广东省揭阳一中2015-2016学年高二上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年广东省揭阳一中高二(上)第二次段考数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. ) 1.设集合 M={x|x =x},N={x|lgx≤0},则 M∪N=( A. B. (0,1] C.
2



2.下列函数中为偶函数的是(
2 2


﹣x

A.y=x sinx B.y=x cosx C.y=|lnx| D.y=2

3.已知如程序框图,则输出的 i 是(



A.9

B.11

C.13

D.15

4.若 A.a <b
2 2

,则下列结论不正确的是( B.|a|﹣|b|=|a﹣b| C.

) D.ab<b
2

5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( A. B. C. D.



6.下列结论,不正确的是(



A.若 p 是假命题,q 是真命题,则命题 p∨q 为真命题

B.若 p∧q 是真命题,则命题 p 和 q 均为真命题 C.命题“若 sinx=siny,则 x=y”的逆命题为假命题 D.命题“? x,y∈R,x +y ≥0”的否定是“? x0,y0∈R,x0 +y0 <0”
2 2 2 2

7.设 , 是非零向量,“

=| || |”是“

”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+2y 的最小值为(



A.4

B.

C.6

D.

9.设定点 F1(0,﹣3) 、F2(0,3) ,动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a>0) ,则点 P 的轨 迹是( ) D.椭圆或线段

A.椭圆 B.线段 C.不存在

10.方程|x|(x﹣1)﹣k=0 有三个不相等的实根,则 k 的取值范围是( A. B. C. D.



11. 已知 θ 为三角形的一个内角, 且 sinθ +cosθ = , 则方程 x sinθ ﹣y cosθ =1 表示 ( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦在点 y 轴上的椭圆

2

2



C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

12.如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A、B 分别是 C1、C2 在第二、四 )

2

象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 13.在△ABC 中∠A=60°,b=1,S△ABC= ,则 = .

14.为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分为 100 分 的数学试题,他们所得分数的分组区间为 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求解一元二次方程化简 M,求解对数不等式化简 N,然后利用并集运算得答案. 【解答】解:由 M={x|x =x}={0,1}, N={x|lgx≤0}=(0,1], 得 M∪N={0,1}∪(0,1]=. 故选:A. 【点评】本题考查了并集及其运算,考查了对数不等式的解法,是基础题.
2

B. (0,1]

C.

2.下列函数中为偶函数的是(
2 2


﹣x

A.y=x sinx B.y=x cosx C.y=|lnx| D.y=2 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】首先从定义域上排除选项 C,然后在其他选项中判断﹣x 与 x 的函数值关系,相等的 就是偶函数. 【解答】解:对于 A, (﹣x) sin(﹣x)=﹣x sinx;是奇函数; 对于 B, (﹣x) cos(﹣x)=x cosx;是偶函数;
2 2 2 2

对于 C,定义域为(0,+∞) ,是非奇非偶的函数; 对于 D,定义域为 R,但是 2 故选 B 【点评】本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称, 函数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断 f(﹣x)与 f(x) 关系,相等是偶函数,相反 是奇函数.
﹣(﹣x)

=2 ≠2 ,2 ≠﹣2 ;是非奇非偶的函数;

x

﹣x

x

﹣x

3.已知如程序框图,则输出的 i 是(



A.9

B.11

C.13

D.15

【考点】循环结构. 【专题】计算题. 【分析】写出前 5 次循环的结果,直到第五次满足判断框中的条件,执行输出. 【解答】解:经过第一次循环得到 S=1×3=3,i=5 经过第二次循环得到 S=3×5=15,i=7 经过第三次循环得到 S=15×7=105,i=9 经过第四次循环得到 S=105×9=945,i=11 经过第五次循环得到 S=945×11=10395,i=13 此时,满足判断框中的条件输出 i 故选 C 【点评】解决程序框图中的循环结构的问题,一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果, 找规律.

4.若 A.a <b
2 2

,则下列结论不正确的是( B.|a|﹣|b|=|a﹣b| C.

) D.ab<b
2

【考点】不等关系与不等式. 【专题】计算题. 【分析】不妨令 a=﹣1,b=﹣2,代入各个选项进行验证,找出符合条件的选项. 【解答】解:由于 ,不妨令 a=﹣1,b=﹣2,可得 a <b ,故 A 正确.
2 2

|a|﹣|b|=﹣1,|a﹣b|=1,故 B 不正确. =2+ >2,故 C 正确. ab=2,b =4,故 D 正确. 故选 B. 【点评】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项,是 一种简单有效的方法,属于基础题
2

5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( A. B. C. D.



【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得 a3=1,再由 S3= + +1=7 可得 q= ,进而可得 a1 的值,由求和公式可得.

【解答】解:设由正数组成的等比数列{an}的公比为 q,则 q>0, 由题意可得 a3 =a2a4=1,解得 a3=1, ∴S3=a1+a2+a3= + +1=7,解得 q= ,或 q= (舍去) ,
2

∴a1=

=4,

∴S5=

=

故选:C 【点评】本题考查等比数列的求和公式,求出数列的公比是解决问题的关键,属基础题.

6.下列结论,不正确的是(



A.若 p 是假命题,q 是真命题,则命题 p∨q 为真命题 B.若 p∧q 是真命题,则命题 p 和 q 均为真命题 C.命题“若 sinx=siny,则 x=y”的逆命题为假命题 D.命题“? x,y∈R,x +y ≥0”的否定是“? x0,y0∈R,x0 +y0 <0” 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据复合命题的真值表判断 A、B;由逆命题和正弦函数的性质判断 C;由全称命题 的否定判断 D. 【解答】解:对于 A,因为若 p 是假命题,q 是真命题,所以命题 p∨q 为真命题,则 A 不符 合题意; 对于 B,因为若 p∧q 是真命题,则命题 p 和 q 均为真命题,则 B 不符合题意; 对于 C,已知命题的逆命题:若 x=y,则 sinx=siny,是真命题,显然 C 符合题意; 对于 D,由全称命题的否定得:“? x0,y0∈R,x0 +y0 <0”正确,则 D 不符合题意; 故选:C. 【点评】本题考查复合命题的真假,复合命题的真假与构成的简单命题真假相关,有真值表 一定要记住;特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称命题,两种命题的一般形 式,都是记忆点.
2 2 2 2 2 2

7.设 , 是非零向量,“

=| || |”是“

”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用;简易逻辑. 【分析】由 角为 0, 从而得不到 便可得到 夹角为 0,从而得到 ∥ ,而 ∥ 并不能得到 夹

, 这样根据充分条件、 必要条件的概念即可找出正确选项.

【解答】解: (1) ∴ ∴ ∴ ∥ ; ∴“ (2) ∥ 时, ∴ 即 ∥ 得不到 ∴“ ∴总上可得“ 故选 A. ”是“ ∥ ”的充分条件; 的夹角为 0 或 π ; ,或﹣ ; ; 时,cos ; =1;



”不是“ ∥ ”的必要条件; ”是“ ∥ ”的充分不必要条件.

【点评】考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量 积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义.

8.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+2y 的最小值为(



A.4

B.

C.6

D.

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到最小值. 【解答】解:不等式组 对应的平面区域如图:

由 z=3x+2y 得 y=﹣ x+ ,平移直线 y=﹣ x+ , 则由图象可知当直线 y=﹣ x+ ,经过点 A 时直线 y=﹣ x+ 的截距最小, 此时 z 最小,



,解得

,即 A(1, ) ,

此时 z=3×1+2× = 故选:B.



【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关 键.

9.设定点 F1(0,﹣3) 、F2(0,3) ,动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a>0) ,则点 P 的轨 迹是( ) D.椭圆或线段

A.椭圆 B.线段 C.不存在 【考点】轨迹方程. 【专题】计算题.

【分析】由基本不等式可得 a+ ≥6,当 a+ =6 时,点 P 满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|,P 的轨迹是 线段 F1F2;a+ >6 时,点 P 满足|PF1|+|PF2|为常数,且大于线段|F1F2|的长,P 的轨迹是椭圆. 【解答】解:∵a>0,∴a+ ≥2 =6.

当 a+ =6=|F1F2|时,由点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ =|F1F2|得,点 P 的轨迹是线段 F1F2. 当 a+ >6=|F1F2|时, 由点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ >|F1F2|得, 点 P 的轨迹是以 F1、 F2 为 焦点的椭圆. 综上,点 P 的轨迹是线段 F1F2 或椭圆,

故选 D. 【点评】本题考查椭圆的定义,基本不等式的应用,体现了分类讨论的数学思想,确定 a+ 的 范围是解题的关键.

10.方程|x|(x﹣1)﹣k=0 有三个不相等的实根,则 k 的取值范围是( A. B. C. D.



【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】数形结合法. 【分析】将方程转化为函数 y=k 与 y=|x|(x﹣1) ,将方程要的问题转化为函数图象交点问题. 【解答】解:如图,作出函数 y=|x|?(x﹣1)的图象, 由图象知当 k∈ 即方程有 3 个实根. 故选 A. 时,函数 y=k 与 y=|x|(x﹣1)有 3 个不同的交点,

【点评】本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图 象解题,其次是直接求出所有的根.

11. 已知 θ 为三角形的一个内角, 且 sinθ +cosθ = , 则方程 x sinθ ﹣y cosθ =1 表示 ( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦在点 y 轴上的椭圆

2

2



C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】通过条件,判断 sinθ 与﹣cosθ 的大小,结合椭圆的性质判断选项即可. 【解答】解:θ 为三角形的一个内角,且 sinθ +cosθ = , 当 θ ∈(0°,90°) ,sinθ +cosθ >1, 可得 θ ∈(90°,135°) , sinθ >﹣cosθ >0, 则方程 x sinθ ﹣y cosθ =1 表示:焦在点 y 轴上的椭圆. 故选:B. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,三角函数值的大小的判断,基本知识的考查.
2 2

12.如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A、B 分别是 C1、C2 在第二、四 )

2

象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意 双曲线的定义及性质即可求得 C2 的离心率. 【解答】解:设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点 A 为椭圆 C1: ∴2a=4,b=1,c= ; +y =1 上的点,
2

,解此方程组可求得 x,y 的值,利用

∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即 x+y=4;① 又四边形 AF1BF2 为矩形, ∴ + = ,即 x +y =(2c) =
2 2 2

=12,②

由①②得:

,解得 x=2﹣

,y=2+

,设双曲线 C2 的实轴长为 2m,焦距为 2n,

则 2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 ∴双曲线 C2 的离心率 e= = 故选 D.

,2n=2c=2 = .



【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力, 属于中档题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 13.在△ABC 中∠A=60°,b=1,S△ABC= 【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】由题意和三角形的面积公式求出 c,再由余弦定理求出 a,代入式子 【解答】解:由题意得,∠A=60°,b=1,S△ABC= 所以
2

,则

=

2



求值即可.



,则
2 2

,解得 c=4,

由余弦定理得,a =b +c ﹣2bccosA =1+16﹣2× 所以 = . =13,则 a= =2 , ,

故答案为:2

【点评】本题考查正弦定理,余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握公式和定理是解 题的关键.

14.为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分为 100 分 的数学试题,他们所得分数的分组区间为. (3)设方程 x +(a﹣3)x+a=0 两个不相等正实根为 x1、x2.
2

命题 q 为真?

?

解得 0<a<1.

由命题“p 或 q”为真,且“p 且 q”为假,得命题 p、q 一真一假

①当 p 真 q 假时,则

得﹣1<a≤0 或 a≥1

②当 p 假 q 真时,则

无解;

∴实数 a 的取值范围是﹣1<a≤0 或 a≥1. 【点评】本题考查命题的否定,命题的真假的判断与应用,考查转化思想,计算能力.

18.已知 an>0,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 (1)求{an}的通项公式; (2)设 求 bn 的前 n 项和 Tn.

=4Sn+3

【考点】数列的求和. 【专题】转化思想;定义法;等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)先求出 a1 的值,再利用前 n 项和公式 Sn 的定义,得出 an 与 an﹣1 的关系,即得数 列{an}的通项公式; (Ⅱ)用裂项法表示出 bn,求出数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (Ⅰ)当 n=1 时, 因为 an>0,所以 a1=3?(1 分) 当 n≥2 时, 即(an+an﹣1) (an﹣an﹣1)=2(an+an﹣1) , 因为 an>0,所以 an﹣an﹣1=2,?(3 分) 所以数列{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 所以 an=2n+1;?(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn= 所以数列{bn}的前 n 项和为 Tn=b1+b2+?+bn = = ﹣ ?(10 分) = ( ﹣ )?(7 分) =4Sn+3﹣4Sn﹣1﹣3=4an, +2a1=4S1+3=4a1+3,

【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式与前 n 项和公式的应用问题,也考查了用裂 项法求和的应用问题,是综合性题目.

19.已知 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知 ,且 α ∈(0,π ) ,求 α 的值.

,函数 f(x)=



【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 【分析】 (1)首先根据已知条件,利用向量的坐标运算,分别求出向量的数量积和向量的模, 进一步把函数的关系式通过三角恒等变换,把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求出函 数的最小正周期. (2)利用(1)的函数关系式,根据定义域的取值范围.进一步求出角的大小. 【解答】解: (1)已知: 则:f(x)= = = = 所以:函数的最小正周期为: (2)由于 f(x)= 所以 解得: 所以: 因为:α ∈(0,π ) , 所以: 则: ?(6 分) ?(2 分)?(4 分)

解得: 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,向量的坐标运算,正弦型函数 的性质的应用,利用三角函数的定义域求角的大小.属于基础题型.

20.如图,三角形△PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3, 点 E 是 CD 的中点,点 F、G 分别在线段 AB、BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:PE⊥FG; (2)求二面角 P﹣AD﹣C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)通过△POC 为等腰三角形可得 PE⊥CD,利用线面垂直判定定理及性质定理即得 结论; (2)通过(1)及面面垂直定理可得 PG⊥AD,则∠PDC 为二面角 P﹣AD﹣C 的平面角,利用勾 股定理即得结论; (3)连结 AC,利用勾股定理及已知条件可得 FG∥AC,在△PAC 中,利用余弦定理即得直线 PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 AC 所成角∠PAC 的余弦值. 【解答】 (1)证明:在△POC 中 PO=PC 且 E 为 CD 中点, ∴PE⊥CD, 又∵平面 PDC⊥平面 ABCD,平面 PDC∩平面 ABCD=CD,PE? 平面 PCD, ∴PE⊥平面 ABCD, 又∵FG? 平面 ABCD, ∴PE⊥FG; (2)解:由(1)知 PE⊥平面 ABCD,∴PE⊥AD, 又∵CD⊥AD 且 PE∩CD=E,

∴AD⊥平面 PDC, 又∵PD? 平面 PDC,∴AD⊥PD, 又∵AD⊥CD,∴∠PDC 为二面角 P﹣AD﹣C 的平面角, 在 Rt△PDE 中,由勾股定理可得: PE= ∴tan∠PDC= = = ; =3 = , =5, = ,

(3)解:连结 AC,则 AC= 在 Rt△ADP 中,AP= ∵AF=2FB,CG=2GB, ∴FG∥AC,

∴直线 PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 AC 所成角∠PAC, 在△PAC 中,由余弦定理得 cos∠PAC=

= = .

【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值,涉及到勾股定理、余弦 定理等知识,注意解题方法的积累,属于中档题.

21.已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y ﹣6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程;

2

2

(3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【考点】轨迹方程;直线与圆的位置关系. 【专题】创新题型;开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)通过将圆 C1 的一般式方程化为标准方程即得结论; (2)设当直线 l 的方程为 y=kx,通过联立直线 l 与圆 C1 的方程,利用根的判别式大于 0、韦 达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论; (3)通过联立直线 L 与圆 C1 的方程,利用根的判别式△=0 及轨迹 C 的端点与点(4,0)决定 的直线斜率,即得结论. 【解答】解: (1)∵圆 C1:x +y ﹣6x+5=0, 整理,得其标准方程为: (x﹣3) +y =4, ∴圆 C1 的圆心坐标为(3,0) ; (2)设当直线 l 的方程为 y=kx、A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 联立方程组
2 2 2 2 2 2



消去 y 可得: (1+k )x ﹣6x+5=0, 由△=36﹣4(1+k )×5>0,可得 k < 由韦达定理,可得 x1+x2= ,
2 2

∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的参数方程为

,其中﹣

<k<



∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为: (x﹣ ) +y = ,其中 <x≤3; (3)结论:当 k∈∪{﹣ , 理由如下: 联立方程组
2 2

2

2

}时,直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点.


2 2

消去 y,可得: (1+k )x ﹣(3+8k )x+16k =0,

令△=(3+8k ) ﹣4(1+k )?16k =0,解得 k=± , 又∵轨迹 C 的端点( ,± )与点(4,0)决定的直线斜率为± ,

2

2

2

2

∴当直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点时, k 的取值范围为∪{﹣ , }.

【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题,注意解题方法的积累,属于难 题.

22.已知椭圆

.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点.

2

2

(Ⅰ)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. 【考点】圆与圆锥曲线的综合. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (I)由题意及椭圆和圆的标准方程,利用椭圆离心率的定义和点到直线的距离公式 即可求解; (II)由题意即 m 得取值范围分 m=1 时,m=﹣1 及当 m≠±1 三大类求出|AB|的长度,利用直 线方程与椭圆方程进行联立,利用根与系数的关系得到 k 与 m 之间关系等式,利用直线与圆 相切的条件即可. 【解答】解: (I)由题意得 a=2,b=1,所以 c= ∴椭圆 G 的焦点坐标 (II)由题意知:|m|≥1, 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A(1, 当 m=﹣1 时,同理可得|AB|= ; ) 点 B(1,﹣ ) 此时|AB|= ; 离心率 e= .

当|m|>1 时,设切线 l 的方程为:y=k(x﹣m) ,由

?(1+4k )x ﹣8k mx+4k m

2

2

2

2 2

﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 x1+x2=

又由 l 与圆 x +y =1 相切∴圆心到直线 l 的距离等于圆的半径即

2

2

=1? m =

2



所以|AB|=

=

]=

, 由于当 m=±1 时, |AB|=



当 m≠±1 时,|AB|=

,此时 m∈(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)

又|AB|=

≤2(当且仅当 m=±

时,|AB|=2) ,

所以,|AB|的最大值为 2. 故|AB|的最大值为 2. 【点评】此题重点考查了椭圆及圆的标准方程,还考查了点到直线的距离公式,对于第二问, 重点考查了利用 m 的范围分裂进行讨论,联立直线与椭圆的方程利用整体代换的思想建立 m 与 k 的关系等式,还考查两点间的距离公式及又 m 的范围解出|AB|的最值.


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