2019年高考数学一轮复习: 第2章 函数、导数及其应用 第5节 指数与指数函数学案 文 北师大版

第五节 指数与指数函数 [考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义, 了解实数指数幂的意义, 掌握幂的运算.2.了解指 数函数模型的实际背景, 理解指数函数的概念及其单调性, 掌握指数函数图像通过的特殊点, 1 1 会画底数为 2,3,10, , 的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型. 2 3 (对应学生用书第 16 页) [基础知识填充] 1.分数指数幂 (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a 负分数指数幂的意义是 a = 1 = a (a>0,m,n∈N+,且 n>1);正数的 n m (a>0,m,n∈N+,且 n>1);0 的正分数指数幂等 n am 于 0;0 的负分数指数幂没有意义. (2)幂的运算性质:a a =a 2.指数函数的图像与性质 m n m+n ,(a ) =a ,(ab) =a b ,其中 a>0,b>0,m,n∈R. m n mn n n n a>1 0<a<1 图像 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) 性质 (3)过点(0,1),即 x=0 时,y=1 (4)当 x>0 时,y>1, (5)当 x>0 时,0<y<1 x<0 时,0<y<1 (6)是 R 上的增函数 [知识拓展] 指数函数的图像与底数大小的比较 x<0 时,y>1 (7)是 R 上的减函数 如图是指数函数(1)y=a ,(2)y=b ,(3)y=c ,(4)y=d 的图像,底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>B.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数 x x x x y=ax(a>0,且 a≠1)的图像越高,底数越大. 图 2?5?1 [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 4 4 (1) ?-4? =-4.( ) ) ) ) (2)(-1) =(-1) = -1.( (3)函数 y=2 x-1 是指数函数.( (4)函数 y=ax +1(a>1)的值域是(0,+∞).( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2.化简[(-2) ] A.-9 C.-10 B [原式=(2 ) 6 6 2 -(-1) 的结果为( 0 ) B.7 D.9 -1=8-1=7.] ) ? 1? 则 f(-1)等于( x 3. (教材改编)若函数 f(x)=a (a>0, 且 a≠1)的图像经过点 P?2, ?, ? 2? A. 2 2 B. 2 D.4 1 C. 4 B 1 2 2 [由题意知 =a ,所以 a= , 2 2 所以 f(x)=? x ? 2?x ? 2?-1 ? ,所以 f(-1)=? ? = 2.] 2 ? ? ?2? ) 4.函数 y=a -a(a>0,且 a≠1)的图像可能是( A C C. x B C D [法一:令 y=a -a=0,得 x=1,即函数图像必过定点(1,0),符合条件的只有选项 法二:当 a>1 时,y=a -a 是由 y=a 向下平移 a 个单位,且过(1,0),A,B,D 都不合 x x 适; 当 0<a<1 时,y=a -a 是由 y=a 向下平移 a 个单位,因为 0<a<1,故排除选项 D.] 5.指数函数 y=(2-a) 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是________. (1,2) [由题意知 0<2-a<1,解得 1<a<2.] x x x (对应学生用书第 17 页) 指数幂的运算 化简求值: ? 3?0 -2 ? 1? (1)?2 ? +2 ·?2 ? ? 5? ? 4? -(0.01) ; 0.5 1 ?4? 1 2 1 1 1 16 ? 1 ? [解] (1)原式=1+ ×? ? -? ? =1+ × - =1+ - = . 4 ?9? 4 3 10 6 10 15 ?100? (2)原式= [规律方法] 1 =a. 1.指数幂的运算,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用 法则计算,但应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加; (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. [变式训练 1] 化简求值: (1)(0.027) ?1?-2 ? 7? 0 -? ? +?2 ? -( 2-1) ; ?7? ? 9? b-1)÷(4a ·b-3) . 5 -2 (2) a ·b ·(-3a 6 [解] (1)原式=? ? 27 ? ? ?1 000? ?25? 2 -7 +? ? -1 ?9? 10 5 = -49+ -1=-45. 3 3 5 (2)原式=- a 2 5 =- a 4 b-3÷(4a ·b-3) ) b-3÷(a b 5 =- a 4 ·b 5 1 5 ab =- · =- 2 . 3 4 4ab ab 指数函数的图像及应用 (1)(2018·南阳模拟)函数 y=e -|x-1| 图像的大致形状是( ) (2)若曲线 y=|2 -1|与直线 y=b 有两个公共点,求 b 的取值范围. 【导学号:00090029】 (1)B [y=e -|x-1| x ?1?|x-1|, ?1?|x| =? ? 因此原函数的图像是函数 y=? ? 的图像向右平移一个单位 ?e? ?e? x 得到的,故选 B.] (2)曲线 y=|2 -1|与直线 y=b 的图像如图所示,由图像可得,如果曲线 y=|2 -1|与 直线 y=b 有两个公共点, 则 b 的取值范围是(0,1). x [规律方法] 指数函数图像的画法(判断)及应用 (1)画(判断)指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), x ?-1,1?. ? a? ? ? (2)与指数函数有

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