【2014浦东新区二模】上海市浦东新区2014届高三下学期4月二模考试数学(理)试题Word版含答案Word版含答案

上海市浦东新区 2014 年高考预测(二模)

数学(理)试卷

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1. 已知全集 U=?1,2,3,4,5?,若集合 A=?2,3? ,则 ?UA =__?1, 4,5?___

2. 双曲线 x2 ? y2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 4 x

.

9 16

3

3.函数 f ?x? ? sin x 4cosx 的最大值为__5_____

1

3

4.已知直线 l1

: ax

?

y

?

2a

?1?

0

和 l2

: 2x ??a ?1?

y?3?

0?a?R?

,若 l1

?

l2

,则 a

?

1 3

.

5.函数 y ? f ? x? 的反函数为 y ? f ?1 ? x? ,如果函数 y ? f ? x? 的图像过点 ?2,?2? ,那么

函数 y ? f ?1 ? x? ?1的图像一定过点___ (?2,3) ___.

6. 已知数列?an? 为等差数列,若 a1 ? a3 ? 4 , a2 ? a4 ? 10 ,则?an? 的前 n 项的和

Sn

?

__

3 2

n2

?

5 2

n

___.

7.一个与球心距离为 3 的平面截球所得的圆的面积为? ,则球的体积为 __ 32 ? __ . 3

8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床,在一小时内,甲、乙需要维护的概率分别为

0.9、0.8,则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.98

9. 设 a ? R , (ax ?1)8 的 二 项 展 开 式 中 含 x3 项 的 系 数 为 7 , 则

l i ma ?( a2 ?L ? n a? __)? 1 __.

n??

3

10.(理)在平面直角坐标系

xoy

中,若直线

l

:

? ? ?

x y

? ?

t t

?

a



t

为参数)过椭圆

C

:

? ? ?

x y

? ?

3cos? 2 sin ?

(? 为参数)的右顶点,则常数 a =_3__.

11.(理)已知随机变量? 的分布列如右表,若 E? ? 3 ,则 D? =__1 .

x

1234

P(? ? x) n 0.2 0.3 m

12.在 ?ABC 中, 角 B 所对的边长 b ? 6 , ?ABC 的面积为15 ,外接圆半径 R ? 5 ,则 ?ABC 的周长为_____ 6 ? 6 6 __

13.抛物线 y2 ? 4mx(m ? 0) 的焦点为 F,点 P 为该抛物线上的动点,又点 A(?m, 0) ,则

PF 的最小值为 2 .

PA

2

14.(理)已知函数 f (x) 的定义域为?1, 2,3? ,值域为集合?1,2,3,4? 的非空真子集,设点

A?1, f (1)? , B?2, f (2)?, C?3, f (3)? , ?ABC 的外接圆圆心为 M,且
uuur uuur uuur MA ? MC ? ?MB(? ? R) ,则满足条件的函数 f (x) 有_12_个.
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在
答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

15. “ x ?1”是“ 1 ? 1”的( A ) x

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

16. (理)已知 z ? x ? yi , x, y ? R , i 是虚数单位.若复数 z +i 是实数,则 z 的最小 1? i

值为( D )

(A)0

(B) 5 2

(C ) 5 (D) 2

17.能够把椭圆 x2 + y2 =1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函 4

数”,下列函数不.是.椭圆的“可分函数”为( D )

(A) f (x) = 4x3 + x (B) f (x) ? ln 5 ? x (C) f (x) ? arctan x (D) f (x) = ex +e- x

5? x

4

18. (理)方程 lg(x ?100)2 ? 7 ? (| x | ?200)(| x | ?202) 的解的个数为( B ) 2

(A)2

(B)4 (C)6 (D)8

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规

定的区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分.

(理)如图,在直三棱柱 ABC? A1 B1 C1中, AB ? AC,

AA1

?

AB

?

AC

? 1 ,?ABC

?

? 4

,D 、M

、N

分别是 CC1 、

A1B1 、 BC 的中点.

(1)求异面直线 MN 与 AC 所成角的大小; (2)求点 M 到平面 ADN 之间的距离. 解:(1)设 AB 的中点为 E ,连接 EN ,则 EN // AC ,且

E

EN ? 1 AC ,所以 ?MNE 或其补角即为异面直线 MN 与 AC 所成的 2
角。…………………………………………3 分
连接 ME,在 Rt?MEN 中, tan ?MNE ? ME ? 2 ………………………………5 分 NE
所以异面直线 MN 与 AC 所成的角为 arctan 2 。……………………………………6 分 (2) AB ? AC ? 1, ?ABC ? ? , AB ? AC ,
4
以点 A 为坐标原点,分别以 AB 、 AC 、 AA1 所在直线为 x, y, z 轴,如图建立空间直角坐标

系 A ? xyz ,则:

M (1 , 0,1) , N (1 , 1 , 0), D(0,1, 1), ………………8 分

2

22

2

设平面 AND 的一个法向量为 n ? (x, y, z)



??n ? ??n

? ?

AN AD

? ?

0 0

?

?? ? ??

x y

? ?

y z 2

?0 ?0

所以平面 ADN 的一个法向量为 n ? (1, ?1, 2) . …10 分

又 AM ? (1 , 0,1) , 2

所以点

M

到平面 OAD 的距离 d

?

|

AM

?n

|

?

|

1 2

?

2|

?

5

6 .………………………12 分

|n|

6 12

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 如图,ABCD 是边长为 10 海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜

救船在 A 处同时出发,沿直线 AP 、 AQ 向前联合搜 D 索,且 ?PAQ ? ? (其中点 P 、Q 分别在边 BC 、CD
4

Q

C

上),搜索区域为平面四边形 APCQ 围成的海平面.设

?PAB ? ? ,搜索区域的面积为 S .

P

(1)试建立 S 与 tan? 的关系式,并指出? 的取值范

围;

?

A

)

B

(2)求 S 的最大值,并求此时? 的值.

解:(1)S ? S ABCD ? S?ABP ? S?ADQ

……………………………………………………2 分

? 100 ? 50 tan? ? 50 tan(? ?? ) ……………………………………………4 分 4

?

100

?

50

? ??

tan ?

?

1 1

? ?

tan tan

? ?

? ??

,

(0

?

?

?

? 4

)

…………………………………6 分

(2)令 t ? 1? tan? ,t ?(1, 2) …………………………………………………………8 分

S

? 100

?

50

?1? ? ?

(t ?1)2 t

? ? ?

? 100

?

50(t

?

2 t

?

2)

?

200

?

50(t

?

2) t

……………10 分

t ? 2 ? 2 t ? 2 ? 2 2 ,(当且仅当 t ? 2 时,即 t ? 2 ??1, 2? ,等号成立)…12 分

t

t

t

?当 t ? 2 时,搜索区域面积 S 的最大值为 200 ?100 2 (平方海里) 此时,? ? arctan( 2 ?1) …………………………………………………………14 分
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分.
(理)已知定义在 R 上的函数 f (x) ,对任意实数 x1, x2 都有 f (x1 ? x2 ) ? 1? f (x1) ? f (x2 ) , 且 f (1) ? 1.

(1)若对任意正整数 n ,有 an

?

f

?1 ?? 2n

? ??

?

1

,求

a1



a2

的值,并证明{an

}

为等比数列;

(2)设对任意正整数 n ,有 bn

?

1 .若不等式 f (n)

bn?1 ? bn?2 ?
取值范围.

? b2n

?

6 35

log

2

(

x

?

1)

对任意不小于

2

的正整数 n

都成立,求实数 x



解:(1)令 x1

?

x2

?

1 ,得 2

f

(1)

?1?

f ?? 1 ?? ? ?2?

f ?? 1 ?? , ?2?



f ?? 1 ?? ?2?

?

0 , a1

?

f

(1) ?1 ?1 2

…………………………………………………………1 分



x1

?

x2

?

1 4

,得

f

(1) 2

?1?

f

? ??

1 4

? ??

?

f

? ??

1 4

? ??





f

?1? ?? 4 ??

?

?

1 2



a2

?

f

(1) ?1 ? 4

1 2

……………………………………………………2 分

令 x1

?

x2

?

1 2 n ?1

,得

f

?? ?

1 2 n?1

?

1 2 n?1

?? ?

?1?

f

?? ?

1 2 n?1

?? ? ?

f

?? ?

1 2 n?1

?? , ?



f

?? ?

1 2n

?? ?

?

1?

2

f

?? ?

1 2 n?1

?? , ?

……………………………………………………4 分



f

?? ?

1 2n

?? ?1 ? ?

? 2?1

?

?

f

?? ?

1 2 n?1

?????? , an

?

2an?1

所以,数列 {an } 是等比数列,公比

q

?

1 2

,首项

a1

?

1.

………………………6 分

(2)令 x1 ? n, x2 ? 1,得 f (n ?1) ? 1? f (1) ? f (n) ,即 f (n ?1) ? f (n) ? 2 则{ f (n)}是等差数列,公差为 2,首项 f (1) ? 1,

故 f (n) ? 1? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1, ………………………………………………8 分

bn

?

1 f (n)

?

1
.
2n ?1

…………………………………………………………………9 分

设 g(n) ? bn?1 ? bn?2 ?

1

1

? b2n

?

2n

? ?1

2n

?3

?

? 1 ,则 4n ?1

g(n ? 1) ? g(n) ? 1 ? 1 ? 1 ?

1

? 0,

4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 (4n ? 1)(4n ? 3)(2n ? 1)

所以{g(n)}是递增数列,

g min

?

g(2)

?

1 5

?

1 7

?

12 35

,…………………………11



从而

6 35

log

2

(

x

?

1)

?

12 35

,即

log

2

(

x

?

1)

?

2

………………………………………12





?x ??x

?1 ?1

? ?

0 4

,解得

x

?

(?1,

3)



………………………………………………14 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分.

(理)已知中心在原点 O ,左焦点为 F1(?1, 0) 的椭圆 C1 的左顶点为 A ,上顶点为 B ,F1 到

直线 AB 的距离为 7 | OB | . 7

(1) 求椭圆 C1 的方程;

(2) 过点 P(3, 0) 作直线 l ,使其交椭圆 C1 于 R 、 S 两点,交直线 x ?1 于 Q 点. 问:是否

存在这样的直线 l ,使| PQ |是| PR | 、| PS | 的等比中项?若存在,求出直线 l 的方程;若不

存在,说明理由.

(3)

若椭圆

C1

方程为: x2 m2

?

y2 n2

?

1(

m

?

n

?

0

),椭圆

C2

方程为: x2 m2

?

y2 n2

? ?( ?

?0,

且 ? ? 1),则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 ? 倍相似椭圆.已知 C2 是椭圆 C1 的 3

y S
Rx

倍相似椭圆,若直线 y ? kx ? b 与两

Q

O

x

椭圆 C1 、C2 交于四点(依次为 P 、Q 、

P

R 、 S ),且 PS ? RS ? 2QS ,试研

究动点 E(k,b) 的轨迹方程.

解:(1)设椭圆 C1 方程为:

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

? b ? 0 ),

所以直线 AB 方程为: x ? y ? 1………………………………………………1 分 ?a b

∴ F1(?1, 0) 到直线 AB 距离为 d

?

| b ? ab | a2 ? b2

?

7 b ? a2 ? b2 ? 7(a ?1)2 …… 2 分 7

又 b2 ? a2 ?1,解得: a ? 2 , b ? 3 ………………………………………………3 分

故:椭圆 C1 方程为:

x2 4

?

y2 3

? 1.…………………………………………………

4分

(2) 当直线 l 与 x 轴重合时,| PQ |? 2 ,而| PR | |?PS | 1?5? 5? ,所以| PQ |2 ?| PR | ? | PS |

若存在直线 l ,使| PQ |是| PR | 、| PS | 的等比中项,

则可设直线 l 方程为: x ? my ? 3 ………………………………………………… 5 分

代人椭圆 C1 的方程,得: 3(my ? 3)2 ? 4 y2 ? 12 即: (3m2 ? 4) y2 ?18my ?15 ? 0

∴ ? ? (18m)2 ? 4?15(3m2 ? 4) ? 48(3m2 ? 5)

记 R(x1, y1) , S (x2 , y2 ) , Q(x0 , y0 )

∴ y1 y2

?

15 3m2 ? 4

, y0

?? 2 m

………

7分

∵|

PQ |2 ?|

PR | ? |

PS

| ,即 | PR | | PQ |

?

| PQ | | PS |

?

y1 y0

?

y0 y2

,∴

y1 y2

?

y02

∴ 15 3m2 ? 4

?

4 m2

,解得: m2

? 16 ,符合 ? ? 0 ,所以 m ? ? 4 3

3

3

……………

9分

故存在直线 l ,使| PQ |是| PR | 、| PS | 的等比中项,其方程为

x ? ? 4 3 y ? 3 ,即: y ? ? 3 (x ? 3) ………………………………… 10 分

3

4

(3)

椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2

的方程为: x2 12

?

y2 9

?1

………………………………11 分

设 Q 、 R 、 P 、 S 各点坐标依次为 (x1, y1) 、 (x2 , y2 ) 、 (x3, y3 ) 、 (x4 , y4 )

将 y ? kx ? b 代人椭圆 C1 方程,得: (3 ? 4k 2 )x2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0

∴ ?1 ? (8kb)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4b2 ?12) ? 48(4k 2 ? 3 ? b2 ) ? 0

(*)

此时:

x1

?

x2

?

?

8kb 3 ? 4k 2



x1x2

?

4b2 3?

?12 4k 2

?| x1 ? x2 |?

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 4

3(4k 2 ? 3 ? b2 ) …………………………13 分 3 ? 4k 2

将 y ? kx ? b 代人椭圆 C2 方程,得: (3 ? 4k 2 )x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 36 ? 0



x3

?

x4

?

? 8kb 3 ? 4k 2



x3 x4

?

4b2 ? 36 3 ? 4k 2

?|

x3

? x4

|?

4

3(12k 2 ? 9 ? b2 ) ………14 分 3 ? 4k 2

∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,可得线段 PS 、 QR 中点相同,所以| PQ |?| RS |

由 PS ? RS ? 2QS ? PQ ? QR ,所以| PS |? 3 | QR | ,可得:| x3 ? x4 |? 3 | x1 ? x2 |

∴4

3(12k 2 ? 9 ? b2 )

4

3 ? 4k 2

? 3?

3(4k 2 ? 3 ? b2 ) ?12k 2 ? 9 ? 4b2 (满足(*)式). 3 ? 4k 2

故:动点 E(k,b) 的轨迹方程为 4b2 ? 4k 2 ? 1. ……………………………………16 分 93

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分.
(理)定义区间 (c, d ) ,[c, d ) , (c, d ],[c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c .

(1)已知函数

y

?

2x

?1

的定义域为 ? a,

b?

,值域为

???0,

1 2

? ??

,写出区间?a,b? 长度的最大值

与最小值.

(2)已知函数

fM

?x?

的定义域为实数集

D

? [?2, 2]

,满足

fM

?x?

?

?x, ???x,

x?M x?M

(M 是

D 的非空真子集)

.

集合 A ? ?1,2? , B ? ??2, ?1?

,求 F ? x? ?

fA B ?x?

的值域

fA ?x?? fB ?x??3

所在区间长度的总和.

(3)定义函数 f (x) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?1,判断函数 f (x) 在区间 (2, 3) 上是否 x ?1 x ? 2 x ?3 x ? 4
有零点,并求不等式 f (x) ? 0 解集区间的长度总和.

解:(1) 2x ?1 ? 1 , 2

解得

x

?

?1 或

x

?

log2

3 2

,…………………1



2x ?1 ? 0 ,解得 x ? 0 , …………………2 分

画图可得:区间?a,b? 长度的最大值为 log2 3 ,

最小值为

log2

3 2

.………………………………4



(2)

F

?

x

?

?

?
?? ?
? ??

x 3
2

,x?
x x?3

A ,x

B ? (?1,1)

…………………………………………………………6 分

当 x? A

B



F

(x)

?

????

2 3

,

?

1 3

? ??

? ??

1 3

,

2 3

? ??



……………………………………………7 分

当 x ?(?1,1) , F (x) ? (?1, 1) , ……………………………………………………………8 分 5

所以 x ?[?2, 2]时, F (x) ? (?1, 1) 5

? ??

1 3

,

2 3

? ??

………………………………………………9



所以值域区间长度总和为 23 。 ……………………………………………………………10 分 15
(3)由于当 2 ? x ? 3 时,取 x ? 2.001, f ?2.001? ? 0 , 取 x ? 2.999, f ?2.999 ? ? 0 ,
所以方程 f (x) ? 0 在区间 (2, 3) 内有一个解 …………………………………12 分

考虑函数 f (x) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 ,由于当 x ?1时, f (x) ? 0 ,故在区 x ?1 x ? 2 x ?3 x ? 4
间 (??,1) 内,不存在使 f (x) ? 0 的实数 x ;

对于集{1, 2,3, 4}中的任一个 k ,由于当 k ?1? x ? k 时,

取 x ? k ? 0.001, f ?x? ? 0 ,取 x ? k ?1? 0.001, f ?x? ? 0
又因为函数 y ? f (x) 在区间 (1, 2), (2,3), (3, 4), (4, ??) 内单调递减,

所以方程 f (x) ? 0 在区间 (1, 2), (2,3), (3, 4), (4, ??) 内各有一个解;

依次记这 4 个解为 x1, x2 , x3, x4 , 从而不等式 f (x) ? 0 的解集是 E ? (1, x1)
度的总和为

(2, x2 )

(3, x3)

(4, x4 ) ,故得所有区间长

S ? (x1 ?1) ? (x2 ? 2) ? (x3 ? 3) ? (x4 ? 4) ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?10 ………① ……………………………………………15 分 对 f (x) ? 0 进行同分处理,分子记为 p(x)

p(x) ? (x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? 2(x ?1)(x ? 3)(x ? 4) ? 3(x ?1)(x ? 2)(x ? 4) ? 4(x ?1)(x ? 2)(x ? 3) ?2(x ?1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) 如将 p(x) 展开,其最高项系数为 ?2 ,设

p(x) ? ?2x4 ? a3x3 ? a2 x2 ? a1x ? a0 ……② 又有 p(x) ? ?2(x ? x1)(x ? x2 )(x ? x3)(x ? x4 ) …………③

对比②③中 p(x) 的 x3 系数, 2(x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 2(1? 2 ? 3 ? 4) ? 30 可得: S ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?10 ? 5 ……………………………………………18 分


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