新课标2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用__最值问题课件新人教B版必修5

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数 学
必修5 ·人教B版

第三章
不等式 3.2 均值不等式
第3课时 均值不等式的应用——最值问题

1

课前自主学习

2
3

课堂典例讲练

课 时 作 业

课前自主学习

甲、乙两人在每个月里总是相约到一家小铺里去购买两次白糖,假设白糖 的价格是变化的,而他们的购买方式又不一样,甲每一次总是购买1 kg白糖,乙 每一次只拿一元钱来购买白糖,而不管购买多少,则这两种购糖方式哪一种更 合算?

1.均值定理的内容:

a+b 如果 a、b∈R ,那么 2 ≥ ab.当且仅当 a=b 时,式中等号成立 ______________________________________________________________ .


二定 、________ 三相等 . 一正 、________ 2.均值定理成立的条件:________

1.下列各式中,最小值为 2 的是 导学号 27542710 ( C ) x y A.y+x 1 B. x +3+ 2 x +3
2

1 x 1 -x C.2e +2e D.tan θ+tan θ x [解析] 选项 A 中,当y<0 时,不满足题意;选项 B 中,等号不成立;选项 D
x 1 x e 2 -x 中,当 tanθ<0 时,不满足题意;选项 C 中,2e +2e = 2 +ex≥2

ex 2 2· ex=2,当

ex 2 且仅当 2 =ex,即 ex=2,x=ln2 时等号成立.

1 2.若 x>4,则函数 y=x+ 导学号 27542711 ( B ) x-4 A.有最大值-6 C.有最大值-2
[解析]

B.有最小值 6
1 ?x-4?· + x-4

D.有最小值 2 1 1 ∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+ =x-4+ +4≥2 x-4 x-4

4=2+4=6, 1 当且仅当 x-4= ,即 x=5 时,取等号. x-4

3. 若正数 x、 y 满足 x+3y=5xy, 则 3x+4y 的最小值是 导学号 27542712 ( C ) 24 A. 5 C.5 28 B. 5 D.6

[解析] 9 4 5+5≥2

1 3 1 3 3x 12y 由 x+3y=5xy 得5y+5x=1, ∴3x+4y=(3x+4y)· (5y+5x)=5y+ 5x + 3x 12y 13 12 13 5y· 5x + 5 = 5 + 5 =5,

3x 12y 当且仅当5y= 5x 时,得到最小值 5.

4.已知 x、y 都是正数, 导学号 27542713

2 15 ; (1)如果 xy=15,则 x+y 的最小值是________ 225 4 (2)如果 x+y=15,则 xy 的最大值是________.
[解析] (1)因为 x、 y 都是正数, 且 xy=15, 由基本不等式得 x+y≥2 xy=2 15,

当且仅当 x=y= 15时,取等号. x+y 2 15 2 225 (2)因为 x、 y 都是正数, 且 x+y=15, 由基本不等式得 xy≤( ) =( ) = , 2 2 4 15 当且仅当 x=y= 时,取等号. 2

1 2 5 . 已 知 0≤x<1 , 则 f(x) = 2 + 2x 的 最 大 值 是 ________ ,此时 x=
x

0 ________. 导学号 27542714

1 [解析] f(x)=2 +2x≥2
x

1 1 x x 2· x=2,当且仅当 2 = x,∴2 =1,即 x=0 时, 2 2
x

等号成立.

课堂典例讲练

命题方向1 ?变形技巧:“1”的代换
1 1 已知正数 x、y 满足 x+2y=1,求x+y的最小值. 导学号 27542715
[分析] 灵活应用“1”的代换. 在不等式解题过程中, 常常将不等式“乘以 1”、 “除以 1”或将不等式中的某个常数用等于 1 的式子代替.本例中可将分子中的 1 1 1 用 x+2y 代替,也可以将式子 x+y乘以 x+2y.

[解析]

∵x、y 为正数,且 x+2y=1.

1 1 1 1 2y x 2y x ∴ x+ y=(x+2y)( x+ y)=3+ x +y≥3+2 2, 当且仅当 x =y, 即当 x= 2-1, 2 y=1- 时等号成立. 2 1 1 ∴ + 的最小值为 3+2 2. x y

[点评]

1 (1)本题若由 1=x+2y≥2 2xy,得 ≥2 2, xy 1 2 xy= xy≥4 2则是错误的,因为此时等号取不到:前一个不等

1 1 ∴ x + y ≥2

1 式成立的条件是 x=2y=2,后一个不等式则是在 x=y 时成立. 1 1 (2)也可以直接将 x+y的分子 1 代换为 x+2y,和乘以“1”是相同的.

〔跟踪练习 1〕 导学号 27542716 1 1 已知 x>0,y>0,xlg2+ylg8=lg2,则 x+3y的最小值为( C ) A.2 C.4 B.2 3 D.-2 3

[解析]

∵xlg2+ylg8=lg2,

∴xlg2+3ylg2=lg2, 即 x+3y=1,∵x>0,y>0,

1 1 x+3y x+3y ∴ + = + x 3y x 3y 3y x =2+ + ≥2+2 x 3y 3y x · =4, x 3y

3y x 当且仅当 = ,即 x=3y 时,等号成立. x 3y
? ?x+3y=1 由? ? ?x=3y

1 1 ,得 x=2,y=6.

1 1 1 1 ∴当 x=2,y=6时,x+3y取最小值 4.

命题方向2 ?变形技巧:拆项与配凑
x2+4 [2 5-2,+∞) 导学号 27542717 函数 y= (x>-1)的值域为_______________. x+1

[分析]

分子是 x 的二次式,分母是一次式,适当将分子变形可化为 x+1 的

表达式或由分母构造平方差,则可化为“积为定值”的和式.

[解析]

x2+4 ?x+1?2-2?x+1?+5 y= = x+1 x+1 (x+1>0),

5 =x+1+ -2≥2 5-2 x+1

5 当且仅当 x+1= ,即 x= 5-1 时等号成立, x+1 ∴函数的值域为[2 5-2,+∞).
[ 点评 ] 2≥2 x2+4 x2-1+5 5 5 还可以如下进行 y= = =x-1+ =x+1+ - x+1 x+1 x+1 x+1

5 ?x+1?· -2=2 5-2. x+1

〔跟踪练习 2〕 导学号 27542718 9 已知函数 y=x-4+ (x>-1),当 x=a 时,y 取最小值 b,则 a+b=( C ) x+1 A.-3 C.3 B.2 D.8

[解析]

∵x>-1,∴x+1>0,

9 9 ∴y=x-4+ =x+1+ -5 x+1 x+1 ≥2 9 ?x+1?· -5=1, x+1

9 当且仅当 x+1= , x+1 即 x+1=3,x=2 时,等号成立. ∴a=2,b=1,∴a+b=3.

命题方向3 ?基本不等式在实际问题中的应用
在周长为定值的扇形中,半径是多少时,扇形的面积最大? 导学号 27542719

[解析]

1 1 2 设扇形中心角为 θ,半径 r,面积 S,弧长 l,则 S=2lr=2θr ,l=rθ.

p 1 2 1 p 周 长 p = 2r + rθ 一 定 , ∴ θ = - 2 , 面 积 S = θr = r(p - 2r) = r( - r 2 2 2 p ? ? 2 p p p p r + ? - r ? ? ?2 2 r)≤? ? =16,等号在 r=2-r 即 r=4时成立,∴半径 r=4时,面积最大. 2 ? ?

〔跟踪练习 3〕 导学号 27542720 某车间分批生产某种产品,每批的产品准备费用为 800 元.若每批生产 x 件, x 每件产品的平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到 8 每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品多少件?

[解析]

设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 f(x), 800 x x · 8=20,

x 800+ · x· 1 8 800 x 则 f(x)= = x +8≥2 x

800 x 当且仅当 = ,即 x=80 时等号成立. x 8 故每批生产产品 80 件,可使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和 最小.

4 已知 0<x<1,求函数 f(x)=3+lgx+lgx的最值. 导学号 27542721 4 4 [错解] f(x)=3+lgx+lgx≥3+2 lgx· lgx=3+2×2=7,∴f(x)min=7.
[辨析] 4 ∵0<x<1,∴lgx<0, <0,不满足“各项必须全为正数”这一前提条 lgx

件,不能直接应用基本不等式.

[ 正解 ] 4 )≥2 lgx

4 4 ∵ 0<x<1 ,∴ lgx<0 , lgx <0 ,∴- lgx>0 ,- lgx >0 ,∴ ( - lgx) + ( -

4 ?-lgx?· ?- ?=4, lgx

4 1 当且仅当-lgx= ,即 lgx=-2,x= 时,取等号. 100 -lgx 4 4 ∴lgx+ ≤-4.∴f(x)=3+lgx+ ≤3+(-4)=-1.∴f(x)有最大值-1. lgx lgx


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