推荐2019高中数学北师大版必修1习题:第二章函数2-5

§5 简单的幂函数
课时过关·能力提升
1 函数 f(x)=12-1 的图像大致是( )

解析:∵2>0,∴f(x)在[0,+∞)上是增加的,排除 B; 当 x=0 时,f(0)=-1,即 f(x)的图像过点(0,-1),排除 C,D,故选 A.
答案:A

2 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析:∵f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(0+2)=-f(0),

又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

∴f(0)=0,

∴f(6)=0.

答案:B

3 若偶函数 f(x)在(-∞,0]上是减少的,则下列关系式中成立的是( ) A.f32<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f32<f(2) C.f(2)<f(-1)<f32

D.f(2)<f32<f(-1) 解析:∵f(x)在(-∞,0]上是减少的,且-2<-2<-1,
∴f(-2)>f32>f(-1). 又 f(x)是偶函数, ∴f(-2)=f(2), ∴f(2)>f32>f(-1). 答案:B 4 如果奇函数 f(x)在区间[-5,-3]上是增加的,且最大值为-4,那么 f(x)在区间[3,5]上是( ) A.增加的且最大值为 4 B.增加的且最小值为 4 C.减少的且最大值为 4 D.减少的且最小值为 4 解析:作一个符合条件的图像,如图.
由图像知,f(x)在区间[3,5]上是增加的且最小值为 4. 答案:B ★ 5 设定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)=x2-4(x>0),则 f(x-2)>0 的解集为( ) A.(-4,0)∪(2,+∞) B.(0,2)∪(4,+∞) C.(-∞,0)∪(4,+∞)

D.(-4,4) 答案:B

6 如图,曲线是幂函数 y=xk 在第一象限内的图像,已知 k 分别取-1,1,2,2 四个值,则相应的图像依

次为

.

解析:在第一象限直线 x=1 的右侧,大指数在上,小指数在下,在 y 轴与直线 x=1 之间正好相反. 答案:C4,C2,C3,C1

7 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它是减函数,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b)>0,则 a+b 0(填“>”“<”或“=”).

解析:f(a)+f(b)>0,

∴f(a)>-f(b).

又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

∴f(a)>f(-b).

又 f(x)为减函数,

∴a<-b,

∴a+b<0.

答案:<

★若 y=a2-4a-9 是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,则整数 a 的值为

.

答案:-1,1,3,5

9 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x+m. (1)求 m 及 f(-3)的值;

(2)求 f(x)的解析式并画出简图; (3)写出 f(x)的单调区间(不用证明). 解(1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,
∴f(0)=0, ∴m=0, ∴当 x≥0 时,f(x)=x2-2x, ∴f(-3)=-f(3)=-3. 故 m=0,f(-3)=-3. (2)当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=x2+2x, 即 f(x)=-x2-2x(x<0). ∴f(x)的解析:式为 f(x)=2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0. 画出 f(x)的图像如下图.
(3)由 f(x)的图像,可知 f(x)在区间(-∞,-1]和[1,+∞)上是增加的,在区间[-1,1]上是减少的. ∴f(x)的递增区间为(-∞,-1],[1,+∞),递减区间为[-1,1]. 10 若函数 f(x)的定义域为 R,且对任意 x,y,f(x)+f(y)=f(x+y)恒成立. (1)判断 f(x)的奇偶性;

(2)若 f(8)=4,求 f12 的值. 分析:因为 f(x+y)=f(x)+f(y)对任意 x,y 恒成立,所以可对 x,y 取某些特殊值. 解(1)令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=f(0),
∴f(0)=0. 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴函数 f(x)是奇函数. (2)令 y=x,由 f(x)+f(y)=f(x+y), 可得 f(2x)=2f(x),由此可得 4=f(8)=2f(4)=4f(2)=8f(1)=16f2, ∴f2=14. ∴f12=-f2=-4.
★ 11 已知函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且 当 x>1 时,f(x)>0. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增加的; (3)试比较 f52 与 f4 的大小. (1)证明由题意知,函数 f(x)的定义域关于原点对称,
∵取定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. 令 x1=x2=-1, 得 f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1), 即 f(1)=2f(-1),

即 2f(-1)=0, ∴f(-1)=0. ∵f(-x)=f((-1)·x)=f(-1)+f(x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. (2)证明任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)=f1·x2x1-f(x1) =f(x1)+f2x1-f(x1)=f2x1. ∵x2>x1>0, ∴2x1>1. ∴f2x1>0, 即 f(x2)-f(x1)>0. ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是增加的. (3)解由(1)知 f(x)是偶函数, 则有 f52=f2. 由(2)知 f(x)在(0,+∞)上是增加的, 则 f2>f4,∴f52>f4.


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