一轮复习配套讲义:第3篇 第3讲 三角函数的图象与性质

第3讲 [最新考纲] 三角函数的图象与性质 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. ? π π? 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在?-2,2?上的性质. ? ? 知 识 梳 理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈Z). 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 {x|x∈R,且x≠ 定义域 值域 周期性 奇偶性 R [-1,1] 2π 奇函数 π π? ? ?2kπ-2,2kπ+2? ? ? π 3π? ? ?2kπ+2,2kπ+ 2 ? ? ? (kπ,0) π x=kπ+2 辨 析 感 悟 1.周期性的判断 (1)(教材习题改编)由 sin(30° +120° )=sin 30° 知,120° 是正弦函数 y=sin x(x∈R) 的一个周期. (×) R [-1,1] 2π 偶函数 [2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] π ? ? ?kπ+2,0? ? ? x=kπ ? π kπ+2,k∈Z? ? R π 奇函数 π π? ? ?kπ-2,kπ+2? ? ? 无 ?kπ ? ? 2 ,0? ? ? 无 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 π? π ? (2)函数 y=tan?2x+3?的最小正周期为2. ? ? 2.判断奇偶性与对称性 3π? ? (3)函数 y=sin?2x+ 2 ?是奇函数. ? ? (√) (×) π (4)函数 y=sin x 的对称轴方程为 x=2kπ+2(k∈Z).(×) 3.求三角函数的单调区间 π π? ? (5)函数 f(x)=sin(-2x)与 f(x)=sin 2x 的单调增区间都是?kπ-4,kπ+4?(k∈Z). ? ? (×) (6)函数 y=tan x 在整个定义域上是增函数. 4.求三角函数的最值 (7)存在 x∈R,使得 2sin x=3. (×) π? π? 2 ? ? (8)(教材习题改编)函数 f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为- . 2 ? ? ? ? (√) [感悟· 提升] 1.一点提醒 求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只有当 ω>0 时,才能把 ωx+φ 看作一个整体,代入 y=sin t 的相应单调区间求解. 2.三个防范 一是函数 y=sin x 与 y=cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高 点或最低点且平行于 y 轴的直线, 如 y=cos x 的对称轴为 x=kπ, 而不是 x=2kπ(k ∈Z). 二 是 对 于 y = tan x 不 能 认 为 其 在 定 义 域 上 为 增 函 数 , 应 在 每 个 区 间 π π? ? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)内为增函数,如(6). ? ? 三是函数 y=sin x 与 y=cos x 的最大值为 1, 最小值为-1, 不存在一个值使 sin x 3 =2,如(7). 学生用书?第 54 页 考点一 三角函数的定义域、值域问题 【例 1】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. ?π 7π? (2)当 x∈?6, 6 ?时,函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是________,最大值是 ? ? ________. 解析 (1)法一 要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象, 在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为4, 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π, 所以原函数的定义域为 ? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ? ,k∈Z?. ? ? ? ? 法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).∴定义 域为 ? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z 4 4 ? ? ? ? ? ?. ? ? π ? π? 法三 sin x-cos x= 2sin?x-4?≥0, 将 x-4视为一个整体, 由正弦函数 y=sin x ? ? π 的图象和性质可知 2kπ≤x-4≤π+2kπ,k∈Z, π 5π 解得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z. ? ? ? ? ? π 5π 所以定义域为?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ? (2)y=3-sin x-2cos2x =3-sin x-2(1-sin2x)=2sin2 x-sin x+1, ? 1 ? 令 sin x=t∈?-2,1?, ? ? ? 1? 7 ? 1 ? ∴y=2t2-t+1=2?t-4?2+8,t∈?-2,1?, ? ? ? ? 7 ∴ymin=8,ymax=2. ? ? ? π 5π 答案 (1)?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? 7 (2)8 2 规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组),常借助三 角函数线或三角函数图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法 ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求. ②把形如 y=asin x+bcos x 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域. ③利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 6cos4 x+5sin2x-4 【训练 1】 (2014· 广州模拟)已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域 cos 2x 和值域. π 解 由 cos 2x≠0 得 2x≠kπ+2,k∈Z, kπ π 解得 x≠ 2 +4,k∈Z, ? ? kπ π 所以 f(x)的定义域为?x|x∈R,且x≠ 2 +4,k

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