2013年重庆高考数学试题及答案——文史类(真正的全word解析)

2013 年重庆高考数学试题及答案——文史类(真正的全 word 解析)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.(2013 重庆,文 1)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则 A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 2 2.(2013 重庆,文 2)命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为( ). A.存在 x0∈R,使得 x02<0 B.对任意 x∈R,都有 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x02≥0 D.不存在 x∈R,使得 x2<0 3.(2013 重庆,文 3)函数 y ?
U

(A∪B)=(

).

1 的定义域是( log 2 ? x ? 2 ?

).

A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) 2 2 4.(2013 重庆,文 4)设 P 是圆(x-3) +(y+1) =4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小 值为( ). A.6 B.4 C.3 D.2 5.(2013 重庆,文 5)执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是( ).

A.3 B.4 C.5 D.6 6.(2013 重庆,文 6)下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区 间[22,30)内的频率为( ). 1 8 9 2 1 2 2 7 9 3 0 0 3 A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 2 2 7. (2013 重庆, 7)关于 x 的不等式 x -2ax-8a <0(a>0)的解集为(x1,2), x2-x1=15, a=( 文 x 且 则 ).

5 A. 2

7 B. 2

15 C. 4

15 D. 2
).

8.(2013 重庆,文 8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.180 B.200 C.220 D.240 3 9. (2013 重庆, 9)已知函数 f(x)=ax +bsin x+4(a,∈R),(lg(log210))=5, f(lg(lg 2))=( 文 b f 则
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).

A.-5 B.-1 C.3 D.4 10.(2013 重庆,文 10)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的角为 60°的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心 率的取值范围是( ).

?2 3 ? 2 ? ? 3 ,? ? ? A.

?2 3 ? ,? 2? ? ? 3 ? B.

?2 3 ? ? ? ? ? 3 , ?? ? C. ?

?2 3 ? , ?? ? ? ? 3 ? D. ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(2013 重庆,文 11)设复数 z=1+2i(i 是虚数单位),则|z|=__________. 12.(2013 重庆,文 12)若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a=__________. 13. (2013 重庆, 13)若甲、 丙三人随机地站成一排, 文 乙、 则甲、 乙两人相邻而站的概率为__________. 14.(2013 重庆,文 14)在 OA 为边,OB 为对角线的矩形中, OA =(-3,1), OB =(-2,k),则实数 k=__________. 2 15.(2013 重庆,文 15)设 0≤α ≤π ,不等式 8x -(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为__________.

??? ?

??? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(2013 重庆,文 16)(本小题满分 13 分,(1)小问 7 分,(2)小问 6 分.)设数列{an}满足:a1=1,an+1 =3an,n∈N+. (1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn 为其前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20.

17.(2013 重庆,文 17)(本小题满分 13 分,(1)小问 9 分,(2)、(3)小问各 2 分.)从某居民区随机抽取 10 个家庭, 获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位: 千元)与月储蓄 yi(单位: 千元)的数据资料, 算得

?x
i ?1

10

i

? 80 ,

?y
i ?1

10

i

? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi 2 ? 720 .
i ?1

10

10

i ?1

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄. 附:线性回归方程 y=bx+a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a ? y ? bx ,

2

i

? nx

2

? y ? 其中 x , y 为样本平均值.线性回归方程也可写为 ? ? bx ? a .

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18.(2013 重庆,文 18)(本小题满分 13 分,(1)小问 4 分,(2)小问 9 分.)在△ABC 中,内角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c,且 a =b +c + 3 bc. (1)求 A; (2)设 a ? 3 ,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值.
2 2 2

19.(2013 重庆,文 19)(本小题满分 12 分,(1)小问 5 分,(2)小问 7 分.)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD, PA ? 2 3 ,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=

π . 3

(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积.

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20.(2013 重庆,文 20)(本小题满分 12 分,(1)小问 5 分,(2)小问 7 分.)某村庄拟修建一个无盖的圆柱 形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表 面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本 为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

21.(2013 重庆,文 21)(本小题满分 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 8 分.)如图,椭圆的中心为原点 O, 长轴在 x 轴上,离心率 e ?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,A′两点,|AA′|=4. 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P′,过 P,P′作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点 均在圆 Q 外.求△PP′Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程.

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 答案:D 解析:∵A∪B={1,2}∪{2,3}={1,2,3},U={1,2,3,4}, ∴ U(A∪B)={4},故选 D. 2. 答案:A 解析:由全称命题 p: ? x∈D,p(x)的否定为 ? p: ? x0∈D, ? p(x0),知选 A. 3. 答案:C 解析:由题知 ? 解得 ?

? x ? 2 ? 0, ?log 2 ? x ? 2 ? ? 0,

? x ? 2, ? x ? 2, 即? ? x ? 2 ? 1, ? x ? 3.

所以该函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞),故选 C. 4. 答案:B 2 2 解析:∵由圆(x-3) +(y+1) =4 知,圆心的坐标为(3,-1),半径 r=2, ∴圆心到直线 x=-3 的距离 d=|3-(-3)|=6. ∴|PQ|min=d-r=6-2=4,故选 B. 5. 答案:C 2 解析:∵k=1,s=1+(1-1) =1; k=2,s=1+(2-1)2=2; k=3,s=2+(3-1)2=6; k=4,s=6+(4-1)2=15; k=5,s=15+(5-1)2=31>15. ∴k=5.故选 C. 6. 答案:B 解析:∵数据总个数 n=10, 又∵落在区间[22,30)内的数据个数为 4, ∴所求的频率为

4 ? 0.4 . 10

7. 答案:A 2 2 解析:∵由 x -2ax-8a <0(a>0),得(x-4a)(x+2a)<0,即-2a<x<4a,∴x1=-2a,x2=4a. ∵x2-x1=4a-(-2a)=6a=15, ∴a ?

15 5 ? .故选 A. 6 2

8. 答案:D 解析:由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱, 如图所示,S 上=2×10=20, S 下=8×10=80, S 前=S 后=10×5=50,

S 左=S 右=

1 (2+8)×4=20, 2
2013 重庆文科数学 第5页

所以 S 表=S 上+S 下+S 前+S 后+S 左+S 右=240, 故选 D. 9. 答案:C 解析:∵ log 210 ?

1 , lg2
-1

∴lg(log210)=lg(lg 2) =-lg(lg 2). 3 令 g(x)=ax +bsin x,易知 g(x)为奇函数. ∵f(lg(log210))=f(-lg(lg 2))=g(-lg(lg 2))+4=5,∴g(-lg(lg 2))=1.∴g(lg(lg 2))=-1. ∴f(lg(lg 2))=g(lg(lg 2))+4=-1+4=3. 故选 C. 10. 答案:A

x2 y2 解析:不妨令双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知 A1,A2,B1, a b
B2 关于 x 轴对称,如图.
又∵满足条件的直线只有一对, ∴tan 30°<

3 b b ≤tan 60°,即 ? ? 3. 3 a a

1 b2 ∴ ? 2 ? 3. 3 a
1 c2 ? a2 4 ? ? 3 ,即 <e2≤4. 2 3 a 3 ?2 3 ? 2 3 2 ∴ <e≤2,即 e∈ ? ? 3 ,? .故选 A. 3 ? ?
∵b =c -a ,∴
2 2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.答案: 5 解析:∵z=1+2i,∴ |z| ? 1 ? 2 ? 5 .
2 2

12.答案:

7 2

解析:设公差为 d,则 c-a=2d= 2 ? 13.答案:

9?2 7 7 ? 2? ? . 5 ?1 4 2

2 3

解析:甲、乙、丙三人随机站在一排有: 甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共 6 种. 若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲,共 4 种,故所求的概率为 14.答案:4

4 2 ? . 6 3

??? ? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ∴ AB = OB - OA =(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1). ??? ??? ? ? 又 OA , AB 为矩形相邻两边所对应的向量, ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? ∴ OA ⊥ AB ,即 OA · AB =-3×1+1×(k-1)=-4+k=0,
解析:∵ OA =(-3,1), OB =(-2,k), 即 k=4.

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15.答案: ?0, ? ? ? , π ? ? 6? ? 6 ? 2 2 2 解析: 不等式 8x -(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立, 则有 Δ =(8sin α ) -4×8cos 2α =64sin α -32cos 2α ≤0, 2 2 2 2 即 2sin α -cos 2α =2sin α -(1-2sin α )=4sin α -1≤0. ∴sin α ≤ ∴?
2

? π?

? 5π

?

1 . 4

1 1 ? sin ? ? . 2 2
? π? ? 5π ?

又 0≤α ≤π ,结合下图可知,α ∈ ?0, ? ? ? , π ? . ? 6? ? 6 ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解:(1)由题设知{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 an=3
n-1

,Sn=

1 ? 3n 1 n = (3 -1). 1? 3 2

(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d, 所以公差 d=5, 故 T20=20×3+

20 ? 19 ×5=1 010. 2

17. 解:(1)由题意知

n=10, x ?
又 lxx=
n

1 n 80 1 n 20 ? xi ? 10 ? 8 , y ? n ? yi ? 10 ? 2 , n i ?1 i ?1
2 i

?x
i ?1
i i

n

? nx 2 =720-10×82=80,

lxy=

? x y ? nx y =184-10×8×2=24,
i ?1

由此得 b ?

lxy lxx

?

24 ? 0.3 , a ? y ? bx =2-0.3×8=-0.4, 80

故所求回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元). 18. 解:(1)由余弦定理得 cos A= 又因 0<A<π ,所以 A ? (2)由(1)得 sin A=

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc 3 ? ?? . 2bc 2bc 2

5π . 6

1 , 2

又由正弦定理及 a= 3得

S=

1 1 a sin B bcsin A= · ·asin C=3sin Bsin C, 2 2 sin A π? A π ? 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 2 12
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因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C). 所以,当 B=C,即 B ?

19. (1)证明:因 BC=CD,即△BCD 为等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD. 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥平面 PAC. (2)解:三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD= 由 PA⊥底面 ABCD,得

1 1 2π BC·CD·sin∠BCD= ×2×2× sin = 3. 2 2 3

VP-BCD= ·S△BCD·PA= ? 3 ? 2 3 ? 2 .

1 3

1 3

1 PA, 8 1 1 1 1 1 故 VF-BCD= ·S△BCD· PA= ? 3 ? ? 2 3 ? , 3 8 3 8 4 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD= 2 ? ? . 4 4
由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为 20. 2 解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2π rh=200π rh 元,底面的总成本为 160π r 元,所以蓄水池的 2 总成本为(200π rh+160π r )元. 2 又据题意 200π rh+160π r =12 000π ,

1 2 (300-4r ), 5r π 2 3 从而 V(r)=π r h= (300r-4r ). 5 因 r>0,又由 h>0 可得 r ? 5 3 ,
所以 h= 故函数 V(r)的定义域为(0, 5 3 ).

π 3 (300r-4r ), 5 π 2 故 V′(r)= (300-12r ). 5
(2)因 V(r)= 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5, 5 3 )时,V′(r)<0,故 V(r)在(5, 5 3 )上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. 21.

??c ?2 22 4 ? 2 ? 1.从而 e2+ 2 =1. 解:(1)由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,则 2 a b b 2 b 2 4 2 ? 16 . 由e ? 得b ? ? 8 ,从而 a 2 ? 2 2 1 ? e2 1? e x2 y2 ? ? 1. 故该椭圆的标准方程为 16 8
(2)由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0). 又设 M(x,y)是椭圆上任意一点,则 2 2 2 |QM| =(x-x0) +y

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=x -2x0x+x0 + 8 ? 1 ?
2 2

? ?

x2 ? ? 16 ?



1 2 2 (x-2x0) -x0 +8(x∈[-4,4]). 2

设 P(x1,y1),由题意,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此,上式当 x=x1 时取最小值, 2 2 又因 x1∈(-4,4),所以上式当 x=2x0 时取最小值,从而 x1=2x0,且|QP| =8-x0 . 2 由对称性知 P′(x1,-y1),故|PP′| =|2y1|, 所以 S= =

1 |2y1||x1-x0| 2

? x2 ? 1 ? 2 8 ?1 ? 1 ? |x0 | 2 ? 16 ?
2 2

= 2 ? 4 ? x0 ? x0

2 2 = 2 ?? x0 ? 2 ? ? 4 .

当 x0 ? ? 2 时,△PP′Q 的面积 S 取到最大值 2 2 . 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q( ? 2 ,0),半径 |QP| ? 8 ? x0 ?
2
2 2

6,
2 2

因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+ 2 ) +y =6,(x- 2 ) +y =6.

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