【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:3-3定积分与微积分基本定理(理)

——定积分与微积分基本定理 时间:45 分钟 满分:100 分 班级:________ 姓名:________ 座号:________

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在下列四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.(2014· 南京调研)给出如下命题: ①?adx=?bdt=b-a(a,b 为常数且 a<b); ?b ?a

③曲线 y=sin x,x∈[0,2π]与直线 y=0 围成的两个封闭区域的面积之和为 2. 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

2.(2014· 浙江五校联考)已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为 9 2,则 k 等于( A.2 C.3 ) B.1 D.4 )

3.(2014· 广州综合测试)函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上( ?0 A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0,最小值- 3 32 C.有最大值- 3 ,无最大值 D.既无最大值也无最小值

4.(2014· 福建莆田高三质检)如图,由函数 f(x)=ex-e 的图象,直线 x=2 及 x 轴所围成 的阴影部分面积等于( )

A.e -2e-1

2

B.e -2e

2

e2-e C. 2

D.e2-2e+1

5.(2014· 山东淄博模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=?3(1+2x)dx,S20= ?0 17,则 S30 为( A.15 C.25 ) B.20 D.30

6.(2014· 广州海珠区测试)用 max{a,b}表示 a,b 两个数中的最大数,设 f(x)=max{x2, 1 1 x}(x≥4).那么由函数 y=f(x)的图象、x 轴、直线 x=4和直线 x=2 所围成的封闭图形的面 积是( A. 35 12 ) B. 59 24

57 C. 8

91 D.12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上) 7.(2014· 山东模拟)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________. 8.(2014· 江西模拟)计算定积分 =__________.

? ?lg x,x>0, 9.(2014· 中山一模)设 f(x)=?x+?a3t2dt,x≤0, 若 f[f(1)]=1,则 a=________. ? ? ?0 1 10. (2014· 上海模拟)已知函数 y=f(x)的图像是折线段 ABC, 其中 A(0,0)、 B(2, 5)、 C(1,0). 函 数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为________. 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,11、12 题各 13 分,13 题 14 分,写出证明过程 或推演步骤) 1 1 11.(2014· 浙江宁波十校联考)求定积分?2(x+ x-x2)dx. ?1

12.(2014· 北京东城期末)已知经过原点的直线 l 平分抛物线 f(x)=x2-6x 与 x 轴所围成的 封闭区域的面积.

(1)求抛物线 f(x)与 x 轴所围成的封闭区域的面积 S; (2)求直线 l 的方程.

13.(2014· 山东聊城外国语学校二模)已知 f(x)=x2+ax+a(a≤2,x∈R),g(x)=e-x,φ(x) =f(x)· g(x). (1)当 a=1 时,求 φ(x)的单调区间; (2)求 g(x)在点(0,1)处的切线与直线 x=1 及曲线 g(x)所围成的封闭图形的面积.

定积分与微积分基本定理参考答案 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在下列四个选项中,只有一项是

符合题目要求的) 1 1.解析:由定积分的性质知①错;对于②,两个积分都表示4个单位圆的面积,

答案:B
2 ?y=x 2.解析:由? ,消去 y 得 x2-kx=0, y = kx ?

1 1 9 所以 x=0 或 x=k,则阴影部分的面积为?k (kx-x2)dx=(2kx2-3x3)| k 0= . 2 ?0 1 1 9 即2k3-3k3=2,解得 k=3.故选 C.答案:C 1 1 3 2 2 3.解析:F(x)=(3t3-2t2)| x 0= x -2x ,F′(x)=x -4x, 3 1 7 令 F′(x)=0,得 x=0 或 x=4,∵F(-1)=-3-2=-3,F(0)=0, 32 25 32 F(4)=- 3 ,F(5)=- 3 ,∴F(x)的最大值为 0,最小值为- 3 .故选 B.答案:B 4.解析:面积 S=?2f(x)dx=?2(ex-e)dx=(ex-ex) ?1 ?1 B 5.解析:S10=?3(1+2x)dx=(x+x2)| 3 0=12. ?0 因为 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,所以 S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列,即 12,5, S30-17 成等差数列,易得 S30=15.答案:A
2 1 2 |2 1=(e -2e)-(e -e)=e -2e.答案:

6.

答案:A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上)

7. 8.

4 答案:9 2 答案:3

a 9.解析:∵f(1)=lg 1=0,∴f[f(1)]=f(0)=0+?a3t2dt=t3| 0 =a3, ?0

∴a3=1 得 a=1.答案:1 10.解析:写出函数解析式,再利用定积分求曲边形的面积.由题意可得 1 ? ?10x,0≤x≤2 f(x)=? 1 ?10-10x,2<x≤1 ?



1 2 ? ?10x ,0≤x≤2 所以 y=xf(x)=? 2 1 ? ?10x-10x ,2<x≤1

,与 x 轴围成图形的面积为

5 答案:4 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,11、12 题各 13 分,13 题 14 分,写出证明过程 或推演步骤) 1 1 1 1 1 2 1 2 11.解:?2(x+ x-x2)dx=?2xdx+?2xdx-?2x2dx=2x2| 2 1+ln x| 1+ | 1 x ?1 ?1 ?1 ?1 1 1 =2×(4-1)+ln 2+(2-1)=1+ln 2. 1 12.解:(1)由 f(x)=0 得 x=0 或 x=6,∴S=-?6(x2-6x)dx,令 F(x)=3x3-3x2, ?0 则 F′(x)=x2-6x,∴S=-F(6)+F(0)=36. (2)设直线 l:y=kx, ?y=kx, 由? 得 x2-(k+6)x=0,∴x=0 或 x=6+k. 2 ?y=x -6x, ∵直线 l 平分抛物线 f(x)=x2-6x 与 x 轴所围成的封闭区域的面积,
+6 2 ∴∫k 0 [kx-(x -6x)]dx

+6 2 =∫k 0 [-x +(k+6)x]dx=18,

k+6 1 令 G(x)=-3x3+ 2 x2, 则 G′(x)=-x2+(k+6)x, 1 1 3 ∴-3(k+6)3+2(k+6)3=18,∴k=3 4-6, 3 ∴直线 l 的方程为 y=(3 4-6)x. 13.解:(1)当 a=1 时,φ(x)=(x2+x+1)e-x, φ′(x)=e-x(-x2+x). 当 φ′(x)>0 时,0<x<1;当 φ′(x)<0 时,x>1 或 x<0. ∴φ(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-∞,0),(1,+∞). (2)切线的斜率为 k=g′(0)=-e-x|x=0=-1, ∴切线方程为 y=-x+1. ∴所求封闭图形的面积为 S=?1[e-x-(-x+1)]dx=?1(e-x+x-1)dx ?0 ?0 1 1 1 =(-e-x+2x2-x) |1 0= - . 2 e


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