高中数学必修五巩固练习_数列的全章复习与巩固_提高

【巩固练习】

一、选择题

1.已知数列{an}的通项公式为 an

? cos

n? 2

,则该数列的首项 a1 和第四项 a4 分别为

A.0,0 B.0,1 C.-1,0 D.-1,1

2.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍):

第1行

1

第2行

23

第3行

4567





则第 9 行中的第 4 个数是( )

A.132

B.255

C.259

D.260

3.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差是( )

A.5

B.4

C.3

D.2

4.(2016 衡水模拟)等差数列{an}中的两项 a2、a2016 恰好是关于 x 的函数 f(x)=2x2+8x+a(a∈

R)的两个零点,且 a1009+a1010>0,则使{an}的前 n 项和 Sn 取得最小值的 n 为( )

A.1009

B.1010

C.1009,1010

D.2016

? ? 5.设等差数列 an 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k ? ( )

A.2

B.4

C.6

D.8

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( )

A.63

B.45

C.36

D.27

二、填空题

7.设 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项的和,且 S9=18,Sn=240,若 an-4=30(n>9),则 n=________. 8.我市民间刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案, 这

些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律

相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形,则 f(n)的表达式为 f(n)=________(n∈N*).

9.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是 .
10.设数列{an}的通项为 an=2n-7,则|a1|+|a2|+…+|a15|=________. 三、解答题

11.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且 a1,a2,a3,…,an 构成数列{an},又 f(1)=n2. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证: f (1) ? 1. 3

12.已知 ?an ?

是公差为 d

的等差数列,它的前 n 项和为

Sn , S4

?

2S2

?

4 , bn

? 1 ? an an



(1)求公差 d 的值;

(2)若

a1

?

?

5 2

,求数列 ?bn ?

中的最大项和最小项的值.

13.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13

(1)求{an},{bn}的通项公式;

(2)求数列

? ? ?

an bn

? ? ?

的前

n

项和

Sn.

14.(2015 新课标Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,an2+2an=4Sn+3 (Ⅰ)求{an}的通项公式:

(Ⅱ)设 bn

?

1 an an ?1

,求数列{bn}的前

n

项和.

15.(2015 山东) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn=3n+3. (I)求{an}的通项公式;

(II)若数列{bn}满足 anbn=log3 an ,求{bn}的前 n 项和 Tn.
16.(2016 静安区一模)李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”。某创客,白 手起家,2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%。每 月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元,余款全部投入创业再经营。如此每月循环继续。 (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款?

【答案与解析】

1.【答案】 B

【解析】

an

?

f

(n)

?

cos n? 2

,?a1

?

f

(1)

? cos ? 2

? 0, a4

?

f

(4)

? cos 2?

? 1,

2.【答案】C

【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以 1 为首项,公比为 2 的等比数列.前 8 行数的个数

共有 1? 28 ? 255 (个),故第 9 行中的第 4 个数是 259. 1? 2
3.【答案】 C

【解析】 ∵S 偶-S 奇=5d, ∴5d=15,∴d=3.

4.【答案】 A

【解析】由题意可得 a2、a2016 是 2x2+8x+a=0 的两根,可得 a2+a2016=―4, 设公差为 d,可得 2a1+2016d=―4, 即 a1+1008d=―2,即有 a1009=―2, 又 a1009+a1010>0, 可得 a1010>0, 则公差 d>0,数列单调递增,且 a1,a2,…,a1009<0,a1010>0,… 可得前 n 项和 Sn 取得最小值的 n 为 1009。 故选 A。

5.【答案】 B
【解析】由题意知: a1 ? 9d , an ? a1 ? (n ?1)d ? (n ? 8)d ,则

ak 2 ? a1 ? a2k 即[(k ? 8)d ]2 ? 9d ? (2k ? 8)d

∵ d ? 0 ,∴ (k ? 8)2 ? 9 ? (2k ? 8) ,

解得 k ? 4 或 k ? ?2 (舍去),故选B
6. 【答案】 B

法一:依据已知有

? ??

S3

?

? ??

S6

? ?

3a1 6a1

? ?

3?2 d 2
6?5 d 2

?9

? 36

?a1 ? d ? 3 ??2a1 ? 5d ? 12

,解得

???ad1

?1 ?2



所以 a7 ? a8 ? a9 ? 13 ?15 ?17 ? 45 。

法二:依据等差数列的性质有:连续三项和也成等差数列 S3 、 S6 ? S3 、 a7 ? a8 ? a9 成等差数列,

所以 2(S6 ? S3 ) ? S3 ? (a7 ? a8 ? a9 ) ,有 a7 ? a8 ? a9 ? 13 ?15 ?17 ? 45 ,故选 B。
7.【答案】 15

【解析】

由 S9

?

9a1 ? a9 2

? 18 ,得 a5=2,

∴ Sn

?

na1 ? an 2

?

na5 ? an?4 2

? 240 ,

∴n=15.

8.【答案】 2n2-2n+1 【解析】
f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,… 则有:f(2)-f(1)=4=1×4, f(3)-f(2)=8=2×4, f(4)-f(3)=12=3×4, …… f(n)-f(n-1)=(n-1)×4,
∴ f (n) ? f (1) ?[1? 2 ? 3 ? ? (n ?1)]4 ? 1? nn ?1? 4 ? 2n2 ? 2n ?1. 2
9.【答案】4 【解析】设等比数列{an}的公比为 q>0,a1>0. ∵a8=a6+2a4,

∴ a1q7=a1q5+2a 1q3 ,
化为 q4-q2-2=0,解得 q2=2.

∴ a 6=a1q5=a 2q4=1? 22=4 .

故答案为:4. 10.【解析】 由 an=2n-7<0?n<3.5, ∵n∈N*,∴n=1,2,3,
∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+a15=S15-2S3=153. 【答案】 153

11.【解析】

(1)由题意:f(1)=a1+a2+…+an=n2,(n∈N*)

n=1 时,a1=1 n≥2 时,an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1 ∴对 n∈N*总有 an=2n-1,

即数列{an}的通项公式为 an=2n-1.

(2)

f

(1) 3

? 1?

1 3

? 3?

1 32

?

?

(2n

?1)

?

1 3n

1 f (1) ? 1? 1 ? ?? (2n ? 3) 1 ? (2n ?1) 1

33

32

3n

3n?1

21 1 11



3

f

() 3

? 1? 3

?

2(32

?

33

1

1

? 3n ) ? (2n ?1) 3n?1

?

1? 3

2

?

1

?

1 3n?1

9 1? 1

?

(2n

?

1)

1 3n?1

3

?

2 3

?

2n ? 2 3n?1

,



f

(1) 3

?1?

n ?1 3n

?1

12.【解析】

(1)∵

S4

?

2S2

?

4

,∴

4a1

?

3? 4 2

d

?

2(2a1

?

d)

?

4

,解得

d

?1

(2)∵

a1

?

?

5 2

,∴数列 ?an ?

的通项公式为

an

?

a1

?

(n

?1)

?

n

?

7 2

∴ bn

?1?

1 an

?1?

1 n? 7

2

∵函数

f

(x)

?1?

x

1 ?

7



? ??

??,

7? 2 ??



? ??

7 2

,

??

? ??

上分别是单调减函数,

2

∴ b3 ? b2 ? b1 ? 1 ,当 n ? 4 时,1 ? bn ? b4

∴数列?bn? 中的最大项是 b4 ? 3 ,最小项是 b3 ? ?1

13.【解析】

(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,由题意 q>0.



??1 ? ? ??1 ?

2d 4d

? ?

q4 q2

? 21, ? 13

解得

?d ??q

? ?

2 2

∴an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1

(2) an bn

?

2n ?1 2n?1

∴Sn= 1 ?

3 21

?

5 22

???

2n ? 3 2n?2

?

2n ?1 2n?1



5

2n ? 3 2n ?1

2Sn= 2 ? 3 ? 21 ? ? 2n?3 ? 2n?2



②-①可知,Sn= 2 ? 2 ?

2 2

?

2 22

???

2 2n?2

?

2n ?1 2n?1

=

2

?

2

?

(1 ?

1 2

?

1 22

? 1 ) ? 2n ?1

2n?2

2n?1

1? 1 = 2 ? 2 ? 2n?1
1? 1

?

2n ? 2n?1

1

?

6

?

2n ?1 2n?1 .

2

14.【解析】

(1)由 an2+2an=4Sn+3 ∴当 n=1 时 a12+2a1=4a1+3 ∴a12-2a1-3=0 ∴a1=3 或 a1=-1(舍去) ∵an2+2an=4Sn+3 ① 当 n≥2 时,a2n-1+2an-1=4Sn-1+3 ② ①-②得 a2n-a2n-1+2(an-an-1)=4an ∴a2n-a2n-1=2(an+an-1)=4an ∵an>0 ∵an-an-1=2 ∴{an}为首项为 3,公差为 2 的等差数列 ∴an=a1+(n-1)d=2n+1

(2) bn

?

an

1 ? an?1

?

1 (2n ?1)(2n ? 3)

?

1? 2 ??

1? 2n ?1

1? 2n ? 3 ??

∴{bn}的前 n 项和

11 1 1 1

1

1

Tn

?

2

( 3

?

5

?

5

?

7

?

?

?

)

2n ?1 2n ? 3

?Tn

?

1 2

(1 3

?

1) 2n ? 3

?

n 6n ? 9

15.【解析】

(I)因为 2Sn=3n+3, 所以 2a1=3+3,故 a1=3, 当 n>1 时,2Sn―1=3n―1+3,

此时 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ,即 an ? 3n?2 ,

? 3,n ? 1 所以 an ? ??3n?2, n ? 1

(II)因为 anbn=log32,所以

b1

?

1 3



当 n>1 时, bn ? 3n?2 log 2 3n?1 ? (n ? 1) ? 31?n ,

所以

T1

?

b1

?

1 3



Tn

?

b1

?

b2

?

b3

? ?? bn

?

1 3

?

(1? 3?1

?

2 ? 3?2

???

(n

?1) ? 32?n ) ,

所以 3Tn ? 1 ? (1? 30 ? 2 ? 3?1 ? ? ? (n ? 1) ? 33?n )

两式相减,得

2Tn

?

2 3

? (30

? 3?1

? 3?2

? ? ? 32?n )

?

2 3

?

1 ? 32?n 1 ? 3?2

?

(n

?1) ? 32?n

? 13 ? 6n ? 3



6 2 ? 3n

所以 Tn

?

13 12

?

6n ? 3 4 ? 3n

经检验,n=1 也适合,

综上可得

Tn

? 13 ? 6n ? 3 12 4 ? 3n

16.【解析】

法 1:(1)设 n 个月的余款为 an,则 a1=1000000×1.2×0.9―3000=105000, a2=100000×1.22×0.92―3000×1.2×0.9―3000=110400, … a12=100000×1.212×0.912―3000×1.211×0.911―…―3000
=100000×1.212×0.912―3000× [1? (1.2 ? 0.9)12 ] ≈194890(元), 1?1.2? 0.9

法 2:a1=100000×1.2×0.9―3000=105000, 一般的,an=an―1·1.2·0.9―3000, 构造 an+c=1.2×0.9(an―1+c),c=―37500an―37500=(105000―37500)(1.2×0.9)n―1 an=37500+67500×1.08n―1,a12≈194890。 (2)194890―100000×1.05=89890(元),
能还清银行贷款。


相关文档

2018-2019版新探究高中数学北师大必修五精练:第一章 数列 章末复习提升课 巩固提升训练
人教版高中数学【必修五】[重点题型巩固练习]_数列的全章复习与巩固_提高
高中数学必修五巩固练习_数列的全章复习与巩固_基础
人教版高中数学【必修五】[重点题型巩固练习]_数列的全章复习与巩固_基础
高中数学北师大版必修5习题:第一章数列 等差数列复习课
高中数学北师大版必修5习题:第一章数列等差数列复习课
高中数学第二章数列章末复习课练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学北师大版必修5习题:第一章数列等比数列复习课
新版高中数学北师大版必修5习题:第一章数列 等差数列复习课
新版高中数学北师大版必修5习题:第一章数列 等比数列复习课
电脑版