【新】高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案含解析新人教A版选修2_3

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1.3.2

“杨辉三角”与二项式系数的性质

(a+b) 的展开式的二次项系数,当 n 取正整数时可以表示成如下形式:

n

问题 1:从上面的表示形式可以直观地看出什么规律? 提示:在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等;在相邻的两 行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 问题 2:计算每一行的系数和,你又能看出什么规律? 提示:2,4,8,16,32,64,…,其系数和为 2 问题 3:二项式系数的最大值有何规律? 提示:n=2,4,6 时,中间一项最大;n=3,5 时,中间两项最大.
n

二项式系数的性质

性质 对称性
m n-m

内容 Cn=Cn ,即二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. 如果二项式的幂指数 n 是偶数,那么展开式中间一项 T n
2

的二项式系数最大.
+1

增减性 与最大 值 得最大值. 如果 n 为奇数, 那么其展开式中间两项 T n ? 1 与 T n+1 的二项式系数相等且同时取
2 2 +1

二项式 系数的 和

二项展开式中各二项式系数的和等于 2 ,即 Cn+Cn+Cn+…+Cn=2 . 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和, 都等于 2 Cn+…=Cn+Cn+Cn+…=2
5 2 4 6

n

0

1

2

n

n

n-1

, 即 Cn+Cn+

1

3

n-1

.

1.求二项式系数最大的项时,要特别注意 n 的奇偶性,n 为奇数时,中间两项的二项 式系数最大;n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 2.奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,但这并不意味着等号两边二
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项式系数的个数相同.当 n 为偶数时,奇数项的二项式系数多一个;当 n 为奇数时,奇数项 的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同.

与“杨辉三角”有关的问题

如图所示,在“杨辉三角”中,从 1 开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列: 1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前 n 项和为 Sn,求 S19 的值.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 S19=(C2 2+C2)+(C3+C3)+(C4+C4)+…+(C10+C10)+C11=(C2+C3+C4+…+C10)+(C2

+C3+…+C10+C11)=(2+3+4+…+10)+C12=

2

2

2

3

+ 2

+220=274.

解决与“杨辉三角”有关问题的一般思路

如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第________行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 第4行 1 4 6 1 4 1

第 5 行 1 5 10 10 5 1
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0 1


0 1 2

解析:由“杨辉三角”知,第 1 行中的数是 C1,C1;第 2 行中的数是 C2,C2,C2;第 3 行中的数是 C3,C3,C3,C3;…;第 n 行中的数是 Cn,Cn,Cn,…,Cn.设第 n 行中从左到右 第 14 与第 15 个数的比为 2∶3,则 Cn ∶Cn =2∶3,解得 n=34. 答案:34
13 14 0 1 2 3 0 1 2

n

求二项展开式中系数和 设(1-2x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x . 求:(1)a1+a2+a3+a4+a5 的值; (2)a1+a3+a5 的值; (3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值. 记 f(x)=(1-2x) . (1)a1+a2+a3+a4+a5=f(1)-f(0)=-2. (2)f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5, 1 1 5 所以 a1+a3+a5= = (-1-3 )=-122. 2 2 (3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=f(-1)-f(0)=3 -1=242.
5 5 5 2 3 4 5

“赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法, 根据题目要求, 灵活赋予字母所取的不 同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令 x=0 可得常数项,令 x=1 可得 所有项系数之和,令 x=-1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.

多项式 x +x =a0+a1(x+1)+…+a9(x+1) +a10(x+1) . (1)求 a0+a1+…+a10; (2)求 a0-a1+a2-a3+…-a9+a10. 解:(1)令 x+1=1, 即令 x=0,得 0=a0+a1×1+…+a10×1 , 得 a0+a1+…+a10=0. (2)令 x+1=-1, 即令 x=-2,得(-2) +(-2) =a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,得 a0-a1+a2-a3+… -a9+a10=1 016. 二项式系数的性质
3 10 10

3

10

9

10

? 已知? ?x 3 +3x2? 的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为 32.
2
n

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3

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(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 令 x=1,则展开式中各项系数和为(1+3) =2 . 又展开式中二项式系数和为 2 , ∴ 2 n n =2 =32,n=5. 2
2n

n

2n

n

(1)∵n=5,展开式共 6 项, ∴二项式系数最大的项为第 3,4 两项,
2

∴T3=C5(x 3 ) (3x ) =90x ,
2
2 3 3 2 T4=C3 ) (3x ) =270x 5(x

2

3

2 2

6

22 3

.

(2)设展开式中第 k+1 项的系数最大, 则由 Tk+1=C5(x )
k k k-1 k-1 k

2 3

5-k

(3x ) =3 C5x

2 k

k k

10 ? 4 k 3



3 C5≥3 C5 , ? ? k k k+1 k+1 得?3 C5≥3 C5 , ? ?k∈N,

7 9 ∴ ≤k≤ ,∴k=4, 2 2

即展开式中系数最大的项为
2
2 4 3 T5=C4 ·(3x ) =405x 5x

26 3

.

1.求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当 n 为奇数时,中间两项的二项 式系数最大;当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 2.求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变 化情况,一般采用列不等式组、解不等式的方法求得.

2 ?8 ? 在? x- 2? 的展开式中:

?

x?

(1)求二项式系数最大的项. (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 解:(1)二项式系数最大的项为中间项, 即为第 5 项. 故 T5=C8·2 ·x
k
4 4 2-8

=1 120x .
8-k

-6

(2)因 Tk+1=C8·( x) 大,
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?- 22?k=(-1)k·Ck·2k·x4-5k.设第 k+1 项系数的绝对值最 ? x? 8 2 ? ?

4

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?C8·2 ≥C8 ·2 , ? 则? k k k-1 k-1 ? ?C8·2 ≥C8 ·2 ,

k

k

k+1

k+1

1 2 ≥ ? ?8-k k+1, 即? 2 1 ≥ ? ?k 9-k.

整理得?

?k≥5, ? ?k≤6. ?

于是 k=5 或 6.故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项.

4.混淆展开式中的奇 偶 次项与奇 偶 数项 已知(2x-1) 的展开式中, 奇次项系数的和比偶次项系数的和小 3 , 求 Cn+Cn+Cn+… +Cn的值. 设(2x-1) =a0+a1x+a2x +…+anx ,且奇次项的系数和为 A,偶次项的系数和为 B. 则 A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+…, 由已知得 B-A=3 , 令 x=-1 得 a0-a1+a2-a3+…+an(-1) =(-3) , 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3) ,即 B-A=(-3) , 所以(-3) =3 =(-3) ,所以 n=8, 所以 Cn+Cn+Cn+…+Cn=2 -Cn=2 -1=255.
1 2 3 8

n

8

1

2

3

n

n

2

n

n

n

n

n

n

8

8

n

n

0

8

1.求解本题易犯下列问题: 一是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项.二是错误地认为-3 =(-3) .三是把 Cn+Cn+Cn+…+Cn看成二项展开式各项二项式系数和,忽略了 Cn. 2.解答此类问题应掌握(a+b) 的展开式的各个二项式系数的和为 2 ,且奇数项二项式 系数的和与偶数项二项式系数的和都等于 2
n-1 n n
1 2 3 8 8

n

0

.

已知 (1 - x) = a0 + a1x + a2x + a3x + a4x + a5x ,则 (a0 + a2 + a4)(a1 + a3 + a5) 的值等于 ________. 解析:依题可得 a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256. 答案:-256

5

2

3

4

5

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5

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1.(1+x)

2n+1

的展开式中,二项式系数最大的项所在项数是( B.n-1,n D.n+2,n+3

)

A.n,n+1 C.n+1,n+2

解析:选 C 该式展开共 2n+2 项,中间有两项,第 n+1 项与第 n+2 项,所以第 n+1 项与第 n+2 项为二项式系数最大的项. 2.已知 Cn+2Cn+2 Cn+…+2 Cn=729,则 Cn+Cn+Cn的值等于( A.64 C.63
0 1 0 1 2 2

n n

1

3

5

)

B.32 D.31
n n n n
1 3 5

解析:选 B Cn+2Cn+…+2 Cn=(1+2) =3 =729,∴n=6,∴C6+C6+C6=32. 3.已知(a-x) =a0+a1x+a2x +…+a5x ,若 a2=80,则 a0+a1+a2+…+a5=( A.32 C.-243 解析:选 B
5 5 2 5

)

B.1 D.1 或-243 (a-x) 展开式的通项为 Tk+1=(-1) ·C5a
k k 5-k k

x ,令 k=2,得 a2=(-1)2C2 5

a3=80,解得 a=2,即(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a5
=1. 4.若(x+3y) 的展开式中各项系数的和等于(7a+b) 的展开式中二项式系数的和,则
n
10

n 的值为________.
解析:(7a+b) 的展开式中二项式系数的和为 C10+C10+…+C10=2 ,令(x+3y) 中 x =y=1,则由题设知,4 =2 ,即 2 =2 ,解得 n=5. 答案:5 5.求(1-x) 的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数最小的项. 解:(1)因为(1-x) 的幂指数 8 是偶数,由二项式系数的性质,知(1-x) 的展开式中 间一项(即第 5 项)的二项式系数最大.该项为 T5=C8(-x) =70x . (2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者,即第 4 项和第 6 项系数相等且 最小,分别为
3 3 5 5 5 T4=C3 8(-x) =-56x ,T6=C8(-x) =-56x . 4 4 4 8 8 8 10 0 1 10 10

n

n

10

2n

10

一、选择题 1.已知(2-x) =a0+a1x+a2x +…+a10x ,则 a8 等于(
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10 2 10

)

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A.180 C.45 解析:选 A a8=C10·2 =180.
8 2

B.-180 D.-45

2.在(a-b) 的二项展开式中,二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的项是( A.第 15 项 C.第 17 项
5 20

20

)

B.第 16 项 D.第 18 项
15 5

解析:选 B 第 6 项的二项式系数为 C ,又 C20=C20,所以第 16 项符合条件. 3. “杨辉三角”如图所示, “杨辉三角”中的第 5 行除两端数字 1 外, 均能被 5 整除, 则具有类似性质的行是( 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 第4行 1 4 6 1 4 1 )

第 5 行 1 5 10 10 5 1 … A.第 6 行 C.第 8 行 解析:选 B 由题意,第 6 行为 1 6 整除. 4.关于(a-b) 的说法,错误的是( A.展开式中的二项式系数之和为 1 024 B.展开式中的第 6 项的二项式系数最大 C.展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D.展开式中第 6 项的系数最小 解析:选 C 根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知:二项式系数之 和为 2 ,故 A 正确;当 n 为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故 B 正确,C 错误; D 也是正确的,因为展开式中第 6 项的系数是负数,所以是系数中最小的. 5. 在(x- 2) A.2 C.2
3 023 2 016 10

… B.第 7 行 D.第 9 行 6 15 20 15 1,故第 7 行除去两端数字 1 外,均能被 7

1,第 7 行为 1 7

21 35 35 21 7

)

n

的二项展开式中, 含 x 的奇次幂的项之和为 S, 当 x= 2时, S 等于( B.-2 D.-2
3 023

)

3 024

3 024

解析: 选 B 因为 S=

x- 2

2 016

- x+ 2 2

2 016

2 , 当 x= 2时, S=-

3 024

2

=-2

3 023

.

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7

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二、填空题 6. 在(1+2x) 的展开式中, C7是第________项的二项式系数, 第 3 项的系数是________. 解析:由二项式系数的定义知 Cn为第 k+1 项的系数,∴C7为第 3 项的二项式系数. ∵T2+1=C7·(2x) =2 ·C7x , ∴第 3 项的系数为 2 ·C7=84. 答案:3 84
5 2 2 2 2 2 2 2 7 2

k

2

7.(1-3a+2b) 的展开式中不含 b 的项的系数之和是________. 解析:令 a=1,b=0, 即得不含 b 的项的系数和为(1-3) =-32. 答案:-32 8.设(1+x) + (1+ x) +…+ (1+ x) = a0+a1·x+ a2·x +…+ a50·x ,则 a3 等于 ________. 解析:a3=C3+C4+C5+…+C50=C4+C4+…+C50=C5+C5+…+C50=C51. 答案:C51 三、解答题 9.(1+2x) 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项 和系数最大的项. 解:T6=Cn(2x) ,T7=Cn(2x) ,依题意有 Cn2 =Cn2 ? n=8.∴(1+2x) 的展开式中,二 项式系数最大的项为 T5=C8(2x) =1 120x .
?C82 ≥C8 2 , ? 设第 k+1 项系数最大,则有? k k k+1 k+1 ?C82 ≥C8 2 . ?
k k k-1 k-1
4 4 4 5 5 6 6 5 5 6 6 4 3 3 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 4 50 2 50 5

n

n

∴5≤k≤6. 又∵k∈{0,1,2,…,8},∴k=5 或 k=6. ∴系数最大的项为 T6=1 792x ,T7=1 792x . 10.设 m,n∈N,f(x)=(1+x) +(1+x) . (1)当 m=n=7 时,f(x)=a7x +a6x +…+a1x+a0,求 a0+a2+a4+a6; (2)当 m=n 时,f(x)展开式中 x 的系数是 20,求 n 的值; (3)f(x)展开式中 x 的系数是 19,当 m,n 变化时,求 x 系数的最小值. 解:(1)赋值法:分别令 x=1,x=-1,得 a0+a2+a4+a6=128. (2)T3=2Cnx =20x ,∴n=5. 1 2 2 2 (3)m+n=19,x 的系数为 Cm+Cn= m(m-1) 2 1 1 ? 19?2 323 + n·(n-1)= =171-mn=171-(19-n)n=?n- ? + , 2? 2 2 4 ?
2 2 2 2 2 7 6 5 6

m

n

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8

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所以,当 n=10 或 n=9 时,f(x)展开式中 x 的系数最小值为 81.

2

11.(2x-3y) 展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和; (4)各项系数绝对值的和. 解:设(2x-3y) =a0x +a1x y+a2x y +…+a9y . (1)二项式系数之和为 C9+C9+C9+…+C9=2 . (2)令 x=1,y=1,得各项系数之和
0 1 2 9 9 9 9 8 7 2 9

9

a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)令 x=1,y=-1,得

a0-a1+a2-a3+…-a9=59,
又 a0+a1+a2+…+a9=-1, 5 -1 两式相加得 a0+a2+a4+a6+a8= , 2 5 -1 故所有奇数项系数之和为 . 2 (4)∵Tk+1=C9(2x) =(-1) 2
k 9-k k
9-k 9 9

(-3y)
k

k

·3 C9x

k k 9-k

·y ,

∴a1<0,a3<0,a5<0,a7<0,a9<0. ∴|a0|+|a1|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9, 令 x=1,y=-1, 得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=59.
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