辽宁高考数学新课标(2009-2012)分块汇编


辽宁高考数学新课标(2009-2012)分块汇编
集合与简单逻辑用语
(2009 年辽宁卷(1) )已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则 M∩N= (A) {x|-5<x<5} (B) {x|-3<x<5} (C) {x|-5<x≤5} (D) {x|-3<x≤5} 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B (2010 年辽宁卷(1) )已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},( ?u B∩A={9},则 A= (A){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}

(2011 年辽宁(2) )已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N ? ? I M ? ? ,则 M ? N ? (A)M 答案:A ( 2012 辽宁 1 ) . 已知全集 U = ?0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? ,集合 A= ?0,1,3,5,8? ,集合 B= ?2,4,5,6,8? ,则 (B)N (C)I (D) ?

?CU A? ?CU B? = A. ?5,8? B. ?7,9?
【解析】 ? CU A?

C. ?0,1,3?

D. ?2,4,6?

【命题意图】本题主要考查集合的补集、交集运算,是容易题.

?CU B? =CU ? A

B ? =?7,9? ,故选 B.

函数、导数、不等式
(2009 年辽宁卷(7))曲线 y= (A)y=x-2 【解析】y’= 【答案】D (2009 年辽宁卷(9) )已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范 围是 (A) (

x 在点(1,-1)处的切线方程为 x?2
(C)y=2x-3 (D)y=-2x+1

(B) y=-3x+2

x?2? x ?2 ? ,当 x=1 时切线斜率为 k=-2 2 ( x ? 2) ( x ? 2) 2
1 3

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)

∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|< 【答案】A

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3
x

(2009 年辽宁卷(12) )若 x1 满足 2x+ 2 =5, x2 满足 2x+2 log2 (x-1)=5, x1 + x2 = (A)

5 2

(B)3
1

(C)

7 2

(D)4 ① ②

【解析】由题意 2 x1 ? 2 x ? 5
2 x2 ? 2log 2 ( x2 ? 1) ? 5
1

所以 2x ? 5 ? 2 x1 , x1 ? log 2 (5 ? 2 x1 ) 即 2 x1 ? 2log 2 (5 ? 2 x1 ) 令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1) ∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2 于是 2x1=7-2x2 【答案】C (2009 年辽宁卷(21) ) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 2
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

(2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有 (21)解:(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) f ( x) ? x ? a ? ? ? 2分 x x x
'

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则

f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 x

故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加。 (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'

故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增加.

(II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

由于 1<a<5, 故 g ?( x) ? 0 ,即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0
f( ? x) f2 ( ? x1 ? x2
1





f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 x1 ? x2





0 ? x1 ? x2







x )? 2 f ( x )1 f( x) · · · · · · · ·12 分 ? ?1· ? x2 x1
4 上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 a 的取值 范 e ?1
x

(2010 年辽宁卷(10))已知点 P 在曲线 y= 围是 (A)[0,

? ) 4

(B) [

? ?

, ) 4 2

(

? 3?
2 , 4

]

(D) [

3? ,? ) 4

(2010 年辽宁卷(11))已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是

1 2 1 2 1 2 1 2 ax ? bx ? ax0 ? bx0 (B) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (C) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 (D) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2
(A) ?x ? R,

(14)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是_______(答案用区间表示)

(2010 年辽宁卷(21)) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 (I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取 值范围。

?21? x , x ? 1 (2011 年辽宁(9) )设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 ?1 ? log 2 x, x ? 1
(A) [ ?1 ,2] 答案:D (2011 年辽宁(11) )函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的 解集为 (A) ( ?1,1) (B) ( ?1,+ ? ) (C) ( ? ? , ?1) (D) ( ? ? ,+ ? ) 答案:B (2011 年辽宁(21) ) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a) x . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ? (B)[0,2] (C)[1,+ ? ) (D)[0,+ ? )

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ; a a a

(III)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明: f ? (x0)<0. 21.解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??),

f ?( x) ?

1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? . x x

(i)若 a ? 0, 则f ?( x) ? 0, 所以f ( x) 在(0, ??) 单调增加.

1 , a 1 1 且当 x ? (0, )时, f ?( x) ? 0, 当x ? 时, f ?( x) ? 0. a a 1 1 所以 f ( x)在(0, ) 单调增加,在 ( , ??) 单调减少. ………………4 分 a a 1 1 (II)设函数 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x), 则 a a
(ii)若 a ? 0, 则由f ?( x) ? 0得x ?

g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax, g ?( x) ? a a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? . 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2

1 时, g ?( x) ? 0, 而g (0) ? 0, 所以g ( x) ? 0 . a 1 1 1 故当 0 ? x ? 时 , f ( ? x) ? f ( ? x). ………………8 分 a a a
当0 ? x ? (III)由(I)可得,当 a ? 0时,函数y ? f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点, 故 a ? 0 ,从而 f ( x ) 的最大值为 f ( ), 且f ( ) ? 0. 不妨设 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 , 则0 ? x1 ?

1 a

1 a

1 ? x2 . a

由(II)得 f ( 从而 x2 ?

2 1 1 ? x1 ) ? f ( ? ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0. a a a

x ? x2 1 2 ? x1 , 于是x0 ? 1 ? . a 2 a
………………12 分

由(I)知, f ?( x0 ) ? 0.

? x -y ? 10 ? (2012 辽宁 8). 设变量 x ,y 满足 ?0 ? x +y ? 20 ,则 2 x +3 y 的最大值为 ?0 ? y ? 15 ?
A.20 B.35 C.45 D.55 【命题意图】本题主要考查简单线性规划,是中档题. 时, 2 x +3 y 的最大值为 55,故选 D. ( 2012 辽 宁 11 ) . 设 函 数 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由图知目标函数过点 A ? 5,15?

f ( x)

f (? x ? )

f ?x ,? ? f ? ?

=?x, 且 2 f当 - x ?x ?0 ,1 ? 时,

? x ? R? 满 足 3 . 又 函 数 g ? x ? = x cos ?? x ? f ? x? = x

,则函数

? 1 3? h ? x ? =g ? x ? -f ? x ? 在 ?- , ? 上的零点个数为 ? 2 2?
A.5 B.6 C.7 D.8 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识,是难题. 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 且 f ? 0? =0,f ?1? =1 , 而 g ? x ?= 【解析】由 f (? x) ? f ? x ? 知,所以函数 f ( x) 为偶函数,所以 f ? x ? =f ? 2-x ? =f ? x-2? ,所以函数 f ( x) 为

x c o ??s

?

x为 偶 函 数 , 且

?1? ? 1? ? 3? g ? 0 ? =g ? ? =g ? - ? =g ? ? =0 , 在 同 一 坐 标 系 下 作 出 两 函 数 在 ?2? ? 2? ? 2? ? 1 3? ? 1 3? - , ? 上的图像,发现在 ?- , ? 内图像共有 6 个公共点,则函数 ? ? 2 2? ? 2 2? ? 1 3? h ? x ? =g ? x ? -f ? x ? 在 ?- , ? 上的零点个数为 6,故选 B. ? 2 2? (2012 辽宁 12). 若 x ??0,+? ? ,则下列不等式恒成立的是
A. e ? 1+x+x
x 2

C. cos x ? 1-

1 2 x 2

1 1 1 ? 1- x + x 2 2 4 1+x 1 2 D. ln ?1+x ? ? x- x 8
B.

【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题,是难题.
3 3 2 【解析】验证 A,当 x=3时,e >2.7 =19.68>1+3+3 =13 ,故排除 A;验证 B,当 x = 时, ,

1 2

1 1+ 1 2

=

1 1 1 1 13 39 1521 1536 16 6 6 = < = ,而 1- ? + ? = = ,故排除 B; 2 2 4 4 16 48 48 48 48 3

1 2 x ,g' ? x ? =-sin x+ x, g'' ? x ?=1-cos x ,显然 g'' ? x ? >0 恒成立 2 1 2 所以当 x ??0,+? ? , g' ? x ? ? g' ? 0? =0 ,所以 x ??0,+? ? , g ? x ? = cos x-1+ x 为增函数,所以 2
验证 C,令 g ? x ? = cos x-1+

1 1 x x ? x-3? ,令 h' ? x ? <0 ,解得 0<x <3,所以当 0<x <3 时, h ? x ? = ln ?1+x ? -x+ x 2 ,h' ? x ? = -1+ = 8 x+1 4 4 ? x+1?

g ? x ? ? g ? 0? =0 ,恒成立,故选 C;验证 D,令

h ? x? < h? 0? =0,显然不恒成立,故选 C.

(2012 辽宁 21) .(本小题满分 12 分) 设 f ? x ? = ln ? x+1? + x+1+ax+b ? a,b ? R,a,b为常数? , 曲线 y=f ? x ?

3 x 在 ? 0,0 ? 点相切. 2 (1)求 a ,b 的值;
与直线 y = (2)证明:当 0<x <2 时, f ? x ? <

9x x +6

【命题意图】本题主要考查函数的切线及恒成立问题,考查运算求解能力,是难题. 【解析】 (1)由 y=f ? x ? 的图像过 ? 0,0 ? 点,代入得 b =-1 由 y=f ? x ? 在 ? 0,0 ? 处的切线斜率为

3 1 3 ? 1 ? ,又 y' x =0 = ? + +a ? = +a ,得 a =0 ?3 分 2 ? x+1 2 x+1 ? x =0 2 x (2) (证法一)由均值不等式,当 x >0 时, 2 ? x +1? 1<x +1+1=x +2 ,故 x +1< +1 2 9x 1 1 54 2+ x +1 54 x +6 54 + = < 记 h ? x ? =f ? x ? ,则 h' ? x ? = 2 2 x +6 x +1 2 x +1 ? x +6 ? 2 ? x +1? ? x +6 ? 4 ? x +1? ? x +6 ?2

? x+6 ? -216 ? x+1? ,令 g x = x+6 3 -216 x+1 ,则当 0<x <2 时, = ? ? ? ? ? ? 2 4 ? x +1?? x +6 ? 2 g' ? x ? =3 ? x +6 ? -216<0 因此 g ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 g ? 0? =0 ,得 g ? x ? <0 ,所以 h' ? x ? <0 因此 h ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 h ? 0? =0 ,得 h ? x ? <0 ,
3

于是当 0<x <2 时, f ? x ? < (证法二)

9x x +6
, 由均值不等式, 当 x >0 时,2

?12 分

由 (1) 知 f ?x ? =l n ? x + 1 +? + x 1 1

? x+1? 1<x+1+1= x+2 ,故

x x+ 1 < + 1 2

令 k ? x ? =ln ? x+1? -x ,则 k ? 0 ? =0,k' ? x ? = 时, f ? x ? <

1 -x -1= <0 ,故 k ? x ? <0 ,即 ln ? x + 1< ? x ,由此得,当 x>0 x +1 x +1

3 x ,记 h ? x ? = ? x+6? f ? x ? -9x ,则当 0<x <2 时, 2 3 1 ? ? 1 h' ? x ? =f ? x ? + ? x+6? f' ? x ? -9< x+ ? x+6 ? ? + ? -9 2 ? x+1 2 x+1 ?

1 ? 1 ? ? ? x? 3x ? x+1? + ? x+6? 2+ x+1 -18 ? x+1?? < 3x ? x+1? + ? x+6 ? ? 3+ ? -18 ? x+1?? ? ? 2 ? x+1? ? 2 ? x+1? ? ? 2? ? x = ? 7 x-18? <0 4 ? x+1? 9x 因此 h ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 h ? 0? =0 ,得 h ? x ? <0 ,即 f ? x ? < x +6 =

?

?

三角函数与平面向量

(2009 年辽宁卷(3) )平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ?
0

(A) 3

(B) 2 3

(C) 4

(D)12

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4× 2× 1× cos60° +4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 【答案】B (2009 年辽宁卷(8) )已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) = 3

(A) ?

2 3

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 2 12

2 2π π 所以 f( )=-f( )= 3 2 3
【答案】B (2009 年辽宁卷(17) ) (本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。 试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,
0 0 0

2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
(17)解:

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? ? 3 2? 6 , 20

……5



AB

AC

即 AB= sin 15?

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。 (2010 年辽宁卷(5))设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ 最小值是

……12 分

? 4? )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的 3 3

(A)

2 3

(B)

4 3

(C)

3 2

(D)3

(2010 年辽宁卷(8))平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB ? b ,则△OAB 的面积等于
2 2 2 (A) |a | | b | ?( a b)

(B) (D)

|a |2 | b |2 ? (a b) 2

(C)

1 |a |2 | b |2 ?(a b) 2 2

1 |a |2 | b |2 ?(a b) 2 2

(2010 年辽宁卷(17)) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。

??12 分

(2011 年辽宁(4) )△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a ,则 (A) 2 3 答案:D (B) 2 2 (C) 3 (D) 2

b ? a

( (2011 年辽宁(7) )设 sin
(A) ? 答案:A

7 9

1 +?) = ,则 sin 2? ? 4 3 1 1 (B) ? (C) 9 9

?

(D)

7 9

(2011 年辽宁(10) )若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大 值为 (A) 2 ? 1 答案:B (2011 年辽宁(16) )已知函数 f ( x) =Atan( ? x+ ? ) ( ? ? 0, | ? |? 的部分图像如下图,则 f ( 答案: 3 (2012 辽宁 3). 已知两个非零向量 a,b 满足 a +b = a-b ,则下面结论正确 A. a // b B. a ? b C. a = b D. a+b=a-b (B)1 (C) 2 (D)2

?
2

) ,y= f ( x)

?
24

)?



【命题意图】本题主要考查平面向量运算,是简单题. 【解析 1】 a +b = a-b ,可以从几何角度理解,以非零向量 a,b 为邻边做平行四边形,对角线长分别 为 a +b , a -b ,若 a +b = a-b ,则说明四边形为矩形,所以 a ? b ,故选 B. 【解析 2】已知得 a +b = a-b ,即 a -2ab+ b = a +2ab+ b ? ab=0 ? a ? b ,故选 B. (2012 辽宁 4). 已知命题 p:?x1,x2 ? R, f ? x2 ? -f ? x1 ? A. ?x1,x2 ? R, f ? x2 ? -f ? x1 ? C. ?x1,x2
2 1
2 2 2 2 2 2

? ? ? x -x ? ? 0 ? R, ? f ? x ? -f ? x ?? ? x -x ? <0
2 1 2 1

?

? ? x -x ? ? 0 ,则 ? p 是 B. ?x ,x ? R, ? f ? x ? -f ? x ?? ? x -x ? ? 0 D. ?x ,x ? R, ? f ? x ? -f ? x ?? ? x -x ? <0
2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1

【命题意图】本题主要考查全称命题的否定,是容易题. 改为“ f ? x2 ? -f ? x1 ?

【解析】全称命题的否定形式为将“ ? ”改为“ ? ” ,后面的加以否定,即将“ f ? x2 ? -f ? x1 ?

?

,故选 C. ? ? x -x ? <0 ”
2 1

?

? ? x -x ? ? 0 ”
2 1

(2012 辽宁 7). 已知 sin ? -cos ? = 2, ? ? ?0, ? ? ,则 tan ? ? A. ? 1 B. ?

2 2

C.

2 2

D. 1

【命题意图】本题主要考查同角三角函数基本关系式、特殊角的的三角函数,是中档题. 【解析 1】 sin ? -cos ? = 2,? ? ? 0,? ? ,两边平方得 1-sin 2? =2,

3? 3? ,? = , ? tan ? =-1 ,故选 A. 2 4 【解析 2】由于形势比较特殊,可以两边取导数得 cos ? +sin ? =0, ? tan ? =-1

sin 2? =-1,2? ? ? 0,2? ? , 2? =

(2012 辽宁 17) . (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,角 A,B,C 成等差数列。 (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值 【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用,是容易题.

1 ??6 分 3 2 3 2 2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B = 4 2 2 2 2 2 1 a +c -b a +c -ac 2 = 解法二: b =ac , = cos B = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac ? 3 所以 A=B =C = , sin A sin C = ??12 分 3 4
【解析】 (1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?

, cos B =

立体几何
(2009 年辽宁卷(11) ) 正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为 (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2 【解析】由于 G 是 PB 的中点,故 P-GAC 的体积等于 B-GAC 的体积 在底面正六边形 ABCDER 中 E D C H 而 BD= 3 AB 故 DH=2BH B A 于是 VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC 【答案】C (2009 年辽宁卷(15) )设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。 BH=ABtan30° =
3 AB 3

F

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

则该几何体的体积为

m3

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

【解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3,
1 体积等于 ×2×4×3=4 6

【答案】4 (2009 年辽宁卷(18) ) (本小题满分 12 分) 如图,已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点 。 (I)若平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(18) (I)解法一: 取 CD 的中点 G,连接 MG,NG。 设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2, 则 MG⊥CD,MG=2,NG=
2

.

因为平面 ABCD⊥平面 DCED, 所以 MG⊥平面 DCEF, 可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= 角的正弦值 解法二: 设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2,以 D 为坐标原点,分别以射线 DC,DF,DA 为 x,y,z 轴正半轴建 立空间直角坐标系如图. 则 M(1,0,2),N(0,1,0),可得 MN =(-1,1,2). 又 D A =(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量, 可得 cos( MN , D A )=
MN ? DA || MN || DA | ?? 6 3
6

,所以 sin∠MNG= ……6 分

6 3

为 MN 与平面 DCEF 所成

·

所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为
MN , DA ? 6 3

cos

·

……6 分 ……8 分

(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面,

则 AB ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知,两正方形不共面,故 AB ? 平面 DCEF。 又 AB//CD,所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB//EN。 又 AB//CD//EF, 所以 EN//EF,这与 EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线. ……12 分 (2010 年辽宁卷(12)) 有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点 处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值 范围是 (A)(0, 6 ? 2 ) (B)(1, 2 2 ) (D) (0, 2 2 )

(C) ( 6 ? 2 , 6 ? 2 )

(2010 年辽宁卷(15))如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某 多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.

(2010 年辽宁卷 19)) (本小题满分 12 分) 已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别 为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

空间想 象能力以及空间思维能力。 【点评】纵观近几年的高考试题,立体几何的解答题在很大程度上扮演着直线与平面内容载体的角 色,着重考查立体几何中的逻辑推理,多为中档题,通过这些题目考查学生掌握基础知识、逻辑推理能力、

计 算 能 力 和 空 间 想 象 能 力 。 而 空 间 向 量 是 解 答 立 体 几 何 问 题 的

(2011 年辽宁(8) )如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD,则下列结论中不正确 的 ... 是 (A)AC⊥ SB (B)AB∥ 平面 SCD (C)SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 答案:D (2011 年辽宁(12) )已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ? , 则棱锥 S—ABC 的体积为 (A) 3 3 答案:C (2011 年辽宁(15) )一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视 图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积 是 . 答案: 2 3 (2011 年辽宁(18) ) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥ 平面 ABCD,PD∥ QA,QA=AB= (I)证明:平面 PQC⊥ 平面 DCQ; (II)求二面角 Q—BP—C 的余弦值. 18.解: 如图, 以 D 为坐标原点, 线段 DA 的长为单位长, 射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D—xyz. (I)依题意有 Q(1,1,0) ,C(0,0,1) ,P(0,2,0). 则 DQ ? (1,1,0), DC ? (0,0,1), PQ ? (1, ?1,0). 所以 PQ ? DQ ? 0, PQ ? DC ? 0. 即 PQ⊥ DQ,PQ⊥ DC. 故 PQ⊥ 平面 DCQ. 又 PQ ? 平面 PQC,所以平面 PQC⊥ 平面 DCQ. …………6 分 (II)依题意有 B(1,0,1) ,C B ? , 0 ) ,1 ( (B) 2 3 (C) 3 (D)1

1 PD. 2

(1 2 B ,P .) 1 ??

?

设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PBC 的法向量,则 ? 因此可取 n ? (0, ?1, ?2).

? ?n ? CB ? 0,

? x ? 0, 即? ? ?n ? BP ? 0, ?? x ? 2 y ? z ? 0.

设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ?

? ? m ? BP ? 0, ? ? m ? PQ ? 0.

可取 m ? (1,1,1).所以 cos ? m, n ?? ?

15 . 5
………………12 分

故二面角 Q—BP—C 的余弦值为 ?

15 . 5

(2012 辽宁 13). 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 . 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积计算,是简单 题. 【命题意图】由三视图知,此几何体为一个长为 4,宽为 3,高为 1 的长 方体中心,去除一个半径为 1 的圆柱,所以表面积为

2 ? ? 4 ? 3+4 ?1+3?1? +2? -2? =38

(2012 辽宁 16). 已知正三棱锥 P-ABC ,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互 垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 . 【命题意图】本题主要考查球与正三棱锥的切接问题,是难题. 【解析】如图所示, O 为球心, O' 为截面 ABC 所在圆的圆心, 设 PA=PB =PC =a , PA,PB,PC 两两相互垂直,

AB=BC =CA= 2a ,所以 CO'=
2 2

3 6 a, a , PO'= 3 3

? 3 ? ? 6 ? 3 2 3 a =2 , 所 以 PO'= , a 3 a= ? ? ? 3 ? +? ? 3 a? ? =3 , 解 得 3 3 ? ? ? ?

OO'=

3 3

(2012 辽宁 18) (本小题满分 12 分) ?BAC =90? ,AB =AC =? AA' , 如图, 直三棱柱 ABC -A'B'C' , 点 M ,N 分别为 A'B 和 B'C' 的中点 (1)证明: MN //平面A'ACC' ; (2)若二面角 A'-MN -C 为直二面角,求 ? 的值 【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算,考查空间 想象能力、运算求解能力,是容易题. 【解析】 (1)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' ??6 分 (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA' 为 x 轴, y 轴, z 轴建立直 角坐标系 O-xyz ,如图所示

设 AA'=1, 则 AB =AC =? , 于是 A? 0,0,0? ,B ? ?,0,0? ,C ? 0,?,0? ,A' ?0,0,1? ,B' ? ?,0,1? ,C' ?0,?,1? ,

?? 1? ?? ? ? ,0, ? ,N ? , ,1? ,设 m= ? x1 ,y1 ,z1 ? 是平面 A'MN 的法向量, ? 2 2? ? 2 2 ? 1 ?? x z1 =0 1 ? ?2 ?m A'M =0, ? 2 由? 得? ,可取 m= ?1,-1,? ? ? 1 m MN =0 ? ? y + z =0 ? 1 1 ? ?2 2 设 n= ? x2 ,y2 ,z2 ? 是平面 MNC 的法向量,
所以 M ?

? ? ? - x2 + y2 -z2 =0 ? ? ? n NC =0, ? 2 2 由? 得? ,可取 n= ? -3,-1,? ? ? 1 n MN =0 ? ? ? y2 + z2 =0 ? ?2 2 因为 A'-MN -C 为直二面角,所以 m n=0,即-3+ ? -1? ? ? -1? +? 2 =0 ,解得 ? = 2 ??12 分

直线、圆、圆锥曲线
(2009 年辽宁卷(4)) 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

(B) ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即 可. 【答案】B

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 (2009 年辽宁卷(16) )以知 F 是双曲线 4 12

PF ? PA 的最小值为



【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 (2009 年辽宁卷(20) ) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值。
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

3 2

(20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b

x2 y 2 所以椭圆方程为 ? ? 1。 4 3
(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

……………4 分

3 x2 y 2 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
……12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

(2010 年辽宁卷(7))设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|= (A) 4 3 (B)8 (C) 8 3 (D) 16

(2010 年辽宁卷(9))设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

(2010 年辽宁卷(20)) (本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l a 2 b2

的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB . (I) (II) 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

也为解答圆锥曲线问题提供了新的工具,应重视运用向量解决圆锥曲线问题的能力。

(2011 年辽宁(3) )已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF ? BF =3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为

(A)

3 4

(B)1

(C)

5 4

(D)

7 4

答案:C (2011 年辽宁(13) )已知点(2,3)在双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 上,C 的焦距为 4,则它的离 a2 b2

心率为 . 答案:2 (2011 年辽宁(20) ) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭 圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥ MN,l 与 C1 交于两点, 与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D. (I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥ AN,并说明理由. 20.解: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设

C1 :

x2 y 2 b2 y 2 x 2 ? ? 1, C : ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 2 a 2 b2 a4 a
(| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得
………………4 分

设直线 l : x ? t

A(t ,

a 2 2 b 2 2 a ? t ), B(t , a ? t ). b a

当e ?

1 3 时, b ? a, 分别用y A , yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 2 2
………………6 分

2 | yB | b 2 3 | BC |:| AD |? ? ? . 2 | yA | a2 4

(II)t=0 时的 l 不符合题意. t ? 0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即

b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t a ?b , t t ?a
解得 t ? ?

ab2 1 ? e2 ? ? ? a. a 2 ? b2 e2

因为 | t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以

1 ? e2 2 ? 1, 解得 ? e ? 1. 2 2 e

所以当 0 ? e ?

2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN; 2
………………12 分



2 ? e ? 1 时,存在直线 l 使得 BO//AN. 2

(2012 辽宁 15) 已知 P,Q 为抛物线 x 2 =2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2 ,过 P,Q 分别作抛物 线的切线,两切线交于点 A ,则点 A 的纵坐标为 . 【命题意图】本题主要考查抛物线的切线与两直线的交点,是中档题.

1 2 x ,y'=x , 所以以点 P 为切点的切线方程为 y =4 x-8 , 以点 Q 为切点的切线方程为 y =-2 x-2 , 2 ?x ? 1 联立两方程的 ? ? y ? -4
【解析】y = (2012 辽宁 20). (本小题满分 12 分)

x2 y 2 + 2 =1? a >b>0,a,b为常数 ? ,动圆 C1:x2 +y2 =t12 ,b<t1 <a .点 A1 ,A2 分别为 C0 的左、右 2 a b 顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C ,D 四点 (1)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
如图,椭圆 C0 : (2) 设动圆 C2:x2 +y2 =t22 与 C0 相交于 A',B',C',D' 四点, 其中 b<t2 <a , t1 ? t2 . 若矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,证明: t12 +t22 为定值 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的 定值问题,考查转化与化归能力、运算求解能力,是难题. 【解析】设 A? x1,y1 ? ,B ? x1,-y1 ? ,又知 A 1 ? -a,0? ,A 2 ? a,0? ,则 直线 A 1 A 的方程为 直线 A2 B 的方程为 由①②得

y1 ? x+a ? x1 +a -y y = 1 ? x-a ? x1 -a y=

① ② ③

y2 =

- y12 ? x2 -a2 ? x12 -a 2

由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 C0 上,故可得

x12 ? x12 y12 2 2? y = b 1+ =1 ,从而有 ,代入③得 ? 1 2 ? a 2 b2 ? a ?

x2 y 2 - =1? x<-a,y <0 ? ??6 分 a 2 b2 (2)证明:设 A' ? x2 ,y2 ? ,由矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,得

? x2 ? ? x2? 4 x1 y1 =4 x2 y2 , ? x12 y12 =x22 y22 ,因为点 A,A' 均在椭圆上,所以 b2 x12 ?1- 12 ? =b2 x2 2 ?1- 22 ? ? a ? ? a ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由 t1 ? t2 ,知 x1 ? x2 ,所以 x1 +x2 =a 。从而 y1 +y2 =b ,因而 t1 +t2 =a +b 为定值?12 分

数列
(2009 年辽宁卷(6) )设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

(A) 2

(B)

7 3

(C)

8 3

(D)3

S6 (1 ? q3 ) S3 【解析】设公比为 q ,则 =1+q3=3 ? q3=2 ? S3 S3

于是 【答案】B

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

(2009 年辽宁卷(14) )等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d 2 ∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4

【答案】

1 3

(2010 年辽宁卷(6))设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,则 S5 ? (A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

(2010 年辽宁卷(16))已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为_________ _. n

(2011 年辽宁(17) ) (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;

?a ? (II)求数列 ? nn 的前 n 项和. ?1 ? ?2 ?
17.解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

?a1 ? d ? 0, ?2a1 ? 12d ? ?10,

解得 ?

? a1 ? 1, ? d ? ?1.
………………5 分

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. (II)设数列 {

an a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? n ?1 2 2

?

an , 故S1 ? 1 , 2n ?1

Sn a1 a2 ? ? ? 2 2 4
Sn a ?a ? a1 ? 2 1 ? 2 2
所以 S n ?

?

an . 2n
1 2?n 1 2?n n ? n ) ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n = n . n ?1 2 2 2 2 2
………………12 分

所以,当 n ? 1 时,

?

an ? an ?1 an 1 1 ? n ? 1? ( ? ? n ?1 2 2 2 4

?

n 2
n ?1

. 综上,数列 {

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 2

(2012 辽宁 6). 在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 +a8 =16 ,则该数列前 11 项和 S11 = A.58 B.88 C.143 D.176 【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式和前 n 项和公式,是简单题. 【解析】 a4 +a8 =2a6 =16 ?a6 =8 ,而 S11 =

11? a1 +a11 ? =11a6 =88 ,故选 B. 2 2 (2012 辽宁 14).已知等比数列 ?an ? 为递增数列,且 a5 =a10 ,2 ? an +an+2 ? =5an+1 ,则数列 ?an ? 的通项公
式 an = ____________. 【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想,是简单题. 【解析】设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则由 2 ? an +an+ 2 ? =5an+1得, 2+2q2 =5q,2q2 -5q+2=0 ,解得
2 1 q = 或q =2 ,又由 a52 =a10 知,? a1q 4 ? =a1q 9 ,所以 a1 =q ,因为 ?an ? 为递增数列,所以 a1 =q=2 ,an =2n 2

计数原理、二项式定理、概率、统计
(2009 年辽宁卷(5) )从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医 生都有,则不同的组队方案共有 (A)70 种 (B) 80 种 (C) 100 种 (D)140 种 1 2 【解析】直接法:一男两女,有 C5 C4 =5× 6=30 种,两男一女,有 C52C41=10× 4=40 种,共计 70 种 3 3 间接法:任意选取 C9 =84 种,其中都是男医生有 C5 =10 种,都是女医生有 C41=4 种,于是符合条

件的有 84-10-4=70 种. 【答案】A (2009 年辽宁卷(13) )某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为 1:2: 1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿 命的测试, 由所得的测试结果算得从第一、 二、 三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h, 1020h,1032h,则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h. 【解析】 x ?
980 ?1+1020 ? 2+1032 ?1 =1013 4

【答案】1013 (2009 年辽宁卷(19) ) (本小题满分 12 分) 1 某人向一目射击 4 次,每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、三部分面积 3 之比为 1:3:6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。 (Ⅰ)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (Ⅱ)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ,求 P(A)
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(19)解: (Ⅰ)依题意 X 的分列为

………………6 分

(Ⅱ)设 A1 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. B1 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,

A ? A1 B1 ? A1 B1 ? A1 B1 ? A2 B2 ,
所求的概率为

P( A) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P (A1 B1) ? P( A2 B2 ) P( A1 B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P (A1 )P(B1 ) ? P( A2 ) P( B2 )
0.1 ? 0 .? 9 0? .9 0 ? . 1 ?0 . 1 ? 0 . 1 ? 0 .? 3 0.3 0 . 2 8………12 分

(2010 年辽宁卷(3))两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
[来源:学科网]

2 3 和 ,两个零件是 3 4

1 (A) 2

5 (B) 12

1 (C) 4

1 (D) 6

(2010 年辽宁卷(13)) (1 ? x ? x )( x ? ) 的展开式中的常数项为_________.
2 6

1 x

答案 ? 5

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (2010 年辽宁卷(18)) (本小题满分 12 分) 为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验,将这 200 只家兔随机 地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。 (Ⅰ)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只,求甲、乙分在不同组的概率; (Ⅱ)下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(ⅱ)完成下面 2×2 列 联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3:

18.答案 解: (Ⅰ)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
99 2C198 100 P ? 100 ? C200 199

??4 分

(Ⅱ) (i)

图Ⅰ注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数 在 70 至 75 之间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数。 ??8 分 (ii)表 3:

K2 ?

200 ? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 ? 24.56 100 ?100 ?105 ? 95

由于 K2>10.828, 所以有 99.9%的把握认为 “注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。

(2011 年辽宁(14) )调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) , 调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:

? ? 0.254x ? 0.321 . 由 回 归 直 线 方 程可 知 ,家 庭 年 收 入 每增 加 1 万元 , 年 饮 食 支出 平 均 增加 y
____________万元. 答案:0.254 (2011 年辽宁(19) ) (本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试 验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷 产量(单位:kg/hm2)如下表: 品 种甲 品 种乙 40 3 41 9 3 7 40 2 39 0 41 8 39 4 41 8 40 8 40 3 38 0 42 0 40 2 40 3 41 6 41 40

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品 种?

1 附:样本数据 x1 , x2 ,? ? ?, xn 的的样本方差 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为样本平均数. n 19.解: (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且

P( X ? 0) ? P( X ? 3) ?

1 3 2 2 C4 C4 C4 C4 18 1 1 8 ? , P ( X ? 1) ? ? , P ( X ? 2) ? ? 4 4 C8 70 C8 35 C84 35 3 1 C4 C4 8 1 1 ? , P( X ? 4) ? 4 ? . 4 C8 35 C8 70

即 X 的分布列为

………………4 分 X 的数学期望为

E( X ) ? 0 ?

1 8 18 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2. ………………6 分 70 35 35 35 70

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ) ? 57.25. 8
………………8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 1 2 S乙 ? (7 2 ? (?9) 2 ? 02 ? 62 ? (?4) 2 ? 112 ? (?12) 2 ? 12 ) ? 56. 8
………………10 分 由以上结果可以看出, 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数, 且两品种的样本方差差异不大, 故应该选择种植品种乙. (2012 辽宁 5). 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 A. 3 ? 3! B. 3 ? ? 3!?
3

C. ? 3!?

4

D. 9!

【命题意图】本题主要考查相邻的排列问题,是简单题. 【命题意图】每家 3 口人坐在一起,捆绑在一起 3! ,共 3 个 3! ,又 3 家 3 个整体继续排列有 3! 种方法,总 共有 ? 3!? ,故选 C.
4

(2012 辽宁 10) . 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形, 邻边长分别等于线段 AC, CB 的长, 则该矩形面积小于 32 cm 的概率为 A.
2

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

【命题意图】本题主要考查几何概型及应用意识.是中档题. 形面积设为 S , 则 S= x y= x 1 ?2-x
2

【解析】如图所示,令 AC =x,CB=y ,则 x+y=12 ? x>0,y>0? ,矩

? 2 ?3

, 解得 0<x ? 4或8 ? x<12 ,

该矩形面积小于 32 cm 的概率为

8 2 = ,故选 C. 12 3

(2012 辽宁 19). (本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情 况,随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的 观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” (1)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否 认为“体育迷“与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 10 55 女 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名 观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷“人数为 X .若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E ? X ? 和方差 D ? X ?

n ? n11n22 -n12 n21 ? 附: ? = , n1+ n2+ n+1n+2
2 2

P??2 ? k?

0.05

0.01

k

3.841

6.635

【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算, 考查运用所学知识解决实际问题能力,是中档题. 【解析】 (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而 2 ? 2 列联表如下: 非体育迷 体育迷 合计 30 15 45 男 45 10 55 女 75 25 100 合计 将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得 ??3 分

n ? n11n22 -n12 n21 ? 100 ? ? 30 ?10-45 ?15 ? 100 = = ? 3.030 n1+ n2+ n+1n+2 75 ? 25 ? 45 ? 55 33 因为 3.030<3.841 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
2 2

?2=

??6 分 (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育 迷”的概率为 由题意 X

1 . 4 ? 1? B ? 3, ? ,从而 X 的分布列为 ? 3?
0 1 2 3

X P

27 64

27 64

9 64

1 64
??10 分 ??12 分

1 3 1 3 9 E ? X ? =np =3 ? = , D ? X ? =np ?1-p ? =3 ? ? = . 4 4 4 4 16

算法、复数
(2009 年辽宁卷(2) )已知复数 z ? 1 ? 2i ,那么

1 = z
(C)

(A)

5 2 5 ? i 5 5

(B)

5 2 5 ? i 5 5

1 2 ? i 5 5

(D)

1 2 ? i 5 5

【解析】

1 1 1 ? 2i 1 ? 2i 1 2 ? ? ? = ? i z 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 1 ? 22 5 5

【答案】D

(2009 年辽宁卷 (10) ) 某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 , 。 。 。 a2 ,

aN ,其中收入记为
正数,支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V,那 么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的 (A)A>0,V=S-T (B) A<0,V=S-T (C) A>0, V=S+T (D)A<0, V=S+T
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

【解析】月总收入为 S,因此 A>0 时归入 S,判断框内填 A>0 支出 T 为负数,因此月盈利 V=S+T 【答案】C (2010 年辽宁卷(2))设 a,b 为实数,若复数 (A) a ?

1+2i ? 1 ? i ,则 a ? bi

3 1 ,b ? 2 2 1 3 (C) a ? , b ? 2 2

(B) a ? 3, b ? 1 (D) a ? 1, b ? 3

(2010 年辽宁卷(4))如果执行右面的程序框图,输入正整 n,m, 满足 n≥m,那么输出的 P 等于
m?1 (A) Cn m?1 (B) An m (C) Cn m (D) An



(2011 年辽宁(1) ) a 为正实数, i 为虚数单位, (A)2 答案:B (B) 3

a?i ? 2 ,则 a ? i
(D)1

(C) 2

(2011 年辽宁(6) )执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 P 是 (A)8 (B)5 (C)3 (D)2 答案:C

(2012 辽宁 2).复数 A. - i

3 4 5 5

2-i = 2+i 3 4 B. + i 5 5
2

C. 1-

4 i 5

D. 1+

3 i 5

【命题意图】本题主要考查复数的除法运算,是容易题.

? 2-i ? = 3-4i = 3 - 4 i 2-i = 【解析】 ,故选 A. 2+i ? 2+i ?? 2-i ? 5 5 5 (2012 辽宁 9). 执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是

A. -1

B.

2 3

C.

3 2

D.4

【命题意图】本题主要考查程序框图知识,是中档题.

2 =-1 ; 2-4 2 2 当 i =2 时,经运算得 S = = ; 2- ? -1? 3
【解析】当 i =1 时,经运算得 S =

2 3 = ; 2 2 23 2 当 i =4 时,经运算得 S = =4 ; 3 22 2 =-1 ;故选 D. 当 i =5 时,经运算得 S = 2-4 从此开始重复,每隔 4 一循环,所以当 i =8 时,经运算得 S =4 ;接着 i =9 满足输出条件,输出 S =4
当 i =3 时,经运算得 S =

选修内容
(2009 年辽宁卷(22) ) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

已知 ? ABC E。

中,AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至

(1) 求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2) 若 ? BAC=30, ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 , 求 ? ABC 外接圆的面积。 (22)解: (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠CDF=∠ABC 又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE. (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15 , ∠ACB=75 , ∴∠OCH=60 .
3 r=2+ 3 ,a 得 r=2,外接圆的面积为 4 ? 。 2 (2009 年辽宁卷(23) ) (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以 O
0 0 0
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

设圆半径为 r,则 r+

为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ? 轴,y 轴的交点。 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 (23)解:

?
3

)=1,M,N 分别为 C 与 x

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

? ? ? ) ? 1得 (Ⅰ)由 ? cos( 3

? ( cos? ?

1 2

3 sin? ) ? 1 2

从而 C 的直角坐标方程为
1 3 x? y ?1 2 2 即 x ? 3y ? 2

? ? 0时,? ? 2,所以M (2,0) ?? ?
2 时,? ? 2 3 2 3 ? ,所以N ( , ) 3 3 2

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0)

N 点的直角坐标为 (0,

2 3 ) 3
(1. 3 2 3 ? ), 则P点的极坐标为( , ), 3 3 6

所以 P 点的直角坐标为

所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,??) ? (2009 年辽宁卷(24) ) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | 。 (1) 若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。 (24)解: (Ⅰ)当 a=-1 时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳. 由 f(x)≥3 得 ︱x-1︳+︱x+1|≥3 (ⅰ)x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(2010 年辽宁卷(22)) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明 选讲 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E ?ADC (I)证明: ?ABE (II)若 ?ABC 的面积 S ?

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小。 2

(2010 年辽宁卷(23)) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C: ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) ,

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

(2010 年辽宁卷(24)) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c 均为正数,证明: a ? b ? c ? (
2 2 2

1 1 1 2 ? ? ) ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时,等号成立。 a b c

【点评】 对于不等式的证明,一般要会用比较法、分析法、综合法等证明简单的不等式,能够利用均值 不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值以及对一些不等式问题的证明等。

(2011 年辽宁(22) ) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

(I)证明:CD//AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. 22.解: (I)因为 EC=ED,所以∠ EDC=∠ ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠ EDC=∠ EBA. 故∠ ECD=∠ EBA, 所以 CD//AB. …………5 分 (II)由(I)知,AE=BE,因为 EF=FG,故∠ EFD=∠ EGC 从而∠ FED=∠ GEC. 连结 AF,BG,则△ EFA≌ △ EGB,故∠ FAE=∠ GBE, 又 CD//AB,∠ EDC=∠ ECD,所以∠ FAB=∠ GBA. 所以∠ AFG+∠ GBA=180° . 故 A,B,G,F 四点共圆 …………10 分 (2011 年辽宁(23) ) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

? x ? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的参数方程为 ? y ? sin ? ? x ? a cos ? ( a ? b ? 0 ,? 为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ= ? 与 ? ? y ? b sin ?
C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? = (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

?
2

时,这两个交点重合.

?
4

时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? = ?

?
4

时,l 与 C1,C2 的交点为 A2,B2,

求四边形 A1A2B2B1 的面积. 23.解: (I)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0) , (a,0) ,因为这两点间的距离为 2,所 以 a=3. 当? ?

?
2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1) , (0,b) ,因为这两点重合,所以 b=1.
2 2

(II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和

x2 ? y 2 ? 1. 9

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ?

2 ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 2

x? ?

3 10 . 10

当? ? ?

?
4

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此,

四边形 A1A2B2B1 为梯形.

故四边形 A1A2B2B1 的面积为

(2 x ? ? 2 x)( x ? ? x) 2 ? . 2 5

…………10 分

(2011 年辽宁(24) ) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) =|x-2| ? | x-5|. (I)证明: ? 3 ≤ f ( x) ≤3; (II)求不等式 f ( x) ≥x2 ? 8 x+15 的解集. 24.解:

x ? 2, ??3, ? (I) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15 的解集为空集; 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? x ? 6} . 综上,不等式 f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6}. …………10 分 ………………5 分

(2012 辽宁 22). (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, O 和 O' 相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C ,D 两点,连结 DB 并延长交 O 于点 E . 证明: (I) AC BD =AD AB ; (II) AC =AE 【命题意图】本题主要考查几何选讲的基础知识,是简单题. =? A D B 证明: ( 1 ) 由 AC 与 O 相 切 于 A , 得 ?C A B ,同理 ?ACB =?DAB , 所 以

?A

C ?B

D 。

A 从

B 而

AC AB = AD BD





C = B D A D A B ??4 分 (2)由 AD 与 O 相切于 A ,得 ?AED =?BAD ,又 ?ADE =?BDA ,得 ?EAD ?ABD AE AD = 从而 ,即 AE BD =AD AB ,综合(1)的结论, AC =AE ??10 分 AB BD
(2012 辽宁 23). (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4 2

A

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程 【命题意图】本题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程,是简单题. 【解析】圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4cos ? ,

解?

? ? =2 ? ? ?? ? ?? 得 ? =2,? = ? ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? , ? 2,- ? 3 ? 3? ? 3? ? ? =4cos ?

??5 分

注:极坐标系下点的表示不唯一

? x=? cos ? ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 1, 3 , 1,- 3 ? y =? sin ? ? x=1 故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ? - 3?t 3 ? y =t ? x=1 (或参数方程写成 ? - 3 ? y ? 3) ? y =y
(2) (解法一)由 ?

?

??

?

? 10 分

(解法二)

? x=? cos ? 1 ,得 ? cos ? =1 ,从而 ? = cos ? ? y =? sin ? ? x=1 ? ? 于是圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ? - ?? ? 3 ? y = tan ? 3
将 x =1 代入 ? (2012 辽宁 24). (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? = ax+1 ? a ? R ? ,不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 x -2 ? x ? 1 (1)求 a 的值 (2)若 f ? x ? -2 f ?

?

?

? x? ? ? k 恒成立,求 k 的取值范围 ?2?

【命题意图】本主要考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的意义,是容易题.

【解析】 (1)由 ax+1 ? 3 得 -4 ? ax ? 2 ,又 f ? x ? ? 3 的解集为 x -2 ? x ? 1 ,所以 当 a ? 0 时,不合题意 当 a >0 时, -

?

?

4 2 ? x ? ,得 a =2 a a

?5 分

? ?1,x ? -1 ? 1 ? ? x? (2)记 h ? x ? =f ? x ? -2 f ? ? ,则 h ? x ? = ?-4 x-3,-1<x <- , 2 ?2? ? 1 ? -1,x ? ? ? 2
所以 h ? x ? ? 1 ,因此 k ? 1 ??10


相关文档

辽宁高考数学新课标(2009-2012)知识点分类汇编
2007-2012新课标高考理科数学真题分块汇编(教师版)
2007-2012新课标高考理科数学真题分块汇编精华版
2007-2012新课标高考文科数学真题分块汇编(教师版)
2012高考数学新课标分类汇编:三角函数
2012高考数学新课标分类汇编:解析几何
2012高考数学新课标分类汇编:函数与导数
2012高考数学新课标考点分类汇编:统计
2007-2012(6年)新课标高考(文科)真题分块汇编(教师用)
2007-2012(6年)新课标高(理科数学)真题分块汇编(教师用)
电脑版