =( ) A.7 B. 15 C.31 D.8

?2 x ? y ? 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 6.设变量 x,y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z ? ?2 x ? y 的最大值是( ) ?x ? 0 ? ?y ? 0 2 A. 1 B.2 C. 4 D. ? 3
y

7.设函数 f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如图, 则导函数 y ? f ( x) 的图象可能为 (
'
y y

y ? f ( x)
x


y

O

第7题图
y

O

x

O

x

-1O

x

O

x

A

B

C

D

8. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰为双曲线 连线过点 F ,则双曲线的离心率为( A. 2 ? 5 9.定义 B. 2 ? 2 ) C. 1 ? 5

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,且两曲线交点的 a 2 b2

D. 1 ? 2

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,..., pn 的“均倒数”.若已知正数数列 {an } 的前 n 项的“均倒 p1 ? p2 ? ... ? pn
a ?1 1 1 1 1 ,又 bn ? n ,则 ? ? ... ? ? ( 2n ? 1 4 b1b2 b2b3 b10b11
B. )

数”为

A.

1 11

1 12

C.

10 11

D.
2

11 12
2

10.已知 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一个动点, Q 是圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 上的一个动点, N (1,0) 是一个定 点,则 PQ ? PN 的最小值为( A. 3 B. 4 ) C. 5 D.

2 ?1


11.设 p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 (0, ? ?) 内单调递增, q : m ? ?5 ,则 p 是 q 的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件 12 .已知点 P 是椭圆 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 上的动点, F1 , F2 为椭圆的两个焦点,O 是原点,若 M 是 16 8

?F1PF2 的角平分线上一点,且 F1M ? MP ,则 OM 的取值范围是( )
A.[0,3] B. [0, 2 2) C. [2 2,3) D.[0,4]

第Ⅱ卷

(90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

13.若 a,b,c,d 成等比数列,且不等式 ? x ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 (b,c) ,则 ad =
2



x2 y2 14. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 左、 右焦点分别为 F1、F2 , 过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P , a b
且 ?PF1 F2 ?

?
6

,则双曲线的渐近线方程为



-2-

3 15 . 已 知 函 数 f ( x)? x ? a 2x ? b ? x

2

函 数 f ( x)在x ? 1 处 有 极 值 10 , 则 b 的 值 ( a , a? b 若 )R

为 16.若 x ? 0, y ? 0 ,且



1 3 + ? 2 ,则 6x + 5 y 的最小值为__ 2x + y x + y

__。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.

3 ? x ? ?1 ? t ? ? ? 5 直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . 4 ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ?
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M,N 两点间的距离. 18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p :抛物线 x
2

? ? y 与直线 y ? mx ? 1 有两个不同交点;
4 3 x ? 2(m ? 2) x2 ? x ? 3 在 R 上单调递增; 3

命题 q :函数 f ( x) ?

若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)
n ?1 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

1 2

(1)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 cn ?

n ?1 an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。 n

20. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x ? x
n n?1

?

? x ?1( x ? (0, ??), n ? N, n ? 2) .

(1)当 n ? 2 , x ? ? 0,1? 时,若不等式 f ( x) ? kx 恒成立,求 k 的范围; (2)试证函数 f ( x ) 在 ? ,1? 内存在唯一零点.
-3-

?1 ? ?2 ?

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 过点 A(1,

3 ),两焦点为 F1 (? 3,0) 、 F2 ( 3,0) , O 是坐标原点,不经过原点的直线 2

l:y ? kx ? m 与椭圆交于两不同点 P 、 Q .
(1)求椭圆 C 的方程; (2) 当 k ? 1 时,求 ?OPQ 面积的最大值; (3) 若直线 OP 、 PQ 、 OQ 的斜率依次成等比数列,求直线 l 的斜率 k .

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x (a ? R) 2

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? x ? b ,求 a , b 的值; (2)讨论方程 f ( x) ? 0 解的个数,并说明理由。

期末考试高二(16 届)数学试题(文科)答案
一.选择题 1 C 二.填空题 13. 2 三.解答题
-4-

2 D

3 C

4 C

5 B

6 A

7 D

8 D

9 0 C

1 1 A

1 2 A

1 B

14. y ? ? 2 x

15. ?11

16.

13 ? 4 3 2

17.解: (1)由 ? ?

2 sin(? ?

?
4

) 得,

? ? sin ? ? cos? ,两边同乘 ? 得, ? 2 ? ? cos? ? ? sin ? ? 0 ,
再由 ? 2 ? x 2 ? y 2 , ? cos? ? x, ? sin ? ? y , 得曲线 C 的直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ????4 分

t ? 20 ? 0 (2)将直线参数方程代入圆 C 方程得, 5t ? 21
2

t1 ? t2 ?

21 , t1t2 ? 4 , 5

41 . -------10 分 5 2 18.解:命题 p 为真时,方程 x + mx + 1=0 有两个不相等的实根,

MN ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ?

所以 ? ? m2 ? 4 ? 0

∴ m ? (??, ?2)

(2, ??)

????3 分

命题 q 为真时, f ?( x) ? 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ?1 ? 0 恒成立为 所以 ? ? 16(m ? 2)2 ? 16 ? 0 , ∴ m ??1,3? ????6 分

因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 为一真一假, ????8 分 (1)当 p 为真 q 为假时, ?

?m ? 2或m ? ?2 ? m ? ?2或m ? 3 ????10 分 ?m ? 1或m ? 3

(2)当 p 为假 q 为真时, ?

??2 ? m ? 2 ?1? m ? 2 ?1 ? m ? 3
? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 1 2
n?2

综上所述得:m 的取值范围是 m ? ?2或m ? 3 或 1 ? m ? 2 ????12 分 19.解: (1)在 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

1 2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 . -------4 分
.

又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

n .-------6 分 2n

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 2 1 3 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2
(2)由(1)得 cn ?

-5-

1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) -------9 分 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? -------12 分 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2 1 20.解:(1)由 f ( x) ? kx ? x2 ? x ?1 ? kx , 则 k ? x ? ? 1 , ??????2 分 x 1 又 g ( x) ? x ? ? 1 在 ? 0,1? 上是增函数, g ( x)max ? g (1) ? 1 ? ???5 分 x 所以 k ? 1 . ?????????????????? 6 分
(2) f ( x) ? xn ? xn?1 ?

? x ?1( x ? (0, ??), n ? N, n ? 2) 是增函数????? 8 分
????????9 分

且 f (1) ? n ? 1 ? 0 ,

1 1 1 f ( ) ? ( ) n ? ( ) n ?1 ? 2 2 2
?1 ? ?2 ?

1 1 (1 ? ( )n ) 1 2 ? 1 ? ?( 1 ) n ? 0 ????? 11 分 ? ?1 ? 2 1 2 2 1? 2
???????????????12 分

所以 f ( x ) 在 ? ,1? 内存在唯一的零点. 21.解:(1)由题意得 c ? 3 ,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 b2 ? 3 b2

???2 分

1 3 x2 2 C ? 2 ? 1 ,解得 b ? 1 所以椭圆 的方程为 ? y 2 ? 1.???4 分 则 2 b ? 3 4b 4
(2) ?

y ? x ? m, 2 2 消去 y 得: 5x ? 8mx ? 4(m ? 1) ? 0 2 x ? 4 y ? 4 ? 0. ? ?
2

则 ? ? 16(5 ? m ) ? 0 ? 0 ? m ? 5
2 2

x1 ? x2 ? ?

8m 4(m2 ? 1) , x1 x2 ? 5 5

???????? 5 分

设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S?OPQ ?

1 1 m d PQ ?? ? 2 x1 ? x2 ? 6 分 2 2 2

?

1 2 2 m2 ? 5 ? m2 m ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? m ? 5 ? m2 ? ? ?1 2 5 5 2

-6-

当且仅当 m ?
2

5 时,等号成立 所以 ?OPQ 面积的最大值为 1 . 2

??8 分

(2) ?

y ? kx ? m, 消去 y 得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 2 x ? 4 y ? 4 ? 0. ? ?
2

则 ? ? 64k 2m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0

x1 ? x2 ? ?

8km 4(m2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
??????? 9 分

故 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 因为直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列

所以

y1 y2 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? ? ? k 2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ??? 10 分 x1 x2 x1 x2
1 1 8k 2 m2 ? m2 ? 0 ,由于 m ? 0, 故 k 2 ? ? k ? ? 2 4 2 1 ? 4k
???????12 分

??

22.解: (1)因为: f ?( x ) ? x ?

a ( x ? 0) ,又 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? x ? b x ? 2?b ? ?2 ? a ln 2 a 所以 ? 解得: a ? 2, b ? ?2 ln 2 ???4 分 2? ?1 ? 2 ? (2)当 a ? 0 时, f ( x) 在定义域 (0,??) 上恒大于 0 ,此时方程无解;??5 分 a 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? x ? ? 0 在 (0,??) 上恒成立, x 所以 f ( x) 在定义域 (0,??) 上为增函数。
1 2

1 1 ? f (1) ? ? 0 , f (e 2 ) ? e a ? 1 ? 0 ,所以方程有惟一解。??6 分 2 2 a x 2 ? a ( x ? a )(x ? a) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? ? ? x x x 因为当 x ? (0, a ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, a ) 内为减函数;
当 x ? ( a ,??) 时, f ( x) 在 ( a ,??) 内为增函数。 所以当 x ?

a 时,有极小值即为最小值 f ( a ) ?

1 1 a ? a ln a ? a(1 ? ln a ) ?7 分 2 2

当 a ? (0, e) 时, f ( a ) ? 当 a ? e 时, f ( a ) ?

1 a(1 ? ln a) ? 0 ,此方程无解; 2

1 a(1 ? ln a ) ? 0. 此方程有惟一解 x ? a 。 2 1 当 a ? (e,??) 时, f ( a ) ? a(1 ? ln a ) ? 0 2 1 1 因为 f ( ) ? ? 0 且 1 ? a ,所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, a ) 上有惟一解, 2 2 x ? ln x ? 1 因为当 x ? 1 时, ( x ? ln x)? ? 0 ,所以
-7-

1 2 1 x ? a ln x ? x 2 ? ax 2 2 1 2 2 因为 2a ? a ? 1 ,所以 f ( x) ? (2a ) ? 2a ? 0 2 所以 方程 f ( x) ? 0 在区间 ( a ,??) 上有惟一解。 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (e,??) 上有惟两解。 ??11 分 综上所述:当 a ? [0, e) 时,方程无解; 当 a ? 0或a ? e 时,方程有惟一解; 当 a ? e 时方程有两解。 ??12 分
所以

x ? ln x, f ( x) ?

-8-


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