江苏省仪征市2013—2014高二数学第一学期期末试卷(含答案)

仪征市 2013―2014 学年第一学期期末 考试 高二数学试卷
一、填空题( 14 ? 5? ? 70? ) 1.命题“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是
2

2014.1



2. 抛物线 x=8y2 的焦点坐标为 . 3.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,给出下列命题: ①若 α∥β,则 l⊥m;②若 α⊥β,则 l∥m;③若 l∥m,则 α⊥β; ④若 l⊥m,则 α∥β. 其中正确命题的序号是________. 4.棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积 为 . 5.执行右边的程序框图 6,若 p=0.8,则输出的 n= .

6. 一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10,则该组数据的方差 为 . 第5题

7. 曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切线与 y 轴交点的坐标为_________.

8.在区间 [?

? ?

, ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为__ 2 2 2

1

___.

9.函数 y ?

1 ? 2ln x 的单调减区间为___________. x
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

10.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽 取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频 率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有 ________根的棉花纤维的长度小于 20mm。 11.若函数 f(x)=e -2x-a 在 R 上有两个零点,则实 数 a 的取值范围是________.
12. 已知函数 f ( x) ? ln x ?
x

频率 组距

上取得最小值 4,则 m ? _ __. 13. 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端 点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,且 BF ? 2 FD ,

m ( m ? R ) 在区间 [1, e] x

长度 mm 5 10 15 20 25 30 35 40

则椭圆 C 的离心率为____________. 3 ? 14.已知函数 y=f(x)在定义域? ?-2,3?上可导,其图象如图,记 y=f(x) 的导函数 y=f′(x),则不等式 xf′(x)≤0 的解集是______ __.

二、解答题(第 15、16 每题 14? ,17、18 每题 15? ,19、20 每题 16? ) 15.设命题 p:函数 f ( x) ? lg(ax 2 ? x ?

1 a) 的定义域为 R;命题 q:不等式 3x ? 9 x ? a 对 16

一切实数均成立。 (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围。

16.为了让学生了解更多“奥运会”知识,某中学举行了一次“奥运知识竞赛”,共有 800 名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况, 从中抽取了部分学生的成绩 (得分均为 整数,满分为 100 分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表,解答下列 问题: 分组 频数 频率 (1)若用系统抽样的方法抽取 50 个样本,现将所有学生 随机地编号为 000,001,002,?799, 试写出第二组第 60.5?70.5 0.16 一位学生的编号; (2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内) , 70.5?80.5 10 并作出频率分布直方图; (3)若成绩在 85.5?95.5 分的学生为二等奖, 问参赛学生 80.5?90.5 18 0.36 中获得二等奖的约多少人? 90.5?100.5 合计 50

18.(文) 请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为 1m 正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如下图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐篷的 体积最大?

(理)某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形 ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工 业园区(如图中阴影部分) ,形状为直角梯形 QPRE(线段 EQ 和 RP 为两个底边) ,已知

AB ? 2km, BC ? 6km, AE ? BF ? 4km, 其中 AF 是以 A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线
段.试求该高科技工业园区的最大面积. D R E F C

Q A

P B

x2 y2 19. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M(0,2)是椭圆的一个顶点, a b △F1MF2 是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2,

? 1 ? 且 k1+k2=8,证明:直线 AB 过定点?- ,-2?. ? 2 ?

20. 已知函数 f(x)=mx2-x+lnx. (1) 当 m=-1 时,求 f(x)的最大值; (2) 若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D,使得该函数在区间 D 上为减函数,求 m 的取 值范围; (3) 当 m>0 时,若曲线 C:y=f(x)在点 x=1 处的切线 l 与 C 有且只有一个公共点,求 m 的值.

仪征市 2013―14 学年第一学期期末 考试 高二数学试卷
一、填空题( 14 ? 5? ? 70? ) 1.“ ?x ? R, x ? x ? 0
2

2014.1

2. ?

? 1 ? ,0? ? 32 ?

3.①③ 4. 3?

5. 4

6. 0.02 12. ? 3e

7.(0,0)

8.

2 3

9. (0, ]

1 2

10.30

11.(2-2ln 2,+∞)

13.

3 3

3 1? 14. [0,1]∪? ?-2,-2?

二、解答题( 15、16 每题 14? ,17、18 每题 15? ,19、20 每题 16? ) 15.解答: (1)若命题 p 为真命题,则 ax ? x ?
2

?a ? 0 a ?a?2 ? 0, x ? R 恒成立 ? ? 16 ?△<0

(2)若命题 q 为真命题,则 3 ? 9 ? a ? a ?
x x

1 ; 4
1 4
[来源:

“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题,即 p,q 一真一假 故 a ? ( , 2] 。 16.解: (1)编号为 016; (2) 分组 60.5?70.5 70.5?80.5 80.5?90.5 90.5?100.5 合计 频数 8 10 18 14 50 频率 0.16 0.20 0.36 0.28 1
60.5 70.5 80.5 90.5 100.5

频率 组距
0.036 0.028 0.020 0.016

分数

(3)在被抽到的学生中获二奖的人数是 9+7=16 人,占样本的比例是 的概率约为 32%,所以获二等奖的人数估计为 800×32%=256 人。 18.(文)解:设 OO1 为 xm,则 1<x<4
2 2 由题设可得正六棱锥底面边长为: 3 ? ( x ? 1) ?

16 ? 0.32 ,即获二等奖 50

8 ? 2 x ? x 2 (单位:m)

故底面正六边形的面积为: 6 ?

3 3 3 ? ( 8 ? 2x ? x 2 ) 2 ? ? (8 ? 2 x ? x 2 ) (单位:m2) 4 2

帐篷的体积为: v( x) ?

3 3 1 3 (8 ? 2 x ? x 2 )[ ( x ? 1) ? 1] ? (16 ? 12 x ? x 3 ) (单位:m3) 2 3 2

求导得 v ?( x) ?

3 (12 ? 3x 2 ) ,令 v?( x) ? 0 解得 x1 ? ?2 (舍去) x2 ? 2 2

当 1 ? x ? 2 时, V ?( x) ? 0,V ( x) 为增函数;当 2 ? x ? 4 时, V ?( x) ? 0,V ( x) 为减函数 故当 x ? 2 时,V(x)最大. 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3m
3

(理)解:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系如图,则 A(0,0), F (2, 4) ?(2 分) 由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为 y ? ax (a ? 0) ,由 4 ? a ? 2 得, a ? 1 ,
2

2

∴AF 所在抛物线的方程为 y ? x ,????(5 分)
2

又 E (0, 4), C (2,6) ,∴EC 所在直线的方程为 y ? x ? 4 , 设 P( x,x )(0 ? x ? 2) ,则 PQ ? x, QE ? 4 ? x , PR ? 4 ? x ? x ,????(9 分)
2
2 2

∴工业园区的面积 S ? (4 ? x 2 ? 4 ? x ? x 2 ) ? x ? ? x3 ? x 2 ? 4 x (0 ? x ? 2) ,????(12 分) ∴ S ? ? ?3x ? x ? 4, 令 S ? ? 0 得 x ?
2

1 2

1 2

当 x 变化时, S ? 和 S 的变化情况如下表:
x

4 或 x ? ?1 (舍去负值) 3
4 ( , 2) 3
-

,????(13 分)

4 (0, ) 3
+

4 3
0 极大值

S?
S



104 27



由表格可知,当 x ?

4 104 104 时, S 取得最大值 . 答:该高科技工业园区的最大面积 . 3 27 27

19. (1)因为 b=2,△F1MF2 是等腰直角三角形,所以 c=2,所以 a=2 2, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1.(2)证明:①若直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 8 4 x y ? ? 8 + 4 =1, y=kx+m,A 点坐标为(x1,y1),B 点坐标为(x2,y2),联立方程得,? ? ?y=kx+m, 消去 y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,则 x1+x2=- 2m2-8 4km , x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2
2 2

y1-2 y2-2 kx1+m-2 kx2+m-2 由题知 k1+k2= + =8,所以 + =8, x1 x2 x1 x2

x1+x2 mk 1 即 2k+(m-2) =8.所以 k- =4,整理得 m= k-2. x1x2 2 m+2 1? 1 故直线 AB 的方程为 y=kx+ k-2,即 y=k? ?x+2?-2. 2 1 ? 所以直线 AB 过定点? ?-2,-2?. ②若直线 AB 的斜率不存在,设直线 AB 的方程为 x=x0,A(x0,y0),B(x0,-y0), y0-2 -y0-2 1 1 则由题知 + =8,得 x0=- .此时直线 AB 的方程为 x=- , x0 x0 2 2 1 ? ? 1 ? 显然直线 AB 过点? ?-2,-2?.综上可知,直线 AB 过定点?-2,-2?. 20. (1) 当 m=-1 时,f(x)=-x2-x+lnx, (2x-1)(x+1) 1 所以 f′(x)=-2x-1+ =- , x x 1 1 所以当 0<x< ,f′(x)>0,当 x> ,f′(x)<0, 2 2 1 1 3 ? 因此当 x= 时,f(x)max=f? ?2?=-4-ln2.(3 分) 2
2 1 2mx -x+1 (2) f′(x)=2mx-1+ = ,即 2mx2-x+1<0 在(0,+∞)上有解. x x ① m≤0 显然成立; 1 1 ② m>0 时,由于对称轴 x= >0,故Δ =1-8m>0 ? m< , 4m 8 1 综上,m< .(8 分) 8 (3) 因为 f(1)=m-1,f′(1)=2m, 所以切线方程为 y-m+1=2m(x-1),即 y=2mx-m-1, 从而方程 mx2-x+lnx=2mx-m-1 在(0,+∞)上只有一解. 令 g(x)=mx2-x+lnx-2mx+m+1,则 2 1 2mx -(2m+1)x+1 (2mx-1)(x-1) g′(x)=2mx-1-2m+ = = ,(10 分) x x x 1 所以 1° m= ,g′(x)≥0, 2 所以 y=g(x)在 x∈(0,+∞)单调递增,且 g(1)=0, 所以 mx2-x+lnx=2mx-m-1 只有一解.(12 分) 1 1 1 1, ?,g′(x)<0;x∈? ,+∞?,g′(x)>0 2° 0<m< ,x∈(0,1),g′(x)>0;x∈? ? 2m? ?2m ? 2 1 ? 由 g(1)=0 及函数单调性可知 g? ?2m?<0, 1 ? 1 ?? ? 1? 因为 g(x)=mx? ?x-?2+m??+m+lnx+1,取 x=2+m,则 g?2+m?>0. 1 2 ? 因此在? ?2m,+∞?方程 mx -x+lnx=2mx-m-1 必有一解从而不符题意(14 分) 1? 1 ?1 ? 3° m> ,x∈? ?0,2m?,g′(x)>0;x∈?2m,1?,g′(x)<0;x∈(1,+∞),g′(x)>0 2

1? ? 同理在 0,2m 方程 mx2-x ? ?


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