高考数学必胜秘诀在哪――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(四)三角函数

高考数学必胜秘诀在哪? 高考数学必胜秘诀在哪? 数学必胜秘诀在哪 ――概念 方法、题型、易误点 概念、 ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
四、三角函数
角的概念的推广: 1、 角的概念的推广 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角, 一条射线没有 作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 2、象限角的概念 半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示: 3. 终边相同的角的表示 (1) α 终边与 θ 终边相同( α 的终边在 θ 终边所在射线上) α = θ + 2kπ ( k ∈ Z) ,注 注 意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825 的终边相同,且 如 绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 (答: 25 ;

5 π) 36 (2) α 终边与 θ 终边共线( α 的终边在 θ 终边所在直线上) α = θ + kπ ( k ∈ Z) . (3) α 终边与 θ 终边关于 x 轴对称 α = θ + 2kπ ( k ∈ Z) . (4) α 终边与 θ 终边关于 y 轴对称 α = π θ + 2kπ ( k ∈ Z) . (5) α 终边与 θ 终边关于原点对称 α = π + θ + 2 kπ ( k ∈ Z ) . (6) α 终边在 x 轴上的角可表示为: α = kπ , k ∈ Z ; α 终边在 y 轴上的角可表示为: π kπ π α = kπ + , k ∈ Z ; 终边在坐标轴上的角可表示为: = α α , k ∈ Z .如 α 的终边与 的 如 2 2 6

终边关于直线 y = x 对称,则 α =____________。 (答: 2kπ +

π

的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 α 是第二象限角, 4、 α 与 α 的终边关系 如 则

3

, k∈Z )

α
2

2

是第_____象限角(答:一、三)
2 5.弧长公式 5.弧长公式: l =| α | R ,扇形面积公式: S = 1 lR = 1 | α | R ,1 弧度(1rad) ≈ 57.3 . 弧长公式

2

2

(答:2 cm ) 如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 任意角的三角函数的定义: P (异 6、 任意角的三角函数的定义 设 α 是任意一个角, ( x, y ) 是 α 的终边上的任意一点 于 原 点 ), 它 与 原 点 的 距 离 是 r =

2

x 2 + y 2 > 0 , 那 么 sin α =

y x , cos α = , r r

tan α =

数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。如(1)已知角 α 的终边经过点 P(5, 如

y x r r , ( x ≠ 0 ) , cot α = ( y ≠ 0) , sec α = ( x ≠ 0 ) , csc α = ( y ≠ 0 ) 。三角函 x y x y

7 ) (2)设 α 是第三、四象限角, ; 13 2m 3 3 | sin α | cos α , m 的取值范围是_______ 则 (答: (-1, ) ) 3) ; 若 ( + = 0, sin α = 4m 2 sin α | cos α | 试判断 cot(sin α ) tan(cos α ) 的符号(答:负) y 三角函数线的特征是: 正弦线 MP “站在 x 轴上(起点在 x 7.三角函数线的特征 三角函数线的特征 T B S 轴上)” 余弦线 OM 、 “躺在 x 轴上(起点是原点)” 正切线 AT 、 “站 P 在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角函数线的重要应用是比较三 三角函数线的重要应用是比较三
- 12) , 则 sin α + cos α 的 值 为 _ _ 。 答 : (
α O M A x

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角函数值的大小和解三角不等式 如 角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若 的大小和解三角不等式

π
8

< θ < 0 ,则 sin θ , cos θ , tan θ 的大小关系

为_____(答: tan θ < sin θ < cos θ ); 2 ) 若 α 为锐角,则 α ,sin α , tan α 的大小关系为 ( _______ (答: sin α < α < tan α )(3)函数 y = 1 + 2 cos x + lg(2 sin x + 3 ) 的定义域 ; 是_______(答: (2kπ

π

3

, 2 kπ +

2π ](k ∈ Z ) ) 3
90° 1

8.特殊角的三角函数值 8.特殊角的三角函数值: 特殊角的三角函数值 30° 45° 60°

0° 0

180° 0

270° -1

15°

75°

sin α

1 2

2 2 2 2
1

3 2 1 2

6 2 4 6+ 2 4
2- 3

6+ 2 4 6 2 4
2+ 3

cos α
tan α

3 2
3 3

1

0

-1

0

3 3 3

0

0

cot α

3

1

0

0

2+ 3

2- 3

同角三角函数的基本关系式: 9. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: sin 2 α + cos 2 α = 1,1 + tan 2 α = sec 2 α ,1 + cot 2 α = csc2 α (2)倒数关系:sin α csc α =1,cos α sec α =1,tan α cot α =1, (3)商数关系: tan α =

sin α cos α , cot α = cos α sin α

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三 角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩 角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时, 一般不需用同角三角函数的基本关系式, 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号, 再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。如(1)函数 y = 如
2

sin α + tan α 的值的符号为____(答:大于 0)(2)若 0 ≤ 2 x ≤ 2π , ; cos α + cot α

则使 1 sin 2 x = cos 2 x 成立的 x 的取值范围是____(答: [0,

π

3 m3 4 2m π [ π , π ] )(3)已知 sin θ = ; , cos θ = ( < θ < π ) ,则 tan θ =____(答: 4 m+5 m+5 2 5 tan α sin α 3 cos α 2 ) ( 4 ) 已知 ; = 1 ,则 =____; sin α + sin α cos α + 2 = 12 tan α 1 sin α + cos α 5 13 a _________(答: ; )(5)已知 sin 200 = a ,则 tan 160 等于 ; A、 3 5 1 a2

4

]∪

1 a2 则 f (sin 30 ) 的值为______(答:-1) 。 k 10.三角函数诱导公式 三角函数诱导公式( 10.三角函数诱导公式( π + α )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或 2

B、

a

C、

1 a 2 a

D、

1 a 2 (答:B)(6)已知 f (cos x ) = cos 3 x , ; a

偶数) ,符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的
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三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k π + α , 0 ≤ α < 2π ;(2)转化为锐角 三角函数。如(1) cos 如

9π 7π 2 3 + tan( ) + sin 21π 的值为________(答: )(2) ; 4 6 2 3 4 已 知 sin(540 + α ) = , 则 cos(α 270 ) = ______ , 若 α 为 第 二 象 限 角 , 则 5 4 3 [sin(180 α ) + cos(α 360 )]2 = ________。 (答: ; ) 5 100 tan(180 + α )
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令α = β sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β sin 2α = 2 sin α cos α →
令α = β cos (α ± β ) = cos α cos β sin α sin β cos 2α = cos 2 α sin 2 α →

↓ =                         2 cos 2 α 1 = 1 2sin 2 α tan α ± tan β 1+cos2α         cos 2 α= 1 tan α tan β 2 1 cos2α ↓                      2 α= sin 2 2 tan α     2α = tan 1 tan 2 α 1 π π A、sin 15 cos 15 B、cos 2 sin 2 如(1)下列各式中,值为 的是 2 12 12 tan 22.5 1 + cos 30 C、 D、 (答:C)(2)命题 P: tan( A + B ) = 0 ,命题 ; 2 1 tan 22.5 2 B、充分不必要条件 C、必要 Q: tan A + tan B = 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件   (α ± β ) = tan
不 充 分 条 件 D 、 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 ( 答 : C );( 3 ) 已 知 (

sin( α β )cos α cos( α β ) sin α =

3 7 ,那么 cos 2 β 的值为____(答: ) (4) ; 5 25

1 3 0 0 的值是______(答:4) (5) ;(5) (5)已知 tan110 = a ,求 tan 50 的值(用 a 表 sin 10 sin 80 a 3 1 a2 示)甲求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的 2a 1 + 3a
判断是______(答:甲、乙都对) 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第 角的变换是三角函数变换的核心! 角的变换是三角函数变换的核心 二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: 基本的技巧有: 基本的技巧有 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 (1)巧变角 两角与其和差角的变换. 如 α = (α + β ) β = (α β ) + β , 2α = (α + β ) + (α β ) ,

2α = ( β + α ) ( β α ) , α + β = 2
已知 tan(α + β ) =

α +β
2



α+β
2

= α

2 π 1 π 3 , tan( β ) = ,那么 tan(α + ) 的值是_____(答: )(2) ; 5 4 4 4 22 π β 1 α 2 已知 0 < β < < α < π , cos( α ) = , 且 sin( β ) = , cos( α + β ) 的值 求 (答: 2 2 9 2 3 490 3 )(3)已知 α , β 为锐角, sin α = x, cos β = y , cos(α + β ) = ,则 y 与 x 的函 ; 729 5
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(

β
2

) (α β )
2

等) 如(1) ,如

数关系为______(答: y =

3 4 3 1 x 2 + x( < x < 1) ) 5 5 5 (2)三角函数名互化 三角函数名互化(切割化弦),如(1)求值 sin 50 (1 + 3 tan10 ) (答:1)(2) ; 三角函数名互化 如 sin α cos α 2 1 已知 = 1, tan(α β ) = ,求 tan( β 2α ) 的值(答: ) 1 cos 2α 3 8 (3)公式变形使用 tan α ± tan β = tan (α ± β )(1 tan α tan β ) 。如(1)已知 A、B 公式变形使用( 公式变形使用 如
为锐角,且满足 tan A tan B = tan A + tan B + 1 ,则 cos( A + B ) =_____(答:

2 ) (2) ;(2) 2

设 ABC 中,tan A + tan B + 3 = 三角形(答:等边)

3 tan Atan B ,sin Acos A =

3 , 则此三角形是____ 4

1 + cos 2α 1 cos 2α 2 , sin α = 与升幂 2 2 3 2 2 公式: 1 + cos 2α = 2 cos α , 1 cos 2α = 2 sin α )。如(1) α ∈ ( π , π ) ,化简 如(1)若 2
(4)三角函数次数的降升 三角函数次数的降升(降幂公式: cos α = 三角函数次数的降升
2

1 1 1 1 α + + cos 2α 为_____(答:sin )(2)函数 f ( x ) = 5 sin x cos x 5 3 cos 2 x ; 2 2 2 2 2 5 π 5π + 3( x ∈ R ) 的单调递增区间为___________(答: [ kπ ,kπ + ]( k ∈ Z ) ) 2 12 12 (5)式子结构的转化 式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如(1) tan α (cos α sin α ) 式子结构的转化 如
1 + tan sin α + tan α 1 + sin α 2 ; 3)化简: + (答: sin α )(2)求证: ; = ( α α cot α + csc α 2 1 2sin 1 tan 2 2 1 2 cos 4 x 2 cos 2 x + 2 (答: 1 cos 2 x ) π π 2 2 tan( x) sin 2 ( + x) 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指 常值变换主要指“ 的变换( (6)常值变换主要指“1”的变换 1 = sin x + cos x = sec x tan x = tan x cot x 3 = tan π = sin π = 等) 如已知 tan α = 2 ,求 sin 2 α + sin α cos α 3cos 2 α (答: ). ,如 4 2 5 (7)正余弦“三兄妹 sin x ± cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” 如(1) (7) 三兄妹— sin ,如 三兄妹 t 2 1 若 sin x ± cos x = t , sin x cos x = 则 __ (答:± ), 特别提醒: 特别提醒 这里 t ∈ [ 2, 2] ; 2 4+ 7 (答: )(3)已知 ; (2)若 α ∈ (0, π ),sin α + cos α = 1 ,求 tan α 的值。 2 3 sin 2α + 2 sin 2 α π π = k ( < α < ) ,试用 k 表示 sin α cos α 的值(答: 1 k ) 。 1 + tan α 4 2
13、辅助角公式中辅助角的确定 13、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x + b cos x = 在的象限由 a, b 的符号确定, θ 角的值由 tan θ =

α

a 2 + b 2 sin ( x + θ ) (其中 θ 角所

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a

则 (答: [-2,2]) ; ( 若方程 sin x 3 cos x = c 有实数解, c 的取值范围是___________. 如 1)

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(2)当函数 y = 2 cos x 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答:

f ( x ) = sin ( x + ) + 2 cos( x + ) 是奇函数,则 tan =
2

3 ); 3)如果 ( 2

( 答 : - 2) ;( 4 ) 求 值 : (

3 1 + 64 sin 2 20° = ________(答:32) 2 sin 20° cos 20° 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 图象的作图 14、正弦函数和余弦函数的图象 π 3π 方法:五点法:先取横坐标分别为 0, , π , , 2π 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接 2 2
起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、 的性质: 15、正弦函数 y = sin x ( x ∈ R ) 、余弦函数 y = cos x ( x ∈ R ) 的性质 定义域:都是 R。 (1)定义域 (2)值域:都是 [ 1,1] ,对 y = sin x ,当 x = 2kπ + 值域

π

x = 2kπ +

3π ( k ∈ Z ) 时, y 取最小值-1;对 y = cos x ,当 x = 2kπ ( k ∈ Z ) 时, y 取最 2

2

( k ∈ Z ) 时, y 取最大值 1;当
π

大值 1,当 x = 2kπ + π ( k ∈ Z ) 时, y 取最小值-1。如(1)若函数 y = a b sin(3 x + 如 的最大值为

6

)

3 1 1 ,最小值为 ,则 a = __, b = _(答: a = , b = 1 或 b = 1 )(2)函数 ; 2 2 2

f ( x) = sin x + 3 cos x( x ∈ [

π π

; 则 y = cos β 6 sin α 的最大值和最小值分别是____ 、_____(答:7;-5) ( 4 ) 函数

, ]) 的值域是____ (答: [-1, 2]) 3) 2α + β = π , ; 若 ( 2 2

f ( x) = 2 cos x sin( x + ) 3 sin 2 x + sin x cos x 的最小值是_____,此时 x =__________ 3 π 1 (答:2;kπ + (k ∈ Z ) )(5)己知 sin α cos β = ,求 t = sin β cos α 的变化范围(答: ; 12 2 1 [0, ] )(6)若 sin 2 α + 2 sin 2 β = 2 cos α ,求 y = sin 2 α + sin 2 β 的最大、最小值(答: ; 2 y max = 1 , y min = 2 2 2 ) 特别提醒 。特别提醒 特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余
弦函数的有界性了吗? 周期性: ② ( 3) 周期性 ① y = sin x 、y = cos x 的最小正周期都是 2 π ; f ( x ) = A sin(ω x + ) 和 f ( x ) = A cos(ω x + ) 的 最 小 正 周 期 都 是 T =

π

2π πx 。 如 (1) 若 f ( x) = sin ,则 |ω | 3 f (1) + f (2) + f (3) + + f (2003) =___(答:0) (2) 函数 f ( x) = cos 4 x 2sin x cos x ;(2)

sin 4 x 的最小正周期为____ 答: ) (3) 设函数 f ( x) = 2 sin( x + ) , ( π ; 若对任意 x ∈ R 2 5 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x 2 ) 成立,则 | x1 x2 | 的最小值为____(答:2) ( 4 ) 奇 偶 性 与 对 称 性 : 正 弦 函 数 y = sin x ( x ∈ R ) 是 奇 函 数 , 对 称 中 心 是

π

π

( kπ , 0 )( k ∈ Z ) ,对称轴是直线 x = kπ + ( k ∈ Z ) ;余弦函数 y = cos x( x ∈ R) 是偶函数,
对称中心是 kπ +

π

, 0 ( k ∈ Z ) ,对称轴是直线 x = kπ ( k ∈ Z ) (正(余)弦型函数的对称轴 2 。如 为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 如(1)函数



π

2

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5π ( y = sin 2 x 的 奇 偶 性 是 ______ ( 答 : 偶 函 数 );( 2 ) 已 知 函 数 2 f ( x ) = ax + b sin 3 x + 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) = 7 ,则 f ( 5 ) = ______(答:-5)(3) ; 函 数 y = 2 cos x (sin x + cos x) 的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 __________ 、 kπ π kπ π ____________ ( 答 : ( ,1 )( k ∈ Z ) 、 x = + ( k ∈ Z ) );( 4 ) 已 知 ( 2 8 2 8
f ( x ) = sin( x + θ ) + 3 cos( x + θ ) 为偶函数,求 θ 的值。 (答: θ = kπ +
( 5 ) 单 调 性 : y = sin x在 2kπ

π



π
2

, 2kπ +

π
2

6

(k ∈Z ))

(k ∈ Z )

上 单 调 递 增 , 在

π 3π 2kπ + 2 , 2kπ + 2 ( k ∈ Z ) 单调递减;y = cos x 在 [ 2kπ , 2kπ + π ] ( k ∈ Z ) 上单调递减, 在 [ 2kπ + π , 2kπ + 2π ] ( k ∈ Z ) 上单调递增。特别提醒 特别提醒,别忘了 k ∈ Z ! 特别提醒 16、 的函数: 16、形如 y = A sin(ω x + ) 的函数: 1 几个物理量:A―振幅; f = ―频率(周期的倒数) ω x + ―相位; ―初 ; (1)几个物理量 T
相; 表达式的确定: 函数 y = A sin(ω x + ) 表达式的确定 A 由最值确定;ω ( 2) 由 周 期 确 定 ; 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如
2 3 Y 2π 9 X

f ( x) = A sin(ω x + )( A > 0, ω > 0 ,| |<

π
2

) 的图象如图所示,则

-2 15 π 23题 23 题 图 f ( x) =_____(答: f ( x) = 2 sin( x + ) ) ; 2 3 图象的画法:①“五点法”――设 X = ω x + ,令 X = (3)函数 y = A sin(ω x + ) 图象的画法 π 3π 0, , π , , 2π 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法: 2 2

这是作函数简图常用方法。 ( 4) 函数 y = A sin(ω x + ) + k 的图象与 y = sin x 图象间的关系: 图象间的关系 ①函数 y = sin x 的 图 象 ; ② 函 数 y = sin ( x + ) 图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

图象纵坐标不变,横坐标向左( >0)或向右( <0)平移 | | 个单位得 y = sin ( x + ) 的

1

y = sin (ω x + ) 的图象;③函数 y = sin (ω x + ) 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数 y = A sin(ω x + ) 的图象;④函数 y = A sin(ω x + ) 图象的横坐标不变,
若由 y = sin (ω x ) 得到 y = sin (ω x + ) 的图象,则向左或向右平移应平移 | (1)函数 y = 2sin(2 x

ω

,得到函数

,得到 y = A sin (ω x + ) + k 的图象。要特别注意 特别注意, 纵坐标向上( k > 0 )或向下( k < 0 ) 特别注意

π
4

| 个单位,如 如 ω π

) 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y = sin x 的图象?(答:

y = 2sin(2 x ) 1 向上平移 1 个单位得 y = 2sin(2 x ) 的图象,再向左平移 个单位 4 4 8 得 y = 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y = 2sin x 的图象,最后将纵坐标缩小 1 x π ;(2) 到原来的 即得 y = sin x 的图象) (2) 要得到函数 y = cos( ) 的图象,只需把函数 2 2 4
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π

π

y = sin

x π 7π 的图象向___平移____个单位(答:左; )(3)将函数 y = 2sin(2 x ; ) +1 图 3 2 2

这样的向量是否唯一?若唯一, 求出 a ; 像, 按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称, 若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量 a = (

π

函数 f ( x ) = cos x + sin x x ∈ [ 0, 2π ] 的图象与直线 y = k 有且仅有四个不同的交点, k 则 的取值范围是 (答: [1, 2) ) 性质的方法: 的性质,只需将 (5)研究函数 y = A sin(ω x + ) 性质的方法:类比于研究 y = sin x 的性质 y = A sin(ω x + ) 中的 ω x + 看成 y = sin x 中的 x ,但在求 y = A sin(ω x + ) 的单调区 求 间时, 要特别注意 A 和 ω 的符号, 的符号, 化正。 函数 y = sin( 2 x + 间时, 通过诱导公式先将 ω 化正。 (1) 如 的递减区间是______(答: [ kπ

(

)

6

, 1) )(4)若 ;

π

5 π x π π ,kπ + ]( k ∈ Z ) )(2) y = log 1 cos( + ) 的 ; 12 12 3 4 2 3 3π 递 减 区 间 是 _______ ( 答 : [ 6kπ π , 6kπ + ]( k ∈ Z ) );( 3 ) 设 函 数 ( 4 4 π π 2π 对称, 它的周期是 π , f ( x) = A sin(ωx + )( A ≠ 0, ω > 0, < < ) 的图象关于直线 x =

3

)

1 则 A 、 f ( x )的图象过点(0, ) 2
12

5π 2π B 、 f ( x) 在 区 间 [ , ] 上是减函数 C、 12 3 5π D、 f ( x ) 的最大值是 A(答:C)(4)对于函数 ; f ( x )的图象的一个对称中心 是 ( ,0)

2

2

3

π f ( x ) = 2sin 2 x + 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线 3
x=

π
12

成轴对称; ③图象可由函数 y = 2sin 2 x 的图像向左平移

π
3

个单位得到; ④图像向左

平移

π

12

个单位, 即得到函数 y = 2 cos 2 x 的图像。 其中正确结论是_______ (答: ②④) 5) ; (

已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ) 图象与直线 y = 1 的交点中,距离最近两点间的距离为 那么此函数的周期是_______(答: π ) 17、 的图象和性质: 17、正切函数 y = tan x 的图象和性质 (1)定义域:{x | x ≠

π
3



π
2

+ kπ , k ∈ Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数

的定义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 π ,它与直线 y = a 的两个相邻交点之间的距离是 一个周期 π 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响 绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加 绝对值或平方对三角函数周期性的影响 绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变 弦减半、 弦减半 切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝 对值,其周期性不变,其它不定。 如 y = sin 2 x, y = sin x 的周期都是 π , 但 y = sin x

+ cos x 的周期为
期不变;

π
2

,而 y =| 2 sin(3 x

π
6

)+

1 π |, y =| 2sin(3 x ) + 2 | , y =| tan x | 的周 2 6
kπ 特别提醒:正(余) , 0 ( k ∈ Z ) ,特别提醒 特别提醒 2

(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是

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切型函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但 无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间

π π + kπ , + kπ ( k ∈ Z ) 内都是增函数。但要注 要注 2 2

意在整个定义域上不具有单调性。如下图: 意在整个定义域上不具有单调性

y = A sin(ω x + y=Asin(ωx+φ) ) y ω φ
O x

y=Atan(ωx+φ) ) ω φ y = A tan(ω x +
O

y x

x3

x4
邻中心轴相距

x3
x=x1 T
4

x4 x=x1 x=x2

x=x2
邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定 确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

由y=A或-A确定 或 确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 交点的距离为一个周期!

三角形中的有关公式: 18. 三角形中的有关公式 (1)内角和定理 内角和定理:三角形三角和为 π ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 内角和定理 能忘记!任意两角和 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和 任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角 任意两角和 任意两半角和 锐角三角 形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方 和大于第三边的平方.

a = b = c = 2 R (R 为三角形外接圆的半径).注意 注意:①正弦 注意 sin A sin B sin C a b 定理的一些变式: ( i ) a : b : c = sin A : sin B : sin C ; ( ii ) sin A = , sin B = ,sin C 2R 2R c = ; ( iii ) a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, b = 2 R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三 2R
(2)正弦定理 正弦定理: 正弦定理 角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
2 2 2 (3)余弦定理 a = b + c 2bc cos A, cos A = b + c a 等,常选用余弦定理鉴定 余弦定理: 余弦定理 2 2 2

2bc

三角形的形状.

2 2 2 2 2 2 2 如 ABC 中,若 sin A cos B cos A sin B = sin C ,判断 ABC 的形状(答:直角
2

(4)面积公式 S = 1 aha = 1 ab sin C = 1 r ( a + b + c) 面积公式: (其中 r 为三角形内切圆半径) . 面积公式

A+ B C = cos ; (2)求解三角形中含有边角混合关 2 2 系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如(1) ABC 中,A、B 的对边 如 分别是 a、b ,且 A=60 , a = 6 , b = 4 ,那么满足条件的 ABC A、 有一个解 B、 有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C)(2)在 ABC 中,A>B 是 sin A > sin B ; 成立的_____条件 (答: 充要) 3) ABC 中, ( 1 + tan A )( 1 + tan B ) = 2 , log 2 sin C ; 在 则 ( 1 = _____ ( 答 : ) (4) 在 ABC 中 , a,b,c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 , 若 ; 2 ( a + b + c )(sin A + sin B sin C ) = 3a sin B , ∠C =____ 则 (答:60 ) 5) ABC 中, ; 在 ( A + B = π C ,sin( A + B ) = sin C ,sin

三角形) 。 特别提醒: 特别提醒 (1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A + B + C = π 这个特殊性:

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若其面积 S =

a2 + b2 c2 ,则 ∠C =____(答: 30 )(6)在 ABC 中, A = 60 , b = 1 , ; 4 3

2 39 )(7)在△ABC ; 3 1 2 B+C 2 2 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a = 3, cos A = , 则 cos = , b + c 的最 3 2 1 9 (答: ; ) ( 8 ) 在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 ; 大值为 3 2
这个三角形的面积为 3 ,则 ABC 外接圆的直径是_______(答: ) ( 9 ) 设 O 是 锐 角 三 角 形 ABC 的 外 心 , 若 ∠C = 75 , 且 ; 6 AOB, BOC , COA 的面积满足关系式 SAOB + SBOC = 3S COA ,求 ∠A (答: 45 ) . 19.反三角函数 反三角函数: : 19.反三角函数 (1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例) arcsin a 表示一个角, π π 这个角的正弦值为 a ,且这个角在 , 内 ( 1 ≤ a ≤ 1) 。(2)反正弦 arcsin x 、反余弦 2 2 (答: 0 < C ≤

π

2 2 2 2 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的 倾斜角、 l1 到 l 2 的角、 l1 与 l 2 的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围?

arccos x 、反正切 arctan x 的取值范围分别是 [ π , π ], [0, π ], ( π , π ) .

(0, ],[0, ],[0, π ] , [0, π ) , [0, π ),[0, ),[0, π ] . 2 2 2
20、求角的方法 求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择, 20 求角的方法 其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数 值) 如(1)若 α , β ∈ (0, π ) ,且 tan α 、 tan β 是方程 x 5 x + 6 = 0 的两根,则求 α + β 。如
2

π

π

π

的值______ (答:

3π ) 2)ABC 中,3sin A + 4 cos B = 6, 4sin B + 3cos A = 1 ,则 ∠C ; ( 4

= _______ ( 答 :

π

3

) ( 3 ) 若 0 ≤ α < β < γ < 2π 且 sin α + sin β + sin γ = 0 , ;(

cos α + cos β + cos γ = 0 ,求 β α 的值(答:

2π ). 3

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